Задача о пересекающихся отрезках

[Henrylee]

Shtirlic в сообщении #341620 писал(а):

Henrylee
Да я не комментировал ваше сообщение. Это я сказал к тому, что я не особо уверен, что сюда подойдет СМО, хотя я много и не знаю.
Что касается вашего сообщения. Вот если искать вероятность наступления $k$ событий за промежуток $t$. То ясно, что это вероятность наложения $k$ отрезков.
Тогда $P_k=C_n^k\frac{t^{k}(T-t)^{N-k}}{T^n}$ искомые доли, средние естественно.

Ну так я о том, что ТМО дает то же самое. Т.е., считая поступление сигналов однородным пуассоновским процессом (причем условным, поскольку $N$ фиксировано), мы снова получаем биномиальное распределение.

[katamaran]

Господа, так сколько в долях от N, произойдет двойных совпадений?

[Shtirlic]

Henrylee в сообщении #341663 писал(а):

Shtirlic в сообщении #341620 писал(а):

Henrylee
Да я не комментировал ваше сообщение. Это я сказал к тому, что я не особо уверен, что сюда подойдет СМО, хотя я много и не знаю.
Что касается вашего сообщения. Вот если искать вероятность наступления $k$ событий за промежуток $t$. То ясно, что это вероятность наложения $k$ отрезков.
Тогда $P_k=C_n^k\frac{t^{k}(T-t)^{N-k}}{T^n}$ искомые доли, средние естественно.

Ну так я о том, что ТМО дает то же самое. Т.е., считая поступление сигналов однородным пуассоновским процессом (причем условным, поскольку $N$ фиксировано), мы снова получаем биномиальное распределение.

А я с вами и не спорил, только уточнил что брать нужно $t$.

Но в данной задаче это мало применимо. Нас интересуют наложения. И очень важно как расположилось появление этих сигналов во времени. Если произошло 5 событий за время $t$, то будет точно 5 наложений, но там может быть и 1, и 2, и 3, и 4 наложения, а может и какого-то количества и не быть.
И вот тут вопрос: если мы знаем, что 5 отрезков пересекаются, нас интересует участок, где только 3 из них пересекались или нет?

Если не интересует, то продолжаю. У нас на $T$ много много отрезочков длины $t$. И количество появления $k$ событий на втором отрезочки зависет от количества появлений событий на первом отрезочке. Поэтому для каждого последующего отрезочка вероятность будет своя, зависящая от ситуации на предыдущих отрезочках. И на каждом отрезочке задается случайная величина, которая принимает значения 1 или 0, либо было $k$ событий, либо нет. А вот сумма этих случайных величин нас и интересует.
И это еще не рассматривалось наложение, а только появление. А с наложением вообще не ясно как проходят эти границ между отрезочками.
Так что, я думаю мы с вами ошиблись, Henrylee.

[Henrylee]

Shtirlic в сообщении #341730 писал(а):

И на каждом отрезочке задается случайная величина, которая принимает значения 1 или 0, либо было $k$ событий, либо нет. А вот сумма этих случайных величин нас и интересует.

Ну-ка, ну-ка, задайте-ка все такие с.в. на всех отрезках

И так понятно, что мы говорим о несколько другой задаче. А по поводу исходной. Нужны все-таки парные пересечения или вообще любые. Я так понял, что наиболее верую интерпретацию уже дал paha

[Shtirlic]

Henrylee в сообщении #341747 писал(а):

Shtirlic в сообщении #341730 писал(а):

И на каждом отрезочке задается случайная величина, которая принимает значения 1 или 0, либо было $k$ событий, либо нет. А вот сумма этих случайных величин нас и интересует.

Ну-ка, ну-ка, задайте-ка все такие с.в. на отрезке

Для первого отрезка имеем: $x_0=0:p_0=1-C_N^k\frac{t^k(T-t)^{N-k}}{T^N};x_1=1:p_1=C_N^k\frac{t^k(T-t)^{N-k}}{T^N}$. А вот со вторым интересней!=) Там пошли условия. Для сокращения пусть $P_i^j=C_i^j\frac{t^j(T-t)^{i-j}}{T^i}$. Тогда:
Пусть на первом отрезке появилось $z$ событий, тогда для второго имеем:
$x_0=0:p_0=P_N^{z}(1-P_{N-z}^k);x_1=1:p_1=1-p_0$. Пусть $X$ - это сумма $x$. Тогда имеем:$X_0=1-P_N^{k}+P_N^{0}(1-P_N^{k})+P_N^{1}(1-P_{N-1}^{k})+...+P_N^{z-1}(1-P_{N-z+1}^{k})+P_N^{z+1}(1-P_{N-z-1}^{k})+...+P_N^{N-k}(1-P_{k}^{k});X_1=1:p_1=1-p_0-p_2;X_2=2:p_2=P_N^{k}+P_{N-k}^{k}$.
Как-то так!=)

[Henrylee]

Непонятно, что такое "первый отрезок", "второй отрезок" и т.д.
Что такое $P_{N-k}^k$ в случае, когда $N-k<k$?
Сумма у Вас с.в.? Или все-таки константа $N$
Что такое $X_0$?

вопросы можно продолжать..

[Shtirlic]

Henrylee в сообщении #341772 писал(а):

Непонятно, что такое "первый отрезок", "второй отрезок" и т.д.
Что такое $P_{N-k}^k$ в случае, когда $N-k<k$?
Сумма у Вас с.в.? Или все-таки константа $N$
Что такое $X_0$?

вопросы можно продолжать..

Каюсь, опустил я много частных случаев (просто долго это было бы описывать=)).
Первый временной отрезок это $[0;t]$, второй $[t;2t]$ (ничего, что я и там и там включил концы? Просто вероятность появления сообытия в определенный миг равна 0). $N$ - количество появлений событий за весь временной промежуток константа. А С.В. задается на отрезке длиной $t$ (которые я в начале описал). $x$ я ввел не корректно. $x^1$ - С.В. которая показывает появятся ровно $k$ событий на первом отрезке ($x^1=1$) или нет ($x^1=0$). Для второго аналогично $x^2$. Дальше ввожу $X=x^1+x^2$. Ясно, что $x^2$ зависет от $x^1$. $X$ принимает 3 значения: ни на одном отрезке не появилось ровно $k$ событий $X_0=0$, на одном отрезке появилось ровно $k$ событий $X_1=1$, на двух отрезках появилось ровно $k$ событий $X_2=2$.

[Henrylee]

А как быть с отрезками, концы, которых не $nt$?

Впрочем, задавать новый ворох вопросов просто лень. Все равно ни к чему не приведет
PS За Вашими соснами не видно леса..
PPS Впрочем его там и нет.