Открытый шар, являющийся замкнутым множеством

[JMH]

Имеется такая задача (в контексте метрических пространств):
"Приведите пример такого подпространства A плоскости $\mathbb{R}^2$, что в A существует открытый шар, являющийся замкнутым множеством, но не замкнутым шаром, и замкнутый шар, являющийся открытым множеством, но не открытым шаром."
Что-то мне не хватает фантазии... Не подскажете, в каком направлении двигаться?
Заранее спасибо!

-- Сб июл 24, 2010 10:24:35 --

Почему-то больше не вижу ответа gris, но я так понял, что подпространством будет $\mathbb{Z}$, в нем мы берем открытый шар (n,m) где m-n>1, тогда все элементы решетки одновременно открыты и замкнуты, как множества дискретного пространства? Тогда замкнутым шаром будет [n,m], с тем же результатом, так?

[mihailm]

На всякий случай спрошу
Метрика в A индуцирована стандартной евклидовой метрикой плоскости?

[JMH]

mihailm в сообщении #340695 писал(а):

Метрика в A индуцирована стандартной евклидовой метрикой плоскости?

Да, именно так автор определяет подпространство метрического пространства.

[gris]

Понятия замкнутое и открытое различны по отношению к множеству и шару.
Я бы построил первый шар вокруг одной точки, а второй подальше.
Первый шар должен определяться строгим неравенством, но не определяться никаким нестрогим. И содержать все свои предельные точки.
Вначале я почему-то решил, что подпространство должно быть линейным, но потом подумал, что мы рассматриваем прсто метрическое пространство и подпространство это просто произвольное подмножество.
Да?

То есть можно построить два этих примера по отдельности и разместить в разных местах.

[JMH]

gris в сообщении #340699 писал(а):

подумал, что мы рассматриваем прсто метрическое пространство и подпространство это просто произвольное подмножество.
Да?

Именно так.

Правильно ли я понял, что суть решения состоит в том, что в качестве подпространства берется дискретное пространство, в котором все элементы и множества являются множествами одновременно и открытыми и замкнутыми?

[gris]

Тогда надо строить замкнутое подмножество, определяемое неравенством $x^2+y^2<1$ так, чтобы оно не равнялось подмножеству $A$, определённому неравенством $x^2+y^2\leqslant 1$

Открытый шар содержится в замыкании, но оно не обязано совпадать с замкнутым шаром с теми же центром и радиусом. Множество $A$ будет состоять из нескольких изолированных точек. Но надо следить, чтобы оно не стало замкнутым шаром с другим центром и радиусом

[JMH]

Ведь изолированные точки будут открытым множеством только если (под)пространство дискретное? Т.е. суть решения в том, что мы выбираем дискретное подпространство пространства $\mathbb{R}^2$?

[gris]

Если взять иррациональные точки на осях и к ним добавить $\{(t;t)|t\geqslant 1\}$, то что можно сказать о шаре $B_1(0)$?

Замкнутость и открытость в $A$ я понял

[paha]

JMH в сообщении #340689 писал(а):

являющийся замкнутым множеством

JMH в сообщении #340689 писал(а):

являющийся открытым множеством

Замкнутость и открытость в $A$, или в $\mathbb{R}^2$?

[JMH]

paha в сообщении #340713 писал(а):

Замкнутость и открытость в $A$, или в $\mathbb{R}^2$?

Замкнутость и открытость в А.

[gris]

На осях строго внутри единичного круга. Этот иррациональный крест будет замкнут в $A$? А "прижать" его с четырёх сторон.

[JMH]

Строго внутри единичного круга иррациональный "крест" будет открыт, т.к. не содержит предельные точки 1 и -1, добавив которые мы получим замкнутое множество.

[gris]

А эти точки не принадлежат $A$, и в $A$ крест будет замкнут.

[mihailm]

(-\infty,0) \cup (0,1/4] \cup {1/2} \cup [1,+\infty)

центр 1/2 радиус 1/2
центр 1/4 радиус 1/4

Сам не придумал - позорно списал с задачника)

[JMH]

Понял.
gris, mihailm, спсибо!