2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 16  След.
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение29.07.2010, 15:55 
Аватара пользователя


24/08/09
176
Delvistar в сообщении #341433 писал(а):
А каким будет количество пар проколотых (не проколотых) на одном повторении для общего случая (прокалывание числом )? Методом подсчета это количество не получить.


Количество проколотых $\frac{2}{p}$, а количество не проколотых $\frac{p-2}{p}$

r-aax в сообщении #341449 писал(а):
Что такое шаг прокалывания? Это ?

Так как мы работаем с решетом на котором расположены только нечётные числа(упрощения не влияет на ход рассмотрения), поэтому, среди чисел делящихся на 5, мы прокалываем:
$5-15-25-35-...\infty$
И поэтому шаг прокалывания у нас равен $p \times 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение29.07.2010, 16:21 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Delvistar в сообщении #341458 писал(а):
Количество проколотых $\frac{2}{p}$, а количество не проколотых $\frac{p-2}{p}$

Количество потенциально простых пар на каждом повторе - $p$, и из них мы прокалываем $2$. Я правильно понимаю?

-- Чт июл 29, 2010 17:22:08 --

P.S. (левую) границу первого повтора мы берем не с $0$, а с $p$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение29.07.2010, 17:25 
Аватара пользователя


24/08/09
176
r-aax в сообщении #341461 писал(а):
Количество потенциально простых пар на каждом повторе - , и из них мы прокалываем . Я правильно понимаю?


Попробую Вам показать на примере с конечным начальным количеством.(У нас же начальное множество бесконечное!")

Так вот, к примеру начальное количество у нас 1000.(Это не чётных чисел на решете, а так длина решета от 0 до 2000)

Делаем прокалывание чисел.

1. мы из каждых 5 чисел, прокалываем 2.
Это будет 400 проколотых чисел, и осталось 600.
2. Далее из каждых 7 не проколотых ранее чисел прокалываем 2.
Это будет проколотых примерно 171. А не проколотых примерно 429.


Вот таким образом у нас идёт прокалывание. Такой темп прокалывания $\frac{2}{p}$.

И это ещё можно выразить так, что $\frac{2}{p}$ от оставшегося множества, после предыдущего прокалывания.

Если точно, то левая граница и не с $0$ и не с $p$ а с $p^{2}$, так как при прокалывании, к примеру чисел делящихся на $9973$, мы только с $9973^{2} = 99 460 729$ начинаем прокалывание новых чисел. До, этого мы ничего не прокалываем нового.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение29.07.2010, 18:30 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Я тут переформулировал то, что нам пытается донести Delvistar, более строгим языком.

Обозначения:
$p_k$ - $k$-тое простое число. $p_1=2$.
$p_k\#$ - праймориал - произведение первых $k$ простых чисел.

Обозначим $T_k(n)$ число пар натуральных чисел $(x,x+2)$, $x<n$, взаимно простых с $p_k\#$.
Тогда по индукции можно доказать, что при $k\ge 2$:
$T_k(p_k\#) = \prod\limits_{i=2}^k{(p_i-2)}$.

Всё.
Про бесконечность простых близнецов я никакого заключения сделать не смог.

Вот если бы можно было доказать, что $T_k(p_k^2)$ неограниченно растёт, то это было бы доказательством бесконечности простых близнецов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение29.07.2010, 18:40 
Аватара пользователя


24/08/09
176

(Оффтоп)

venco в сообщении #341483 писал(а):
Я тут переформулировал то, что нам пытается донести Delvistar, более строгим языком.

А я и не отрицаю тот факт, что у меня проблемы с строго математическими формулировками. Но, искренне пытаюсь донести свою мысль :D .

А мой взгляд, на бесконечность близнецов,как мне кажется, выстроен на другом подходе..

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение29.07.2010, 19:05 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Delvistar в сообщении #340687 писал(а):
После этого, мы прокалываем решето числом $7 (N_{1})$. И, от того что, величина шага прокалывания увеличилась от прежней в $\frac{N_{1}}{N_{0}}$ раз,то, и если бы мы в этот раз не прокололи ни одну пару, то величина перешагивания была бы:



$X_{0} \times \frac{N_{1}}{N_{0}} = Z_{1}$

Не согласен.
Величина перешагивания зависит не только от шага прокалывания, но еще и от длины повтора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение29.07.2010, 19:45 
Аватара пользователя


24/08/09
176
r-aax в сообщении #341492 писал(а):
Величина перешагивания зависит не только от шага прокалывания, но еще и от длины повтора.


Скажите пожалуйста, а что Вы вкладываете в понятие "длина повтора".? Если мои повторения, типа:
$0-30.30-60,...\infty$
То они второстепенны. Как мне кажется.

Вы рассматривали мои допущения(теоретические, так как практически они не возможны) о том, что не будет проколота ни одна пара. Но здесь на эту величину перешагивания влияет только увеличение длины шага прокалывания. Насколько она увеличилась, по сравнению с прежним шагом.
А так как, мы прокалываем новые пары, то на величину перешагивания, влияет количество убранных пар на одном повторе. Сколько пар останется на одном повторе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение30.07.2010, 08:09 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Delvistar в сообщении #341501 писал(а):
r-aax в сообщении #341492 писал(а):
Величина перешагивания зависит не только от шага прокалывания, но еще и от длины повтора.


Скажите пожалуйста, а что Вы вкладываете в понятие "длина повтора".? Если мои повторения, типа:
$0-30.30-60,...\infty$
То они второстепенны. Как мне кажется.

Вы рассматривали мои допущения(теоретические, так как практически они не возможны) о том, что не будет проколота ни одна пара. Но здесь на эту величину перешагивания влияет только увеличение длины шага прокалывания. Насколько она увеличилась, по сравнению с прежним шагом.
А так как, мы прокалываем новые пары, то на величину перешагивания, влияет количество убранных пар на одном повторе. Сколько пар останется на одном повторе.

Я оперирую только Вашими понятиями. Если я их понял как-то не так, то приведите четкие определения.

Длина повтора - длина таких интервалов, на которых повторяется какой-то там "рисунок" прокалывания. Мы сошлись на том, что длина повтора это $\prod\limits_{i=0}^k{p_i}$, где $p_k$ - текущее простое, которым прокалываем, $p_0 = 2$.
Шаг прокалывания - $p_k \times 2$.
Количество пар на повторе - $p_k$ (из них $2$ проколятся, $p_k - 2$ останутся).
Число шагов прокалывания - это длина повтора, деленая на шаг прокалывания, $\prod\limits_{i=1}^{k - 1}{p_i}$, $p_1 = 3$.
Средняя величина перешагивания - количество непроколотых пар, деленое на число шагов прокалывания, $\frac{p_k - 2}{\prod\limits_{i=1}^{k - 1}{p_i}}$.

Увеличение шага прокалывания может произойти только в одном случае - в случае прокалывания следующим простым числом $p_{k + 1}$. Вот подставляйте честно его в формулу и смотрите, как изменяется средняя величина перешагивания.

-- Пт июл 30, 2010 09:13:53 --

Delvistar в сообщении #341501 писал(а):
Но здесь на эту величину перешагивания влияет только увеличение длины шага прокалывания.

Это так. Неверно то, что оно влияет на нее линейно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение30.07.2010, 17:09 
Аватара пользователя


24/08/09
176
r-aax в сообщении #341569 писал(а):
Количество пар на повторе - (из них проколятся, останутся).


Вы всё поняли правильно, но вот только с одним проблема, это с количеством пар на повторе.

Мне кажется, что Вы не поняли, да и я наверное не достаточно чётко объяснил.

Вот смотрим как это происходит. Покажу в основном на словах.

Вот мы имеем повторы после прокалывания чисел делящихся на 5 (естественно, перед этим мы уже прокололи числа делящиеся на 3):

$0-30,30-60,...\infty$

И с учётом нашей коррекции повторов, для точности подсчёта пар:

$0-31,32-61,...\infty$

Мы на каждом повторе, имеем по три пары.

Далее, мы включаем прокалывание чисел делящихся на 7, и теперь наши узоры математические на натуральном ряду, приобретают иной вид, с повторами равными:

$30 \times 7 = 210$

$30$ - длина предыдущего повтора.
$7$ - число нового прокалывания.

И, вначале, автоматически, число пар увеличиваем в 7 раз, и получаем 21.

Но, так как мы прокалывали числом 7, то теперь прокалывания пар будет
$\frac{\frac{2}{7}}{21} = 15$

Вот таким образом мы видим процесс прокалывания пар.
Кстати, процесс прокалывания чисел-одиночек уже такой $\frac{1}{n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение02.08.2010, 17:47 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Исправим...

Длина повтора - длина таких интервалов, на которых повторяется "рисунок" прокалывания. Мы сошлись на том, что длина повтора это $PeriodLen(p_k) = \prod\limits_{i=0}^k{p_i}$, где $p_k$ - текущее простое, которым прокалываем, $p_0 = 2$.
Шаг прокалывания - $SieveStep(p_k) = p_k \times 2$.
Количество непроколотых пар на повторе - $PairsCount(p_k) = \prod\limits_{i=1}^k{(p_i - 2)}$.
Число шагов прокалывания - это длина повтора, деленая на шаг прокалывания, $SieveSteps(p_k) = \frac{PeriodLen(p_k)}{SieveStep(p_k)} = \prod\limits_{i=1}^{k - 1}{p_i}$, $p_1 = 3$.
Средняя величина перешагивания - количество непроколотых пар, деленое на число шагов прокалывания, $OverstepLen(p_k) = \frac{PairsCount(p_k)}{SieveSteps(p_k)} = \frac{\prod\limits_{i=1}^k{p_i - 2}}{\prod\limits_{i=1}^{k - 1}{p_i}}$.

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение02.08.2010, 19:21 
Аватара пользователя


24/08/09
176
r-aax в сообщении #342161 писал(а):
Так?


Если Вы вложили в количество пар на повторе вот это:
$3$- количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5.

$1$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7:
$ 3 \times 7 - \frac{\frac{2}{7}}{3 \times 7} = 15 $

$2$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7,11:
$ 15 \times 11 - \frac{\frac{2}{11}}{15 \times 11} = 135 $

$3$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7,11,13:
$ 135 \times 13 - \frac{\frac{2}{13}}{135 \times 13} = 1485 $

$4$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7,11,13,17:
$ 1485 \times 17 - \frac{\frac{2}{17}}{1485 \times 17} = 22 275 $

$5$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7,11,13,17,19:
$ 22 275  \times 19 - \frac{\frac{2}{19}}{22 275 \times 19} = 378 675 $

При этом мы видим ряд операций по прокалыванию пар(если показывать начиная с прокалывания чисел делящихся на 7):
$\frac{2}{7},\frac{2}{11},\frac{2}{13},\frac{2}{17},\frac{2}{19},...\frac{2}{n},$

Здесь, для простоты я ввёл понятие "повторы". А так вообще, у меня не так. Вид натурального ряда не чётных чисел (решета Эратосфена) после прокалывания чисел делящихся на n-ое множество чисел, я назвал Матрица ряда N.

К примеру, после прокалывания чисел делящихся на 3,5,7,11,13 - у меня названо Матрицей ряда 3-5-7-11-13 (сокр.3-13). А эти повторы уже у меня названы как "внутренние шаги Матрицы ряда".

И ещё, как мне кажется, здесь многие желают узнать о множестве простых чисел-близнецов. Но, у меня это и так и не так. Просто надо забыть про близнецов. Задача одна, у нас есть бесконечное множество пар, после прокалывания чисел делящихся на 3, и нам необходимо узнать, сколько пар останется в итоге, после бесконечного множества операций по прокалыванию. А как эти оставшиеся пары будут называться, нам не надо заботиться. Нам важно сколько станется пар! Хотя мы знаем, что оставшееся множество и это будет множеством близнецов. Что бы не запутывать себя, мы должны только узнать о пределе операций по прокалыванию пар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение02.08.2010, 20:11 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Ваши числа совпадают с приведенной формулой о количество непроколотых пар на повторе...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение02.08.2010, 20:36 
Аватара пользователя


24/08/09
176

(Оффтоп)

r-aax в сообщении #342205 писал(а):
Ваши числа совпадают с приведенной формулой о количество непроколотых пар на повторе...

Как я считаю, иногда лучше повториться несколько раз, что бы не было противоречий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение03.08.2010, 09:02 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Delvistar в сообщении #342190 писал(а):
мы должны только узнать о пределе операций по прокалыванию пар.

и как к этому пределу перейти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.
Сообщение03.08.2010, 12:28 
Аватара пользователя


24/08/09
176
r-aax в сообщении #342290 писал(а):
и как к этому пределу перейти?


Есть $2$ варианта решения задачи!

$Вариант 1$.

Бесконечное множество, которое образовалось после прокалывания не чётных натуральных чисел (решета Эратосфена) делящихся на $3$, мы обозначим как $A_{a}$. Это есть начальное бесконечное множество.

Бесконечное множество, которое образовалось после прокалывания не чётных натуральных чисел (решета Эратосфена) делящихся на $3,5$, мы обозначим как $A_{1}$.

Бесконечное множество, которое образовалось после прокалывания не чётных натуральных чисел (решета Эратосфена) делящихся на $3,5,7$, мы обозначим как $A_{2}$.

Бесконечное множество, которое образовалось после прокалывания не чётных натуральных чисел (решета Эратосфена) делящихся на $3,5,7,11$, мы обозначим как $A_{3}$.

И так бесконечно далее.
Процесс прокалывания (убирания пар от $A_{a}$) идёт в такой последовательности $\frac{\frac{2}{n}}{A_{n}}$.
Процесс сохранения (накопление не проколотых пар от $A_{a}$) идёт в такой последовательности $\frac{\frac{n-2}{n}}{A_{n}}$.

Вот нам необходимо найти предел такой последовательности:

$\frac{\frac{5-2}{5}}{A_{1}},\frac{\frac{7-2}{7}}{A_{2}},\frac{\frac{11-2}{11}}{A_{3}},...\frac{\frac{n-2}{n}}{A_{n}}$

При этом мы знаем, что в таких последовательностях как:

а) $\frac{\frac{5-2}{5}}{7},\frac{\frac{7-2}{7}}{7},\frac{\frac{11-2}{11}}{7},...\frac{\frac{n-2}{n}}{7}$

б) $\frac{\frac{5-2}{5}}{12},\frac{\frac{7-2}{7}}{12},\frac{\frac{11-2}{11}}{12},...\frac{\frac{n-2}{n}}{12}$

Пределами служит знаменатель для $\frac{n-2}{n}$.У нас это 7 и 12.

А в нашем случае с парами, то предел, это бесконечное множество $A_{n}$.

Разве в таком примере есть шанс множеству быть конечным?!

[Продолжение, в следующем сообщении!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 227 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 16  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group