Открытый шар, являющийся замкнутым множеством

[gris]

А я не понял. Открытый шар $B_{1/2}(1/2)$ вроде бы совпадает с замкнутым шаром $D_{1/4}(1/4)$?

[mihailm]

Леонтьева Т.А., Панфёров В.С., Серов В.С. - Задачи по теории функций действительного переменного
Задачи 2.1.28-29
Щас посмотрю

[JMH]

gris в сообщении #340726 писал(а):

А я не понял. Открытый шар $B_{1/2}(1/2)$ вроде бы совпадает с замкнутым шаром $D_{1/4}(1/4)$?

Видимо, это было решение только для первого вопроса задачи. Но смысл ясен.

[gris]

Нет, как же для первого, если открытый шар является замкнутым шаром, правда с другими параметрами.
Вот если бы в условии говорилось, что открытый шар не является замкнутым с тем же центром и радиусом, тогда да, это ответ на оба вопроса, даже в $R$/



Множество $A$ - синие и красные точки. Красный крест состоит из точек строго внутри круга (не обязательно иррациональных). Он является открытым шаром $B_1(0)$, замкнутым в $A$ множеством и его нельзя представить в виде завкнутого шара.

[JMH]

Открытый шар $B_{1/2}(1/2)$ содержит замкнутое множество (0,1/4] \cup {1/2}, открытый шар $B_{1/4}(1/4)$ содержит замкнутое множество (0,1/4], т.е. оба шара - открытые, содержащие замкнутые множества, оба примера на первый вопрос, так?

[gris]

Пример на прямой, мне кажется, для другой задачи.

$B_{1/2}(1/2)=(0,1/4] \cup {1/2}=D_{1/4}(1/4)$ - открытый шар является замкнутым шаром, а у Вас в условии он не является замкнутым.

[mihailm]

Ошибка какая то что ли в этом задачнике, решаем по очереди)
Значит так 1/4 выкинем, тогда открытый шар с центром 1/2 радиуса 1/2 замкнутое множество но не замкнутый шар, верно?

[gris]

Если задачу формализовать так: Найти $A\subset R^2:\,\exists \,B_r(a)=\overline{B_r(a)};B_r(a)\neq D_r(a)}$, тогда решение проходит.

Если задачу формализовать так: Найти $A\subset R^2:\,\exists \,B_r(a)=\overline{B_r(a)};B_r(a)\neq \forall D_p(b)}$, тогда нет.

А что имелось в виду? Открытый шар не является замкнутым шаром. Может быть это означает, что при смене знака неравенства на нестрогое обязательно добавляются точки.
Но я думаю, что это означает, что не существует никакого замкнутого шара равного первоначальному открытому.

Второй случай полностью аналогичен. И почему плоскость, а не прямая?

[mihailm]

Хочется конечно второй вариант, беру

(-\infty,0) \cup (0,1/4) \cup \{1/2\} \cup [1,+\infty)

Тогда открытый шар с центром 1/2 радиуса 1/2 замкнутое множество, но не замкнутый шар, по второму варианту?

[gris]

Какая разница? Он будет заммкнутым шаром $D_{1/4}(1/4)$ или $D_{1/3}(1/3)$
Завтра лесник придёт и всё расскажет. Надо спать.

[mihailm]

1/3 нет такой точки в A

[gris]

Да, нет. Ну может быть.
Кстати, мою конфигурацию можно чудовищно упростить. Оставить интервал и две точки

[mihailm]

(-\infty,0) \cup (0,1/4) \cup \{1/2\} \cup \{1\} \cup [5/4,+\infty)

Тогда замкнутый шар с центром 1/2 радиуса 1/2 открытое множество, но не открытый шар
вроде)

Это же множество и аналогичные шары пойдут и для ответа на первый вопрос

P.S. Вот что значит использовать непроверенный задачник)))

[gris]

такое не пойдёт?
Красный - диаметр без концов. И ещё две точки на окружности на перппендикулярном диаметре. Диаметр - открытый шар. Замкнутое множество. Но не замкнутый шар.

А если взять диаметр с концами, а сверху и снизу к окружности подогнать небольшие интервальчики, то это будет второй случай.

[mihailm]

gris в сообщении #340768 писал(а):

Красный - диаметр без концов. И ещё две точки на окружности на перпендикулярном диаметре. Диаметр - открытый шар. Замкнутое множество. Но не замкнутый шар.

Вроде так

-- Вс июл 25, 2010 12:13:17 --

Вообще, хорошо бы задачу добить - но в лом)
имеется в виду понять как устроено множество, являющееся замкнутым шаром, открытым множеством, но не открытым шаром (и аналогичное)