Это будет так, если

.
Тут у меня ошибка, должно быть по модулю

, так как

.
Интересно, что ели область

(любую, не обязательно выпуклую) можно поместить в круг радиуса

, то это условие выполнено. Действительно, как заметил
terminator-II, надо взять решение уравнения Пуассона

с нулевыми граничными значениями и показать, что

. Решение легко строится -- это будет разность функции

и решения задачи Дирихле с граничными данными от этой функции. Если область лежит в круге радиуса

, то оба этих слагаемых

(второе -- по принципу максимума для гармонических функций), значит, их сумма

.
Еще в этом случае вместо синуса можно поставить любую функцию

, удовлетворяющую условию

, например,

. Всё то же самое получается.
Интерсно, как вообще размер области на единственность решения может влиять?