Открытый шар, являющийся замкнутым множеством

[Виктор Викторов]

mihailm в сообщении #340770 писал(а):

Вообще, хорошо бы задачу добить - но в лом)
имеется в виду понять как устроено множество, являющееся замкнутым шаром, открытым множеством, но не открытым шаром (и аналогичное)

Правильная постановка вопроса! Добиваю задачу в лом. Для этого нужно разделить топологическую и метрические части проблемы.
Топологическая часть – открытые и замкнутые множества. При этом открытые множества это множества, состоящие только из внутренних точек. А замкнутые? А это как повезет! Может замкнутое множество состоять только из внутренних точек, а может и из внутренних и граничных, а может только из граничных. Лишь бы все его ( замкнутого множества) граничные точки ему принадлежали. Вот простой пример. Рассмотрим множество $[3, 7]\cup (12,20)$ топология индуцирована стандартной топологией на числовой прямой. Подмножества $[3, 7]$ и $(12,20)$ оба открыты и замкнуты в $[3, 7]\cup (12,20)$. И точки 3 и 7 каждая входят в множество $[3, 7]$ с открытой в этой топологии окрестностью и являются внутренними точками для множества $[3, 7]$ в этой топологии. Например, $[3, 5)$ открытая окрестность точки 3.
Метрическая точка зрения. Все точки, находящиеся на расстоянии меньше радиуса от центра – открытый шар. Все точки – на расстоянии меньше или равного радиусу от центра – замкнутый шар.
Совмещаемся. В топологии пространства $[3, 7]\cup (12,20)$ множество $[3, 7]$ – открытое множество, замкнутый шар (центр 5), но не открытый шар. $(12,20)$ – открытый шар (центр 16) и замкнутое множество (помним, что в топологии пространства $[3, 7]\cup (12,20)$!)

[gris]

А почему $[3;7]$ не открытый шар? Центр 5, радиус 3. В определении шара нет же слов инфинум или наименьший?

[Виктор Викторов]

В чём с Вашей точки зрения различие между замкнутым и открытым шаром?

[gris]

В определении.
Пусть дано метрическое (под)пространство $(A,\rho)$, точка $a\in A$ и действительное число $r>0$

$B_r(a)=\{x\in A\,|\,\rho (x,a)<r\}$ - открытый шар

$D_r(a)=\{x\in A\,|\,\rho (x,a)\leqslant r\}$ - замкнутый шар

$[3;7]=\{x\in A\,|\,\rho (x,5)\leqslant 3\}=D_3(5)$ - замкнутый шар в нашем $A$

$[3;7]=\{x\in A\,|\,\rho (x,5)< 3\}=B_3(5)$ - открытый шар в нашем $A$

[Виктор Викторов]

И по Вашему определению [3; 7] -- замкнутый шар. x=5, r=2.

[gris]

Совершенно верно. Это подмножество может быть и открытым, и замкнутым шаром.
А вот диаметр из решения gris или множество точек из решения mihailm не могут быть замкнутыми шарами. Не существует такого центра и радиуса.

[Виктор Викторов]

Вы путаете два понятия открытый шар и открытое множество. В данном примере [3; 7] -- открытое множество, замкнутый шар, но не открытый шар в пространстве $[3; 7]\cup (12,20)$.

[gris]

Ещё раз. Я допустил небольшую описку ранее.

$[3;7]=\{x\in A\,|\,\rho (x,5)< 3\}=B_3(5)$ - открытый шар в нашем $A$

Если множество подходит под определение трамвая открытого шара, то его можно назвать открытым шаром. И договариваться не нужно.

[Виктор Викторов]

Мы с Вами понимаем эти определения различно.

gris в сообщении #340839 писал(а):

$[3;7]=\{x\in A\,|\,\rho (x,5)< 3\}=B_3(5)$ - открытый шар в нашем $A$

Это ошибка. Точки 3 и 7 не удовлетворяют неравенству $\,\rho (x,5)< 3$

[gris]

В нашем случае мы рассматриваем подпространства метрического пространства $R^2$. В нашем с Вами - $R^1$ c расстоянием между точками равному модулю разности координат.

$|3-5|=2<3;\,|7-5|=2<3$

Что не так?

[Виктор Викторов]

Только одно. В метрике индуцированной из числовой прямой [3; 7] -- замкнутый шар, (3; 7) -- открытый шар. Псё.

[gris]

У нас тут гроза, она растревожила мою душу.
Ничего не могу сказать более.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

А у нас жара. О душе промолчу.

-- Вс июл 25, 2010 13:07:35 --

Виктор Викторов в сообщении #340841 писал(а):

Мы с Вами понимаем эти определения различно.

gris в сообщении #340839 писал(а):

$[3;7]=\{x\in A\,|\,\rho (x,5)< 3\}=B_3(5)$ - открытый шар в нашем $A$

Это ошибка. Точки 3 и 7 не удовлетворяют неравенству $\,\rho (x,5)< 3$

Это я ошибся. Точки 3 и 7, конечно, удовлетворяют неравенству $\,\rho (x,5)< 3$, но множество [3;7] только собственное подмножество указанного Вами действительно открытого шара, но Ваш шарик это все точки удовлетворяющие неравенству $\,\rho (x,5)< 3$ и не множество [3;7], а множество (2; 8) и оно является открытым шаром, а множество [3;7] замкнутый шар.