Криволинейный интеграл

[Gortaur]

Есть идеи, чему может соответствовать интеграл типа

$$\int\limits_{\gamma}\sqrt{dx\,dy}$$

, где $\gamma$ - кривая?
Он как-то связан с площадью "около" кривой, к тому же не зависит от параметризации, т.к.

$$ \sqrt{dx\,dy} $$

однородна степени 1 по дифференциалам.

[Padawan]

От параметризации не зависит, зато зависит от выбора системы координат $(x,y)$

[Gortaur]

Длина кривой тоже от них зависит ;) если ее писать в виде

$$ \int\limits_\gamma\sqrt{dx^2+dy^2}. $$

[Padawan]

я имел ввиду движения. В общем этот интеграл при ортогональных преобразованиях координат не сохраняется.

Я понял, какой он смысл может иметь -- это длина кривой в двумерном пространстве Минковского, если $\sqrt{dx\,dy}$ в виде $\sqrt{du^2-dv^2}$ записать, где $x=u-v, y=u+v$.

[terminator-II]

интегрируют дифференциальные формы, поскольку любой ковариантный тензор при сужении на кривую дает что-то типа 1-формы, то любой чепухе вида
$\int_\gamma (a_{i_1\ldots i_n}dx^{i_1}\otimes\ldots\otimes dx^{i_n})^{1/n}$ можно придать инвариантный смысл очевидным образом

[Gortaur]

Пожалуйста, развейте свою мысль на данный конкретный случай

[terminator-II]

если $x^k(t)$ -- параметрическое уравнение кривой, то

terminator-II в сообщении #336617 писал(а):

$\int_\gamma (a_{i_1\ldots i_n}dx^{i_1}\otimes\ldots\otimes dx^{i_n})^{1/n}$

$=\int_{t'}^{t''}(a_{i_1\ldots i_n}\dot x^{i_1}(t)\cdot\ldots\cdot \dot x^{i_n}(t))^{1/n}dt$

Gortaur в сообщении #336618 писал(а):

Пожалуйста, развейте свою мысль на данный конкретный случай

а это упражнение для Вас.

[neo66]

Gortaur в сообщении #336607 писал(а):

Есть идеи, чему может соответствовать интеграл типа $\int\limits_{\gamma}\sqrt{dx\,dy}$ ...

А можно полюбопытствовать, что Вы подразумеваете под данным иероглифом?

[Gortaur]

Любопытствуйте ) а где собственно иероглиф?

[neo66]

Gortaur в сообщении #337261 писал(а):

Любопытствуйте ) а где собственно иероглиф?

$\int\limits_{\gamma}\sqrt{dx\,dy}$

[Padawan]

neo66
Ну а как Вы понимаете $\int\limits_\gamma{\sqrt{dx^2+dy^2}$? Здесь то же самое.

[neo66]

Padawan
Никак не понимаю. Я думал, что интегрировать можно дифференциальные формы на многообразиях, а что это такое - $\sqrt{dx^2+dy^2}$ я не знаю. Это не похоже на дифференциальную форму.

[terminator-II]

Вот оказывается есть еще одна тензорная операция, (причем нелинейная!), которая "сужает" ковариантные тензоры (причем не любые) на одномерное многообразие и получаются (аксиальные?) 1-формы

[neo66]

А ссылочку на литературу можно?

[terminator-II]

сомневаюсь, что про это где-то написано