Доказать, что число составное...

[Mathusic]

Marina
Если некоторое число $A$ делится на $a$ и на $b$, и эти числа не имеют общих натуральных делителей, отличных от единицы, то $A$ делится на $a\cdot b$.
Вы умеете доказывать делимость на $3$, значит осталось доказать делимость на ........

[lim0n]

Marina
Вы уже знаете, что для простого, точнее любого нечетного, $p$

Marina в сообщении #332617 писал(а):

$p\pm 1\equiv 0 (mod\ 2)$

Mathusic в сообщении #332678 писал(а):

...Вы умеете доказывать делимость на $3$, значит осталось доказать делимость на ........

Я так понимаю, что уважаемый Mathusic предлагает доказать, что произведение двух последовательных четных чисел кратно 8.

[Marina]

Если я правильно поняла, то Вы говорите о произведении двух последовательных чисел $(p-1)(p-2)$, которое кратно 8, и о кратности трём либо $(p-1)$, либо $(p-2)$. А так как 3 и 8 взаимно простые числа, и исходное число делиться на них, то оно делиться и на произведение этих чисел т.е. на 24?

[Батороев]

Marina в сообщении #332763 писал(а):

Если я правильно поняла, то Вы говорите о произведении двух последовательных чисел $(p-1)(p-2)$, которое кратно 8, и о кратности трём либо $(p-1)$, либо $(p-2)$. А так как 3 и 8 взаимно простые числа, и исходное число делиться на них, то оно делиться и на произведение этих чисел т.е. на 24?

Вам говорят о произведении двух последовательных четныхчисел: $(p-1)(p+1)$, которое, как мы недавно с Вами выяснили, всегда делится на $8$. Если уже забыли, то поднимите свои старые темы и вспомните. А затем не забывайте.

Не увидел, доходили ли Вы в данной теме, что это произведение также делится на $3$? Если нет, то попробуйте доказать.

[yk2ru]

Marina, подставьте в исходное выражение $p^2 - 1$ формулу для простого числа вида $6n+-1$. Возможно так станет яснее.

yk2ru, $6n \pm 1$ пишется так: "6n \pm 1"

[Marina]

Т.к.произведении двух последовательных четных чисел $(p-1)(p+1)$, всегда делится на $8$. Либо$(p-1)$, либо$(p+1)$ кратно $3$. Числа $3$ и $8$ - взаимно простые. А если число $(p^2-1)$ делится на взаимно простые числа, то оно делится и на их произведение т.е. на $24$.

[Батороев]

Ответ был бы полным, если бы Вы дополнительно дали, к примеру, следующее обоснование:

Среди трех последовательных натуральных чисел, всегда имеется число, кратное $3$, а т.к. среди чисел: $p-1, p, p+1$ число $p$ по определению простого числа и условию $p>3$, не может делиться на $3$, то

Marina в сообщении #333360 писал(а):

Либо$(p-1)$, либо$(p+1)$ кратно $3$.

[Mathusic]

Бинго.
Пара простых чисел-близнецов - пара простых, отличающихся на $2$. Докажите, что сумма близнецов делится на $12$ (кроме $3$ и $5$)

[Marina]

Если $p$ - простое число-близнец $(p>5)$, тогда сумма пары простых чисел-близнецов можно будет записать как - $2(p\pm 1)$? Значит их сумма будет число, которое кратно взаимно простым числам или 4 или 3 ?

[Mathusic]

Marina в сообщении #335152 писал(а):

Если $p$ - простое число-близнец $(p>5)$, тогда сумма пары простых чисел-близнецов можно будет записать как - $2(p\pm 1)$? Значит их сумма будет число, которое кратно взаимно простым числам или 4 или 3 ?

Да.

[lim0n]

Marina в сообщении #335152 писал(а):

Если $p$ - простое число-близнец $(p>5)$, тогда сумма пары простых чисел-близнецов можно будет записать как - $2(p\pm 1)$? Значит их сумма будет число, которое кратно взаимно простым числам или 4 или 3 ?

(Оффтоп)

Не смог такое проглотить, наверное старею. Попробую немного разжевать.

Рассмотрим последовательность трех чисел $n-1,n,n+1$, где, по условию, $n-1$ и $n+1$ простые и $n>4$. Отсюда следует, что $n$ кратно $2$ и $3$(см.Батороев выше) и его можно представить как $n=6m$, где $m\in\mathbb{N}$. Тогда $(n-1)+(n+1)=(6m-1)+(6m+1)=12m$.