О множестве всех неосуществимых натуральных чисел

[Macavity]

Котофеич писал(а):

:evil: Ну мало ли что показал Кантор. В каком это смысле его числа существуют?:!

А в каком смысле числа вообще существуют? В смысле Платона, в мире идей?
Уверены, что существование означает представимость числа в какой-то системе счисления.

Математики африканского племени Мумба-юмба работают с числами - один, два, три, МНОГО...
"МНОГО" не представимо в системах счисления.

На самом деле я шучу, не обижайтесь, кот кота не обидит

Котофеич писал(а):

Как значки на бумаге? И потом кто сказал, что его числа запретили, Вольпин такого не говорил

Только начал читать, прочитаю скажу.

[Macavity]

М-да, прочитал, тяжелое впечатление.

Как же Вы, Котофеевич, будете с этим жить. Ведь с точки зрения этой теории существование дальних (и близких!) Галактик неосуществимо, проверить нельзя, долететь нельзя, пощупать нельзя, да и растояние до них неосуществимое или скоро станет неосуществимым в силу расширения Вселенной.

Нет, знаете, трансфиниты мне как-то ближе.

[незваный гость]

Переношу из «Математики» в «Дискуссионные темы». Не как дискуссионную, а как относящуюся к основаниям математики.

[Котофеич]

Macavity писал(а):

М-да, прочитал, тяжелое впечатление.

Как же Вы, Котофеевич, будете с этим жить. Ведь с точки зрения этой теории существование дальних (и близких!) Галактик неосуществимо, проверить нельзя, долететь нельзя, пощупать нельзя, да и растояние до них неосуществимое или скоро станет неосуществимым в силу расширения Вселенной.
Нет, знаете, трансфиниты мне как-то ближе.

А зачем Вам дальние галактики Вам что плохо живется в этой галактике
Дело не в этом, а в том, что возможно не одна теория натурального ряда и континуума.
Существуют теории, в которых конечные числа, могут обладать некоторыми свойствами
присущими числам Кантора. Для будущего развития космологии, это может представить
принципиальный интерес.

[Macavity]

Котофеич писал(а):

Macavity писал(а):

М-да, прочитал, тяжелое впечатление.

Как же Вы, Котофеевич, будете с этим жить. Ведь с точки зрения этой теории существование дальних (и близких!) Галактик неосуществимо, проверить нельзя, долететь нельзя, пощупать нельзя, да и растояние до них неосуществимое или скоро станет неосуществимым в силу расширения Вселенной.
Нет, знаете, трансфиниты мне как-то ближе.

А зачем Вам дальние галактики Вам что плохо живется в этой галактике

Ну о проблемах дальних галактик и космологии затеял разговор не я, а Вы в теме об Эйнштейне и шимпанзе...

Котофеич писал(а):

Дело не в этом, а в том, что возможно не одна теория натурального ряда и континуума.
Существуют теории, в которых конечные числа, могут обладать некоторыми свойствами
присущими числам Кантора. Для будущего развития космологии, это может представить
принципиальный интерес.

Наверное. Это хорошо, что математика может изучать самые разные и даже неосуществимые теории и делать самые странные эксперименты. Я читал у Литлвуда, что кто-то исходя из этих соображений играл на трубе перед тюльпанами. Результат опыта был отрицательным. В.И. Арнольд тоже сторонник всяческих экспериментов в математике...

Мне не нравится, что построения основанные на том, сколько чисел может существовать, типа того, что для маленького ребенка есть десять цифр, так давайте на этом построим всю математику...

Проблемы все-таки в теории множеств и ими занимались в середине прошлого века, кажется так и появилась теория категорий. А помнится, Гуц на основании этой теории (топосы) развивал вопросы связанные с Мультиверсом Дойча и машиной времени.

Математическая интуиция - это прекрасно, но строить теорию на интуиции...

[незваный гость]

незваный гость:

Macavity
Вам предупреждение за off-topic. Основания математики — вполне серьезный математический раздел, хотя его и легко спутать со свободной дискуссией. Кроме того, то, что Котофеич говорил в другой теме лучше продолжать обсуждать там, а не тащить сюда.

[Котофеич]

Вы видимо не знаете, что число вида $N\approx10^{10^{10^{34}}}$
не является конечным само по себе, а на самом деле это следствие классического принципа математической индукции. Принцип индукции это просто аксиома и более того непротиворечивость такой аксиомы не доказуема приемлемым финитным способом. Вот и
выходит что Ваш король голый и играет перед тюльпанами на воображаемой трубе :D Математики говорят, что математика это вид искусства. Да я согласен. Есть много
видов искусства, но какое отношение это искусство имеет к реальности По большому
счету никакого. Например как только заходит речь о решении какого нибудь мало мальски
нелинейного уравнения и все бегут за помощью не к математикам а к комьпьютерам.
Ну а с какими числами работают эти компьютеры Разумеется только с осуществимыми.
Я однако не говорил, что неосуществимость чисел эквивалентна их полному отсутствию,
неосуществимость это понятие представляющее собой более слабую форму обычного
существования, но в рамках классической логики это понятие вообще нельзя формально
определить. Например Вольпин пользуется интуиционистской логикой без закона двойного
отрицания, в которой неосуществимость можно ввести как двойное отрицание осуществимости. Я просто не хочу этого делать и ввожу неосуществимость как новый предикат, хотя нет существенной разницы.
Никто не говорит что нужно строить на интуиции. Итуиционизм это просто название. Классическая арифметика это предельный частный случай интуиционистской, которая намного
сложнее и интересней. В классической математике принята гипотеза актуальной осуществимости бесконечных множеств, а в интуиционистской нет. Вот и вся разница.
Лицо математики и проблематика многократно менялись на протяжении веков и то что
сегодня кажется вершиной математической мысли, через 50 или 70 лет, может казаться
для последующих поколений смешным и наивным. Вспомните Лейбница и Эйлера, ведь их
методы построения анализа были просто выброшены на мусор, после того как была построена теория пределов. Увы и эту теорию, со временем может постигнуть та же участь.

[Macavity]

незваный гость писал(а):

Кроме того, то, что Котофеич говорил в другой теме лучше продолжать обсуждать там, а не тащить сюда.

Простите, погорячился.

незваный гость писал(а):

Основания математики — вполне серьезный математический раздел, хотя его и легко спутать со свободной дискуссией.

Дело в том, что вид обсуждения определяется не только тем, к чему относится тема, но и контест обсуждаемой статьи.
Автор статьи (насколько я понимаю речь идет об академике Есенине-Вольпине, математике, поэте, диссиденте) заслуживает всяческого уважение, но сама его теория мне кажется сомнительной. Аргументы приводимые им неформальны -
"Мы хорошо мыслим себе путника, решившегося пройти весь путь от Москвы до Ленинграда пешком, без единого привала. В любой момент он в состоянии сделать еще один шаг; даже в тот момент когда он падал от усталости, он мог бы сделать лишний шаг, если бы к тому был достаточный стимул. И тем не менее, этот путник не дойдет до Ленинграда" и т.д.
Это прекрасно с точки зрения попытки объяснения теории, но недостаточно для ее доказательства. Я тоже перешел к таким же неформальным примерам, но видимо перегнул палку. Исправлюсь.

Однако замечу, что
"За десятиление до работ Гёделя группа математиков во главе с Давидом Гильбертом попыталась установить непротиворечивость арифметики и даже математики в целом при помощи так называемых финитных методов. Эти методы ограничиваются описанием явных, конкретных, непосредственно воспринимаемых объектов и принципов, истинность которых видна из непосредственного их рассмотрения. Гёдель показал невозможность установить такими методами непротиворечивость никакой системы, достаточной для развития арифметики обыкновенных целых чисел. Это открытие считается одним из важнейших событий в математике 20-го столентия. Его удар по программе Гильберта был сокрушителен." Р. Голдблат. Топосы. Категорный анализ логики.

Аналогичный пассаж можно найти и у Германа Вейля в статье "Математика и логика".

[Macavity]

Котофеич писал(а):

:evil: Вы видимо не знаете, что число вида $N\approx10^{10^{10^{34}}}$не является конечным само по себе, а на самом деле это следствие классического принципа математической индукции.

Не нравится что-то мне это число...
Может все-таки лучше $N\approx10^{10^{10^{24}}}$ или даже $N\approx10^{10^{10^{74}}}$

Мне кажется, что Ваше число не только не конечное, но еще и не окончательное...
А вообще я не знаю, что такое не конечное число, в классической теории есть натуральные числа, а конечных и не конечных среди них нет.

Котофеич писал(а):

Принцип индукции это просто аксиома и более того непротиворечивость такой аксиомы не доказуема приемлемым финитным способом. Вот и
выходит что Ваш король голый и играет перед тюльпанами на воображаемой трубе :D Математики говорят, что математика это вид искусства. Да я согласен. Есть много
видов искусства, но какое отношение это искусство имеет к реальности По большому
счету никакого. Например как только заходит речь о решении какого нибудь мало мальски
нелинейного уравнения и все бегут за помощью не к математикам а к комьпьютерам.
Ну а с какими числами работают эти компьютеры Разумеется только с осуществимыми.

В этом и проблема Вашей теории, ее варианты появились еще до того, как появились компьютеры. И Ваше очень-очень большое число тогда было значительно меньше.
Появятся квантовые компьютеры, там кубит содержит вовсе не два состояния придется снова число корректировать, возможно.

Котофеич писал(а):

Я однако не говорил, что неосуществимость чисел эквивалентна их полному отсутствию,
неосуществимость это понятие представляющее собой более слабую форму обычного
существования, но в рамках классической логики это понятие вообще нельзя формально
определить. Например Вольпин пользуется интуиционистской логикой без закона двойного
отрицания, в которой неосуществимость можно ввести как двойное отрицание осуществимости. Я просто не хочу этого делать и ввожу неосуществимость как новый предикат, хотя нет существенной разницы.
Никто не говорит что нужно строить на интуиции. Итуиционизм это просто название. Классическая арифметика это предельный частный случай интуиционистской, которая намного
сложнее и интересней. В классической математике принята гипотеза актуальной осуществимости бесконечных множеств, а в интуиционистской нет. Вот и вся разница.

Не знаю зачем Вам курочить натуральные числа, дались они Вам.
Всегда можно построить метрическое пространство нужного вида, а не метрическое, то топологическое. И натуральные числа здесь ни причем.

В принципе, в физике, чтобы теория была принята как новая и по настоящему революционная, она должна быть достаточно "безумной". Безумной не в буквальном смысле, а в том, что её в упор не принимают приверженцы классической теории.
Кажется такими были теории Максвелла, Эйнштейна, квантовая механика...
Возможно, у Вашей теории есть шанс, ей тоже будет трудно.
Но одного "безумия" мало надо, чтобы она была достаточно развита и применима, а тут уже могут быть проблемы. Хотя я считаю, что это не повод, чтобы ломать натуральный ряд.

Котофеич писал(а):

Лицо математики и проблематика многократно менялись на протяжении веков и то что
сегодня кажется вершиной математической мысли, через 50 или 70 лет, может казаться
для последующих поколений смешным и наивным. Вспомните Лейбница и Эйлера, ведь их
методы построения анализа были просто выброшены на мусор, после того как была построена теория пределов. Увы и эту теорию, со временем может постигнуть та же участь.

Но сам анализ остался и многочисленные достижения в других областях тоже. Эйлер открыл ряд таких вещей, что никто их не опровергнет.
В физике разве нет подобных трудностей, то свет корпускула, то волна, то снова корпускула, то вдруг и волна и корпускула, то струна и т.д. и т.п. и пр.

[Котофеич]

Вы не совсем поняли о чем идет речь. В классической математике с целью упрощений,
любое число предполагается осуществимым, поэтому конкретное содержание такого понятия
как осуществимость, не играет роли. Там нет разницы между числом 10 и 10 в степени 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.
Вольпин и я говорим не об одной теории натурального ряда, а о бесконечном множестве
таких теорий упорядоченных по типу омега. В таких теориях важна интерпретация предиката
осуществимости. Например число 100 может быть не осуществимым для Вас если это не
элемент обычного натурального ряда а 100 мегапарсек. Уже даже число 1 будет неосуществимо и я надеюсь, что Вы не станете с этим спорить. Таким образом классическая
математика, предлагает физикам не то что им нужно. Вспомните историю с неэвклидовой
геометрией. С чего это Вы взяли что возможна только одна теория натурального ряда
Ваш пример с квантовыми компьютерами это не аргумент. Я конечно мог бы сказать,
что когда они появятся, то тогда и поговорим С квантовыми компьютерами вопрос обстоит
еще сложнее. Нет абсолютно никакой гарантии, что расчеты на них будут подчиняться строго
детерминированным законам, как и на обычных компьютерах. Физики много чего говорят и
обесчают, чтобы получить денег на свои фантастические прожекты. Крах струнного подхода,
это яркий пример того, что физическое сообщество может ошибиться не в меньшинстве, а
скопом Скорее всего для расчетов на этих компьютерах понадобятся еще более сложные
представления о натуральных числах. Ну например те о которых говорил Рашевский. Эти
теории вообще реализованы на вероятностной логике и еще более радикально отличаются от
теорий Вольпина.
Я не даром говорил о классической математике как о разновидности искусства.
Искуйство это вещь которая со временем начинает превращаться в вещь в себе и представлять интерес только для тех лиц которые этим делом кормяться. Но любое искуйство
имеет и прикладные аспекты, без которых денег просто не дадут и представители начнут
потихоньку вымирать, как например вымерла итальянская школа алгебраической геометрии,
после создания языка схем Гротендика.
Что касается Эйлера, то результаты остались, но его доказательства с современной точки зрения, это маразм. С помощью методов нестандартного анализа некоторые его
доказательства удалось реинтерпретировать, но они оказались намного сложнее чем классические. Я говорил о том что сами методы Эйлера оказались отброшены. Точно также
физики отбросят и сам классический анализ, когда поумнеют на столько что поймут неадекватность его исходных положений их задачам.
Я не говорил, что классическая математика не нужна и ее надо отбросить. Наоборот
ее необходимо пока развивать и дальше. Но не нужно создавать из нее культ. Необходимо
понимать, что постулаты, лежащие в ее основе, это только приближение к реальности и
не нужно говорить, что это приближение единственно возможное и самое лучшее.
Например специалисты в области логики уже давно поняли, что классическая логика это очень плохое приближение к реальности и усиленно разрабатывают и изучают всякие неклассические логики. А то что в математике эти процессы идут намного медленнее, так
это вовсе не означает, что их там вообще нет.

[Macavity]

Котофеич писал(а):

:evil: Вы не совсем поняли о чем идет речь. В классической математике с целью упрощений,
любое число предполагается осуществимым, поэтому конкретное содержание такого понятия
как осуществимость, не играет роли. Там нет разницы между числом 10 и 10 в степени 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.
Вольпин и я говорим не об одной теории натурального ряда, а о бесконечном множестве
таких теорий упорядоченных по типу омега. В таких теориях важна интерпретация предиката
осуществимости. Например число 100 может быть не осуществимым для Вас если это не
элемент обычного натурального ряда а 100 мегапарсек. Уже даже число 1 будет неосуществимо и я надеюсь, что Вы не станете с этим спорить. Таким образом классическая
математика, предлагает физикам не то что им нужно. Вспомните историю с неэвклидовой
геометрией. С чего это Вы взяли что возможна только одна теория натурального ряда
Ваш пример с квантовыми компьютерами это не аргумент. Я конечно мог бы сказать,
что когда они появятся, то тогда и поговорим С квантовыми компьютерами вопрос обстоит
еще сложнее. Нет абсолютно никакой гарантии, что расчеты на них будут подчиняться строго
детерминированным законам, как и на обычных компьютерах. Физики много чего говорят и
обесчают, чтобы получить денег на свои фантастические прожекты. Крах струнного подхода,
это яркий пример того, что физическое сообщество может ошибиться не в меньшинстве, а
скопом Скорее всего для расчетов на этих компьютерах понадобятся еще более сложные
представления о натуральных числах. Ну например те о которых говорил Рашевский. Эти
теории вообще реализованы на вероятностной логике и еще более радикально отличаются от
теорий Вольпина.
Я не даром говорил о классической математике как о разновидности искусства.
Искуйство это вещь которая со временем начинает превращаться в вещь в себе и представлять интерес только для тех лиц которые этим делом кормяться. Но любое искуйство
имеет и прикладные аспекты, без которых денег просто не дадут и представители начнут
потихоньку вымирать, как например вымерла итальянская школа алгебраической геометрии,
после создания языка схем Гротендика.
Что касается Эйлера, то результаты остались, но его доказательства с современной точки зрения, это маразм. С помощью методов нестандартного анализа некоторые его
доказательства удалось реинтерпретировать, но они оказались намного сложнее чем классические. Я говорил о том что сами методы Эйлера оказались отброшены. Точно также
физики отбросят и сам классический анализ, когда поумнеют на столько что поймут неадекватность его исходных положений их задачам.
Я не говорил, что классическая математика не нужна и ее надо отбросить. Наоборот
ее необходимо пока развивать и дальше. Но не нужно создавать из нее культ. Необходимо
понимать, что постулаты, лежащие в ее основе, это только приближение к реальности и
не нужно говорить, что это приближение единственно возможное и самое лучшее.
Например специалисты в области логики уже давно поняли, что классическая логика это очень плохое приближение к реальности и усиленно разрабатывают и изучают всякие неклассические логики. А то что в математике эти процессы идут намного медленнее, так
это вовсе не означает, что их там вообще нет.

К сожалению мы обсуждаем то, чего нет. Ваша теория требует больших усилий, чтобы быть сколько-нибудь развитой. Это с учетом всего, что должно быть над логикой и натуральным рядом, титанические усилия сравнимые с теми, которые совершили Бурбаки - за сорок лет около сорока томов. Они не смогли охватить всю математику и близко. Боюсь, что отказ от классики, приведет Вас к неосуществимости теории о неосуществимых числах.

[Котофеич]

Мы обсуждаем не мою теорию а теорию или точнее ультраинционистскую арифметику Вольпина. Представьте себе что она есть и признана специалистами по математической
логике. Что касается Бурбаков, то например Арнольд прямо заявил, что Бурбаки занимались
глупостями. Если хотите с ним поспорить, можете попытаться

[Macavity]

Котофеич писал(а):

:evil: Мы обсуждаем не мою теорию а теорию или точнее ультраинционистскую арифметику Вольпина. Представьте себе что она есть и признана специалистами по математической логике.

Я так понимаю, что с признанием есть проблемы (судя по содержанию статьи, в 1995 точно были):А.С.Есенин-Вольпин. Формулы или формулоиды?

Котофеич писал(а):

Что касается Бурбаков, то например Арнольд прямо заявил, что Бурбаки занимались глупостями. Если хотите с ним поспорить, можете попытаться

И не только заявил, но диспутировал с ними.
Я бы попытался, но не на эту тему...

[Котофеич]

Ну я не знаю, какие там проблемы у Вольпина. Но давным давно существуют
арифметики использующие даже противоречивую логику и с их признанием уже
точно нет никаких проблем. Вы должны ясно представлять, что математика и
основания математики это две разные науки. Под математикой мы обычно понимаем
классическую математику, основанную на классической логике. Теория категорий которую
вы вскользь упомянули, как раз и является новым эффективным средством, для построения
математики на базе произвольной неклассической логики. Исследования в этой области
ведуться уже давно, но только специалистами по категорной математике.
Что касается спора бурбакистов с Арнольдом, то не правы не те и не другие. Это просто
две крайние точки зрения, пробел между которыми пока еще не заполнен.

[Macavity]

Котофеич писал(а):

:evil: Ну я не знаю, какие там проблемы у Вольпина. Но давным давно существуют
арифметики использующие даже противоречивую логику и с их признанием уже
точно нет никаких проблем. Вы должны ясно представлять, что математика и
основания математики это две разные науки. Под математикой мы обычно понимаем
классическую математику, основанную на классической логике. Теория категорий которую
вы вскользь упомянули, как раз и является новым эффективным средством, для построения
математики на базе произвольной неклассической логики. Исследования в этой области
ведуться уже давно, но только специалистами по категорной математике.
Что касается спора бурбакистов с Арнольдом, то не правы не те и не другие. Это просто
две крайние точки зрения, пробел между которыми пока еще не заполнен.

А скажите, почему Вы выбрали именно этот вид логики. Есть же еще нечеткие, модальные, временные? Чем инционистская предпочтительнее для физики, космологии?