Возведение в степень

[Leox]

STilda в сообщении #336925 писал(а):

Следующие две системы одинаковы:

Дальше можно не читать - две ошибки в 5-ти словах. Сначала дайте точное определение системы, а потом дайте определение одинаковости двух систем. Непонятно чем именно вы оперируете. Я то могу догадаться что имеется ввиду алгебраическая система а под одинаковостью имеется ввиду изоморфизм систем, но примеры ниже опровергают мои догадки.

(Оффтоп)

Ферматисты осваивают новые темы?

[AKM]

PAV в сообщении #336926 писал(а):

Кто-нибудь что-то понимает в вышенаписанном?

Я не претендую на понимание. Собственно, я и не есть математик, о чём уже не раз оповещал общественность. Но я хорошо помню лекции профессора Allegroва и семинары доцента Andanteва по Moderatoрству (кстати, именно Allegroв настоял на замене "модераторского искусства" на "модераторское ремесло").

STilda в сообщении #336925 писал(а):

Следующие две системы одинаковы:
1. Операция сложения ...
2. Операция умножения ...

Процититированное было тогда у нас типовым упражнением на распознавание демагогии (на семинарах часто использовались TV-тексты тов. Жириновского --- научные форумы тогда давали мало пищи). Мы, студенты, как бы должны были распознать, что автор, высокопарно назвамши просто два ПРОНУМЕРОВАННЫХ ПУНКТА двумя, блин, "СИСТЕМАМИ", уже именно там, сразу, незаметно, заложил почву для будущего обмана (возможно, неосознанного), для будущего наукообразия своих писаний.

Я, конечно, прочитал сообщение до конца, и ещё кой-чего увидел (типа прочих следствий-выводов из уже начатой демагогии, столь же демагогических), но, достамши конспекты лекций, перечитал рекомендации профессора Allegroва: пока терпеть, слушать. Возможно, перенести в подходящую ветку (если форум достаточно развит). И ни в коем случае на этом этапе не применять модераторских санкций.

[Shtirlic]

STilda в сообщении #336925 писал(а):

Следующие две системы одинаковы:
1. Операция сложения $+$. Элементы $ia,-a,-ia,+a$. Единица $0$. Операция поляризации в сложении (например взятие обратного элемента, взятие комплексно сопряженного элемента, взятие комплексного элемента) $-(-a)=+a, i(ia)=-a$
2. Операция умножения $*$. Элементы $a^i,a^-,a^{-i},a^+$. Единица $1$. Операция поляризации в умножении (возведение в степень, например взятие обратного, возведение в мнимую единицу) ${(a^-)}^-=a^+,{(a^i)}^i=a^-$.

Формула Эйлера олицетворяет попытку установить мостик между этими двумя изоморфными системами. Причем проэктируется элемент второй системы на первую систему: $e^i=x+iy$. Но, ввиду полного равноправия (симметрии) систем, можем записать зеркальную формулу Эйлера, когда элемент первой системы проэктируется на вторую систему: $ie=x^+*y^i$. Если принимаем первую формулу Эйлера, то из соображений симметрии должны принимать и вторую. Первая формула дает возможность "вычислить" $e^i$ в терминах первой системы, Вторая формула дает возможность "вычислить" $ie$ в терминах второй системы. Противоречат ли они друг другу? Если противоречат - значит это формула Эйлера вносит противоречие. Значит она будет не верной.

Несколько примеров показывающих полную симметрию:
1. $a-a=0$ соответствует $a^+*a^-=1$
2. $ia+0=ia$ соответствует $a^i*1=a^i$
3. $+(-a)=-a$ соответствует ${(a^-)}^+=a^-$

Меня математика больше интересует с точки зрения ее применения в экономике, поэтому я не особо силен во всех этих системах. Но что мне бросается в глаза, $i$ - это число из множества комплексных чисел, почему оно тогда в ваших рассуждениях воспринимается как операция? Вот пример ${(a^-)}^-$ и ${(a^i)}^i$

[STilda]

Leox в сообщении #336929 писал(а):

Дальше можно не читать - две ошибки в 5-ти словах. Сначала дайте точное определение системы, а потом дайте определение одинаковости двух систем. Непонятно чем именно вы оперируете. Я то могу догадаться что имеется ввиду алгебраическая система а под одинаковостью имеется ввиду изоморфизм систем, но примеры ниже опровергают мои догадки.

Формальный смысл слова "система" не был важен в моем сообщении. Я привел два набора взаимооднозначно соответствующих понятий. Между ними есть изоморфизм, показано на примерах. Что именно опровергает ваши догадки?

-- Сб июл 03, 2010 11:25:34 --

Shtirlic $-a$ выглядит понятно а такое же $a^-$ выглядит не понятно? $ia$ выглядит понятно а такое же $a^i$ нет?

-- Сб июл 03, 2010 11:27:56 --

PAV мне все понятно. А что не понятно вам в моем посте? То что я подставил в бином копмлексную степень вас смутило, а то что вы делаете такуюже подстановку в ряд экспоненты не смущает?

[ИСН]

STilda, в Ваших словах есть смысл, но он скорее всего пропадёт при строгой формализации - например, если перестать путать числа и операции.

[Shtirlic]

STilda в сообщении #336965 писал(а):

Shtirlic $-a$ выглядит понятно а такое же $a^-$ выглядит не понятно? $ia$ выглядит понятно а такое же $a^i$ нет?

Вот $-a$,$ia$,$a^i$ я совершенно понимаю, не совсем понял, что такое $a^-$, хотя догадываюсь, что это $a^{-1}$. Я не понимаю, почему у вас $i$ выступает как оператор на ровне с + и - , когда это число. Еще мне интересно, что такое у вас $a$, комплексное или действительное число. Если действительное, то набор $ia,-a,-ia,+a$ - это набор всех возможных групп комплексных чисел? Если да, то $a+ia$, не входит ни в одну группу, тогда множество незамкнуто относительно операции сложения, что-то не то!
И наконец, давайте рассмотрим такое множество чисел $p=x+{\sqrt 2}y$, где $x,y$ рациональные числа, a p очевидно не всегда рациональное. Ясно, что ${(\sqrt 2)}^2$ рациональное число, так же как и $i^2$ действительное число. Полная аналогия с комплексными и действительными числами. Здесь вы тоже введете систему операции сложения с элементами ${\sqrt 2}a,-a,-{\sqrt 2}a,+a$ и скажете что есть операция поляризации в сложении ${\sqrt 2}({\sqrt 2}a)=2a$?

[AD]

STilda, удовлетворены ли Вы ответом на первоначальный вопрос?

STilda в сообщении #336358 писал(а):

При переходе от целых к рациональным числам $2^{-1}$ - новый добавляемый элемент. Почему тогда $2^i$ ($i$ - комплексная единица) пытаются вычислить а не также объявить новым?

(Например, ответом "определения не обсуждаются"?).

-- Сб июл 03, 2010 12:35:59 --

STilda в сообщении #336925 писал(а):

Но, ввиду полного равноправия (симметрии) систем, можем записать зеркальную формулу Эйлера, когда элемент первой системы проэктируется на вторую систему: $ie=x^+*y^i$.

Как только мы определимся с разделом, Вам предстоит обосновать переход "по симметрии".

Вот Вам такое рассуждение, скажем. {0} и {1} равномощны как множества. В то же время, если мы введем "правило" 1-1=0, то из него не будет следовать, что 0-0=1. То, что я сказал сейчас - не математика, но и Вы, прямо скажем, не лучше в этом плане.

[STilda]

ИСН в сообщении #336971 писал(а):

при строгой формализации - например, если перестать путать числа и операции.

(Так же для Shtirlic)
Давайте перестанем путать числа и операции. На примерах.
1. $-2$ означает объект обратный по сложению к $2$. $-(-2)$ означает объект обратный по сложению к $-2$ тоесть самое $2$. Слова "по сложению" можно опустить, если условится, что объекты записанные как $-2,+2$ относятся к операции сложения.
2. $1/2$ означает объект обратный по умножению к $2$. $1/(1/2)$ означает объект обратный по умножению к $1/2$ тоесть самое $2$. Слова "по умножению" можно опустить, если условится, что объекты записанные как $2^{-1}, 2^{+1}$ относятся к операции умножения. Это ОБОЗНАЧЕНИЯ НОВЫХ объектов. Неправильно понимать, что $2^{-1}$ можно ВЫЧИСЛИТЬ и получить, условно, $0.5$.
3. Запись $2^-$ и $-2$ ну просто очень одинаковые. Смысл же у них один и тотже - обратный элемент. Минусик написан с разных сторон объекта $2$, чтобы различить две операции - сложения и умножения. Привычно видеть $-2$ но не $(-1)2$. Так что я пишу $2^-$ а не $2^{-1}$. (Помним, что это обозначение объекта, а не числовая операция $2^{-1}$ с некоторым результатом). Так же мы пишем $2^i$ а не $2^{1i}$.
4. Мнимую единицу $i$ я рассматриваю действительно как "оператор", как выразился Shtirlic. Точно такой же "оператор" как и $-$ - оператор взятия обратного элемента. Есть еще оператор взятия сопряженного числа например - "взять обратный по мнимой компоненте".

[Shtirlic]

STilda в сообщении #337007 писал(а):

4. Мнимую единицу $i$ я рассматриваю действительно как "оператор", как выразился Shtirlic. Точно такой же "оператор" как и $-$ - оператор взятия обратного элемента. Есть еще оператор взятия сопряженного числа например - "взять обратный по мнимой компоненте".

В этом и вопрос! Разве правильно рассматривать $i$ как оператор? Это все же число, комплексное число, квадрат которого действительное число. Так же как и $\sqrt 2$ действительное(иррациональное число), квадрат которого есть рациональное число. Как я уже говорил, возьмем множество $X$, элементы которого представлены ввиде $x+{\sqrt 2}y$, где $x,y$ рациональные числа. Суть множества $X$ схожа с сутью комплексных чисел. Есть число не принадлежащее действительным числам $i$, но являющиеся комплексным, присутствие которого и говорит о комплексности числа, и квадрат $i$ есть действительное число. Также, Есть число не принадлежащее рациональным числам $\sqrt 2$, но являющиеся элементом множества $X$, присутствие которого и говорит о том что число принадлежит $X$, и квадрат $\sqrt 2$ есть рациональное число.
В примере с $X$, вы тоже считаете $\sqrt 2$ оператором?

[STilda]

AD, ответа не было. Был ответ что это делают через формулу Эйлера, но это я и так знаю. Учился в школе.
Пришел я к понятию "вычислить". Что значит "вычислить"? Это представить в терминах элементарных объектов (которые не вычисляются (по причине аксиоматичности)). Вычислить $e^i$ означает представить в терминах объектов $-a,ia,-ia,+a$. И в математике приняли некоторое условное правило, как это делать. Доказать формулу Эйлера нельзя. Если будет доказательство, используя изоморфизм, получаем доказательство ей зеркальной формулы $ie=x^{+1}*y^{i1}$. А одновременно они приводят к противоречию. Вопрос был "почему решили что $2^i$ должно вычисляться?". Какая логика заложена в попытке его вычислить?

AD в сообщении #336978 писал(а):

Как только мы определимся с разделом, Вам предстоит обосновать переход "по симметрии".

В данном конкретном случае, переход по симметрии я делаю переобозначениями. Математические факты же не зависят от обозначений объектов.

AD в сообщении #336978 писал(а):

Вот Вам такое рассуждение, скажем. {0} и {1} равномощны как множества. В то же время, если мы введем "правило" 1-1=0, то из него не будет следовать, что 0-0=1. То, что я сказал сейчас - не математика, но и Вы, прямо скажем, не лучше в этом плане.

Я задумался. Пример хороший. Следовать не будет. Но противоречия не появится тоже.

-- Сб июл 03, 2010 17:33:25 --

Shtirlic, $i$ правильно рассматривать как оператор. $1i$ является числом, про которое вы говорите. Ровно как $-$ является оператором а $-1$ действительным числом. Операторы $-,i,-i,+$ образуют группу с единицей $+$, а операцию этой группы я называю поляризацией.
Да, оператор "корень квадратный из объекта" $\sqrt$ тоже можно рассматривать как значок $-$ возле объекта. Для минуса мы взяли в пару плюс. Для иррациональности возьмем в пару натуральность. Но это другая тема.

[AD]

STilda в сообщении #337042 писал(а):

В данном конкретном случае, переход по симметрии я делаю переобозначениями. Математические факты же не зависят от обозначений объектов.

Как только вы заявили одну формулу, связывающую две системы, системы перестали быть равноправными. Вторую вводить уже нельзя, симметрии уже никакой нет.

[Shtirlic]

STilda
Мнимая единица — число, квадрат которого равен −1.
Это определение из википедии. Других определений, типа это оператор я не встречал.
С чего вы взяли, что это оператор?
Я согласен, что корень квадратный - это оператор, но я говорил именно про $\sqrt 2$.
И я вижу что $i$ в комплексных числах подобно $\sqrt 2$ в моем примере.
Формула Эйлера имеет доказательство через ряды. И она верна, иначе, как я уже говори, не была бы верная форма общего однородного решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при комплексных корнях характерестического уравнения и многое многое другое.
Логика вычисления $2^i$ основывается на формуле Эйлера.
Так как по определению $i$ все же число, то ставиться под большое сомнение ваш пример с системами.

[Leox]

Цитата:

Формальный смысл слова "система" не был важен в моем сообщении. Я привел два набора взаимооднозначно соответствующих понятий. Между ними есть изоморфизм, показано на примерах. Что именно опровергает ваши догадки?

Нет, так не пойдет. Сначала дайте определение системы и одинаковости систем.
Я вам даже помогу, просто заполните пропуски в следующем тексте

Определение 1. Системой __________ называется _________ которое _________ и удовлетворяет ___________.


Определение 2. Две системы называются однаковыми если для них выполняется________

[AD]

Shtirlic в сообщении #337048 писал(а):

Мнимая единица — число, квадрат которого равен −1.
Это определение из википедии. Других определений, типа это оператор я не встречал.

На всякий случай поясню для всех желающих: "число, квадрат которого равен −1" - это тоже не определение. Пока мы не определили мнимую единицу как следует, на такое "определение" ответ "нет таких". Как следует - это примерно так: берем линейное пространство $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$, вводим на нем умножение $(a,b)\times(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$, примечаем вложение поля $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, $x\mapsto (x,0)$, и говорим, что $i\stackrel{\text{def}}{=}(0,1)$. И тут же выясняется, что "определение по википедии" снова некорректно, потому что $-i$ ему тоже удовлетворяет.

[Shtirlic]

AD
Не совсем понял, что вы написали, так как плохо знаком с теорией множеств, можете пояснить

AD в сообщении #337058 писал(а):

примечаем вложение поля $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, $x\mapsto (x,0)$, и говорим, что $i\stackrel{\text{def}}{=}(0,1)$.

А насчет $-i$, да!

А если:
Мнимая единица — число, равное квадратному корню из −1.

Я чаще такое определение слышал, теперь вроде все корректно и однозначно!

-- Вс июл 04, 2010 02:54:54 --

Все, я понял, что вы написали!