Криволинейный интеграл

[neo66]

Это что, эзотерическое знание? А тогда на кой хрен все это нужно?

[Shtirlic]

neo66
А что вам не нравится в $\int _\ell{\sqrt {dx^2+dy^2}}$? Обычная задача на поиск длины кривой.
Пусть кривая задана параметрически $x=x(t),y=y(t)$
$\lim\limits_{\max\Delta{x_i},\max\Delta{y_i}\to 0}\sum{\sqrt {\Delta x_i^2+\Delta y_i^2}=\int_\ell{\sqrt {dx^2+dy^2}}=\int_a^b{\sqrt {(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt}$
Общеизвестная формула длины кривой. С $\sqrt{dxdy}$ нечто подобное.

[terminator-II]

neo66 в сообщении #337336 писал(а):

Это что, эзотерическое знание?

Нет, это банальность, если понимать, что такое тензор. Не про все банальности пишут в книжках, а только про полезные. Эта конструкция, как я понимаю, в ее общем виде приложений не имеет.

neo66 в сообщении #337336 писал(а):

А тогда на кой хрен все это нужно?

Спросите топикстартера.

[Gortaur]

Вообще, честно говоря, работая в действительных числах нужно было бы там модуль поставить...
С другой стороны я понимаю данный интеграл как предел соответствующих интегральных сумм. а вопрос возник из-за необходиомсти введение новой характеристики кривой для изучения ее "волнистости", т.е. площади около кривой.

[Shtirlic]

Gortaur
А что вы подразумеваете под площадью возле кривой, я вот не могу себе это представить. Как эта площадь будет выглядить возле параболы и возле прямой? Можете пояснить?

[terminator-II]

Gortaur в сообщении #337353 писал(а):

Вообще, честно говоря, работая в действительных числах нужно было бы там модуль поставить...

там действительно кое-что надо додумывать, во всяком случае, если $n$ нечетно, то интеграл

terminator-II в сообщении #336619 писал(а):

$=\int_{t'}^{t''}(a_{i_1\ldots i_n}\dot x^{i_1}(t)\cdot\ldots\cdot \dot x^{i_n}(t))^{1/n}dt$

действительно не зависит ни от параметризации кривой ни от
координат в объемлющем пространстве по которым расписан тензор $a_{i_1\ldots i_n}(x)$.

Gortaur в сообщении #337353 писал(а):

необходиомсти введение новой характеристики кривой для изучения ее "волнистости", т.е. площади около кривой.

это непонятно: если рассматриваются метричиские инварианты кривой, то никаких других кроме кривизны и кручения не существует (в трехмерном пространстве) т.к. кривая с точностью до движения описывается своей кривизной и кручением.

Другое дело, что наверное можно строить инварианты кривой с помощью другого тензорного поля не метрики.

[neo66]

Shtirlic в сообщении #337347 писал(а):

neo66
А что вам не нравится в $\int _\ell{\sqrt {dx^2+dy^2}}$? Обычная задача на поиск длины кривой.
Пусть кривая задана параметрически $x=x(t),y=y(t)$ $\int _\ell{\sqrt {dx^2+dy^2}}=\int_a^b{\sqrt {(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt}$
Общеизвестная формула длины кривой. С $\sqrt{dxdy}$ нечто подобное.

А что подобное? Вы хотите сказать, что эта штука $\sqrt{dxdy}$ является дифференциальной 1-формой? Если да, тогда опишите, как она действует на касательные вектора к кривой.

Кстати, никогда не встречал такой записи. У меня такое впечатление, что все это идет от полупонятых физических идей. К Вам тоже просьба сослаться на литературу.

[Shtirlic]

neo66

Цитата:

Кстати, никогда не встречал такой записи. У меня такое впечатление, что все это идет от полупонятых физических идей. К Вам тоже просьба сослаться на литературу.

Конечно не встречали! Я уже не помню как это строго записывается, вспоминать особо не хочется, да и набирать здесь не особо приятно все это дело. Я грубо описал вывод формулы. Использовал определение определенного интеграла. Что в этом доказательстве нитак, кроме записи?
Ну а насчет $\sqrt {dxdy}$.
Пусть кривая $\ell$ задана $x=x(t),y=y(t)$, $a\leqslant t\leqslant b$. Тогда
$\int_\ell{\sqrt {dxdy}=\int_a^b{\sqrt {\frac{dx}{dt}dt\frac{dy}{dt}dt}}}=\int_a^b{\sqrt {\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}}dt}}$
Это тоже грубо! Пусть $x$ положительно зависит от $y$ на исследуемом интервале, дабы не было проблем с корнем.
А литература вам сейчас не приведу, т.к. формулу для длины окружности сам выводил.

[neo66]

Shtirlic
Ну хорошо. Пусть дана кривая $x(t)=t,y(t)=-t$. Чему равен интеграл $\int_0^1{\sqrt {\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}}dt}}$?

[Shtirlic]

Я писал:

Shtirlic в сообщении #337361 писал(а):

Это тоже грубо! Пусть $x$ положительно зависит от $y$ на исследуемом интервале, дабы не было проблем с корнем.

Тогда, $\frac{dx}{dt}<0$ и $\frac{dy}{dt}<0$ или $\frac{dx}{dt}>0$ и $\frac{dy}{dt}>0$, получаем $\frac{dy}{dt}\frac{dx}{dt}>0$. И все хорошо, проблем нет. Конечно если где-то $\frac{dy}{dt}\frac{dx}{dt}<0$, то судя по всему интеграл нельзя вычислить в действительных числах. Нужен модуль.

[Padawan]

Да и пусть будет $i$, что такого.

[neo66]

Padawan в сообщении #337372 писал(а):

Да и пусть будет $i$, что такого.

Так чему он равен, мой интеграл?

[Padawan]

neo66 в сообщении #337394 писал(а):

Padawan в сообщении #337372 писал(а):

Да и пусть будет $i$, что такого.

Так чему он равен, мой интеграл?

$i$

[neo66]

А почему не $-i$? Мне так больше нравится.

Кроме того, как Вы уже заметили, этот интеграл (пусть и с модулем), не инвариантен относительно изометрий пространства, в котором нарисована наша кривая. В общем, недоразумение какое-то. Или я ошибаюсь?

[Padawan]

Padawan в сообщении #336616 писал(а):

Я понял, какой он смысл может иметь -- это длина кривой в двумерном пространстве Минковского, если $\sqrt{dx\,dy}$ в виде $\sqrt{du^2-dv^2}$ записать, где $x=u-v, y=u+v$.

Псевдоевклидово пространство