эллиптическое уравнение

[terminator-II]

Пусть $D\subset \mathbb{R}^2$ выпуклая ограниченная область с гладкой границей.

Доказать, что задача Дирихле $\Delta u =\sin u,\quad u(\partial M)=0$ не имеет в $D$ других решений, кроме тождественного нуля.

Знание курса УРЧП не требуется

[ewert]

terminator-II в сообщении #339858 писал(а):

Знание курса УРЧП не требуется

А напрасно не требуется. Решение задачи Дирихле единственно -- и точка. Для тех, кто в курсе, разумеется. А тем, кто нет -- и сама постановка задачи будет нелепой и непонятно зачемной.

(это опять же по тому же самому поводу)

[terminator-II]

ewert в сообщении #339877 писал(а):

Решение задачи Дирихле единственно -- и точка

А Вы это к чему? Я просто не понял, Вы высказались о том как решать эту задачу или нет? Если, да то, пожалуйста подробней. Пока ничего непонятно.

ewert в сообщении #339877 писал(а):

А напрасно не требуется.

Если Вы с Профессором не сможете решить эту задачу, я приведу решение, и Вы убедитесь, что знать УРЧП действительно не надо.

[вздымщик Цыпа]

terminator-II в сообщении #339858 писал(а):

Доказать, что задача Дирихле...

Обозвав это задачей Дирихле, Вы сбиваете с толку тех кто знает УрЧП и не читает внимательно саму задачу, поскольку они помнят что решение задачи Дирихле единственно и если ноль подходит, то больше ничего не бывает. Однако термин «задача Дирихле» применяется только к уравнению Лапласа, а не к произвильному уравнению, содержащему лапласиан.

Да и еще там похоже опечатка, не $\partial M$, а $\partial D$.

[worm2]

вздымщик Цыпа писал(а):

Обозвав это задачей Дирихле, Вы сбиваете с толку тех кто знает УрЧП...

Одновременно сбиваются с толку те, кто не знают УрЧП, т.к. "задача Дирихле" для них бессмысленный набор букв
Но, как бы то ни было, задача очень интересная. Я бы попросил terminator-II пока не выкладывать решение, хочется ещё подумать...

[terminator-II]

вздымщик Цыпа в сообщении #339968 писал(а):

Да и еще там похоже опечатка, не $\partial M$, а $\partial D$.

Да, должно быть $\partial D$.

вздымщик Цыпа в сообщении #339968 писал(а):

Однако термин «задача Дирихле» применяется только к уравнению Лапласа, а не к произвильному уравнению, содержащему лапласиан

где применяется? в том курсе, который Вы слушали?
тогда вот это посмотрите
http://www.math.hawaii.edu/home/talks/c ... k_3-08.pdf
формула (0.1) и то, что выше написано. Вам как одному из

вздымщик Цыпа в сообщении #339968 писал(а):

тех кто знает УрЧП

это будет весьма полезно

[Padawan]

Если записать формулу для решения уравнения Пуассона с данными граничными условиями, то получится $u(M_0)=\int_D\sin u(M)G(M,M_0)\, d\mu(M)$, где $G(M,M_0)$ -- функция Грина задачи Дирихле с полюсом в точке $M_0$. Теперь надо, наверное, показать, что интегральный оператор справа является сжимающим. Это будет так, если $\int_D G(M,M_0)d\mu(M)<1$. Не могу понять так это или нет?

[terminator-II]

Не знаю. То решение, которое мне известно, очччень существенноиспользует выпуклость области. Подозреваю, что если от выпуклости отказаться, то утверждение перестанет быть верным.

-- Tue Jul 20, 2010 20:26:23 --

Padawan в сообщении #340079 писал(а):

интегральный оператор справа является сжимающим

в каком пространстве?

[Padawan]

terminator-II
в $C(\overline D)$ c супремум-нормой.

[terminator-II]

Возьмем круг $B=\{x^2+y^2\le R^2\}$
Тогда функция $u=-(R^2-x^2-y^2)/4$ является задачи $\Delta u=1$ И соответственно
$u=\int_B G(M,M_0)d\mu(M)$
при этом $\min \int_B G(M,M_0)d\mu(M)=-R^2/4$ не пойдет тут принцип сжатых отображений, кажется

[Padawan]

Если $R$ маленькое, то подойдет . В общем случае да, не получается

[вздымщик Цыпа]

terminator-II,

(Оффтоп)

terminator-II в сообщении #340018 писал(а):

где применяется? в том курсе, который Вы слушали?
тогда вот это посмотрите
http://www.math.hawaii.edu/home/talks/c ... k_3-08.pdf
формула (0.1) и то, что выше написано.

Везде применяется. Гавайским аффтарам попугайских презентух оранжевым по синему с битыми шрифтами дозволено все, нивапрос. Вам угодно уподобиться им?

[terminator-II]

вздымщик Цыпа в сообщении #340126 писал(а):

terminator-II,

(Оффтоп)

terminator-II в сообщении #340018 писал(а):

где применяется? в том курсе, который Вы слушали?
тогда вот это посмотрите
http://www.math.hawaii.edu/home/talks/c ... k_3-08.pdf
формула (0.1) и то, что выше написано.

Везде применяется. Гавайским аффтарам попугайских презентух оранжевым по синему с битыми шрифтами дозволено все, нивапрос. Вам угодно уподобиться им?

не ставьте себя в еще более глупое положение, я Вам ссылок опровергающих эту чепуху:

вздымщик Цыпа в сообщении #339968 писал(а):

Однако термин «задача Дирихле» применяется только к уравнению Лапласа,

могу накидать сколько угодно, если не нравится та, что я уже привел, ловите еще парочку:
почитайте абстракт здесь http://iopscience.iop.org/0025-5726/25/3/A07
или здесь http://qjmath.oxfordjournals.org/cgi/co ... t/56/4/579

[Padawan]

Padawan в сообщении #340079 писал(а):

Это будет так, если $\int_D G(M,M_0)d\mu(M)<1$.

Тут у меня ошибка, должно быть по модулю $\int_D |G(M,M_0)|d\mu(M)<1$, так как $G<0$.

Интересно, что ели область $D$ (любую, не обязательно выпуклую) можно поместить в круг радиуса $R<\sqrt{2}$, то это условие выполнено. Действительно, как заметил terminator-II, надо взять решение уравнения Пуассона $\Delta u=1$ с нулевыми граничными значениями и показать, что $\max_{M\in D} |u(M)|<1$. Решение легко строится -- это будет разность функции $\frac{x^2+y^2}{4}$ и решения задачи Дирихле с граничными данными от этой функции. Если область лежит в круге радиуса $R<\sqrt{2}$, то оба этих слагаемых $<\frac{1}{2}$ (второе -- по принципу максимума для гармонических функций), значит, их сумма $<1$.

Еще в этом случае вместо синуса можно поставить любую функцию $\varphi(u)$, удовлетворяющую условию $|\varphi(x)-\varphi(y)|\leqslant |x-y|$, например, $\Delta u=\cos u$. Всё то же самое получается.

Интерсно, как вообще размер области на единственность решения может влиять?

[mihiv]

Единственность нулевого решения можно доказать,если,например, функция $\varphi (u)$ в правой части уравнения удовлетворяет условию: $u\varphi (u)\geqslant 0$.Область $D$ при этом не обязана быть выпуклой.