Вообще, хорошо бы задачу добить - но в лом)
имеется в виду понять как устроено множество, являющееся замкнутым шаром, открытым множеством, но не открытым шаром (и аналогичное)
Правильная постановка вопроса! Добиваю задачу в лом. Для этого нужно разделить топологическую и метрические части проблемы.
Топологическая часть – открытые и замкнутые множества. При этом открытые множества это множества, состоящие только из внутренних точек. А замкнутые? А это как повезет! Может замкнутое множество состоять только из внутренних точек, а может и из внутренних и граничных, а может только из граничных. Лишь бы все его ( замкнутого множества) граничные точки ему принадлежали. Вот простой пример. Рассмотрим множество
![$[3, 7]\cup (12,20)$ $[3, 7]\cup (12,20)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/5/06581404b9e9f98631634dbb2dfd429082.png)
топология индуцирована стандартной топологией на числовой прямой. Подмножества
![$[3, 7]$ $[3, 7]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/0/2e0a511a4d84f5c8b4a6b157153b5e9b82.png)
и

оба открыты и замкнуты в
![$[3, 7]\cup (12,20)$ $[3, 7]\cup (12,20)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/5/06581404b9e9f98631634dbb2dfd429082.png)
. И точки 3 и 7 каждая входят в множество
![$[3, 7]$ $[3, 7]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/0/2e0a511a4d84f5c8b4a6b157153b5e9b82.png)
с открытой в этой топологии окрестностью и являются внутренними точками для множества
![$[3, 7]$ $[3, 7]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/0/2e0a511a4d84f5c8b4a6b157153b5e9b82.png)
в этой топологии. Например,

открытая окрестность точки 3.
Метрическая точка зрения. Все точки, находящиеся на расстоянии меньше радиуса от центра – открытый шар. Все точки – на расстоянии меньше или равного радиусу от центра – замкнутый шар.
Совмещаемся. В топологии пространства
![$[3, 7]\cup (12,20)$ $[3, 7]\cup (12,20)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/5/06581404b9e9f98631634dbb2dfd429082.png)
множество
![$[3, 7]$ $[3, 7]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/0/2e0a511a4d84f5c8b4a6b157153b5e9b82.png)
– открытое множество, замкнутый шар (центр 5), но не открытый шар.

– открытый шар (центр 16) и замкнутое множество (помним, что в топологии пространства
![$[3, 7]\cup (12,20)$ $[3, 7]\cup (12,20)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/5/06581404b9e9f98631634dbb2dfd429082.png)
!)