О множестве всех неосуществимых натуральных чисел

[Котофеич]

Отщепил от темы Почему в нашем мире все конечно? (Физика)
// Аурелиано


Да Вы совершенно правы, неосуществимость и бесконечность в классической
математике это разные вещи. Для построения матаппарата нет необходимости проводить
полную формализацию физической неосуществимости, что невозможно. Достаточно формализовать только некоторые необходимые и достаточно простые свойства этого понятия.
Такую формализацию много лет назад выполнил известный логик Есенин-Вольпин . В интернете нет его работ, поэтому я разъясню основные моменты этих построений (тайм аут)

[Котофеич]

Приступим к формулировке основных аксиом. Символом O(n) будем обозначать
предикат -- число n есть осуществимое натуральное число.
1)(а) 0 есть осуществимое натуральное число.
(б) для любого n если O(n) то O(n+1).
2) существует по крайней мере одно неосуществимое натуральное
число Q.
Из этих двух свойств, очевидным образом вытекает
Лемма1. Множество всех неосуществимых натуральных чисел, не имеет наименьшего
элемента.
Лемма2. Число элементов множества всех осуществимых натуральных чисел, есть
неосуществимое натуральное число.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Лемма2. Число элементов множества всех неосуществимых натуральных чисел, есть неосуществимое натуральное число.

Ну, Лемма 1 пусть себе будет, а Лемма 2 Вам в каком страшном сне приснилась?

Но даже и для Леммы 1 тех аксиом, которые Вы сформулировали, маловато будет.

[Котофеич]

Приведите контрпримеры, подтверждающие Ваше утверждение

[Someone]

Котофеич писал(а):

:evil: Приведите контрпримеры, подтверждающие Ваше утверждение :roll:

Я имел в виду, аксиомы Пеано присутствуют в неизменном виде, или Вы их тоже модифицируете?

Но даже и с ними: будем считать $0$ неосуществимым числом, а остальные - осуществимыми.

И почему вообще должно существовать "число неосуществимых чисел"? Например, "число натуральных чисел" не существует. Если Вы считаете неосуществимые числа несуществующими, то это неинтересно.

[Котофеич]

Там была опечатка. Аксиомы Пеано присутствуют в неизменном виде, за исключением аксиомы индукции. В силу отсутствия этой аксиомы сумма и произведение осуществимых чисел не обязательно всегда осуществимы, O(n) и O(m) не влечет в общем случае
O(n+m),а тем более O(nm). Осуществимость это в понятном смысле, более сильное свойство чем существование. Неосуществимые числа разумеется существуют. А вот можно ли определить, что есть число элементов множества всех осуществимых чисел
O(N) это резонный вопрос. Но если не получиться, то все равно лемма2 не играет большой роли.

[Someone]

Всё равно Вам сформулированных двух аксиом даже вместе с аксиомами Пеано не хватит, чтобы получить Лемму 1. Там ещё что-нибудь нужно, типа "$0$ - осуществимое число". И с аксиомами индукции нужно поосторожнее, а то вместо натурального ряда какой-нибудь уродец выйдет.

И не следует ли этот вопрос перенести в математический форум? Но это Ваше обсуждение, так что Вам нужно с этим определиться.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Всё равно Вам сформулированных двух аксиом даже вместе с аксиомами Пеано не хватит, чтобы получить Лемму 1. Там ещё что-нибудь нужно, типа "$0$ - осуществимое число". И с аксиомами индукции нужно поосторожнее, а то вместо натурального ряда какой-нибудь уродец выйдет.

И не следует ли этот вопрос перенести в математический форум? Но это Ваше обсуждение, так что Вам нужно с этим определиться.

По поводу 0 я исправил. Эти три аксиомы естественно не мои, а Вольпина.
Разумеется лучше перенести на математический форум. Вольпин использует ограниченную
индукцию. К сожалению его работа очень давно издавалась. Если есть интерес к этому делу то я отсканирую. Ну с точки зрения классики, любой обчекрыженный натуральный ряд это
какой то уродец тут я с Вами полностью согласен.

[незваный гость]

А все-таки, как доказывается Лемма 1? Мне как-то непонятно — аксиома 1 задает свойства
осуществимых, а вывод про неосуществимые. Впрочем, Лемма 2 мне не менее непонятна.

Котофеич писал(а):

Если есть интерес к этому делу то я отсканирую.

Ловлю на слове. Буду премного благодарен. Рапида, Слил — любой удобный Вам сервис.

[Someone]

Вообще, раз уж речь зашла о модификации аксиом Пеано, неплохо бы иметь перед глазами полный список аксиом. А то действительно непонятно.

[Руст]

А какой смысл в бредовых расширениях множества натуральных чисел? Я знаю применения нестандартного анализа в теории чисел (в книге Степанова), но все эти вещи можно доказать и неиспользуя нестандартный анализ, даже все эти результаты с лихвой перекрыты без этого анализа. Поэтому не вижу смысла в таких вещах.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Я знаю применения нестандартного анализа в теории чисел (в книге Степанова), но все эти вещи можно доказать и неиспользуя нестандартный анализ, даже все эти результаты с лихвой перекрыты без этого анализа. Поэтому не вижу смысла в таких вещах.

Разумеется, все, что доказывается при помощи нестандартного анализа, доказывается и стандартными методами. Ценность НА в другом — в простоте и естественности доказательств и построений. НА — это не более чем техника, он не вводит новых сущностей либо обобщений. Некоторые считают, что НА является формализацией идей Эйлера. Нужна ли эта техника? Почему бы и нет (особенно если она помогает понять структуру доказательства, убрать технические детали, оставаясь при этом строгим). Для оценки техники, однако, лучше бы ею владеть.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Вообще, раз уж речь зашла о модификации аксиом Пеано, неплохо бы иметь перед глазами полный список аксиом. А то действительно непонятно.

Я думаю, что для начала необходимо иметь статьи самого Вольпина с его аксиомами. Всетаки логик был авторитетный, самого Коэна правил. Однако объем большой, я отсканирую и дня через два сможем продолжить.

[Котофеич]

Руст писал(а):

А какой смысл в бредовых расширениях множества натуральных чисел? Я знаю применения нестандартного анализа в теории чисел (в книге Степанова), но все эти вещи можно доказать и неиспользуя нестандартный анализ, даже все эти результаты с лихвой перекрыты без этого анализа. Поэтому не вижу смысла в таких вещах.

Во первых неархимедовость еще не означает, что предполагаются ее канонические
свойства в смысле NSA. Тему инициировали физики, читайте с самого начала на их форуме. Вы рассуждаете как математик. С точки зрения физики обычное множество натуральных чисел это бред, поскольку в космологии очень важно различать физически осуществимые и физически неосуществимые расстояния типа размера метагалактики. Обычная математика в современную физику уже не запихивается. Почему то Рашевский не считал свои гипотетические расширения бредовыми. Потом под нестандартным анализом, Вы очевидно имеете в виду робинсоновский анализ на неархимедовой прямой *R. Это действительно почти тревиальная вещь, т.е. раздел теории внутренних множеств. Современный нестандартный анализ занимается изучением внешних множеств, которые играют в классической математике главную роль. А Вам не приходило в голову, рассмотреть например дедекиндово пополнение *Rd множества *R

[Котофеич]

незваный гость писал(а):

:evil:
А все-таки, как доказывается Лемма 1? Мне как-то непонятно — аксиома 1 задает свойства
осуществимых, а вывод про неосуществимые. Впрочем, Лемма 2 мне не менее непонятна.

Котофеич писал(а):

Если есть интерес к этому делу то я отсканирую.

Ловлю на слове. Буду премного благодарен. Рапида, Слил — любой удобный Вам сервис.

Лемма 1 есть у Вольпина без доказательства и доказывается как и в обычном NSA
например у Дэвиса. С леммой 2 подождите до формулировки полного списка аксиом, там
есть несколько вариантов.