2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Основная теорема алгебры.
Сообщение17.06.2010, 15:47 


20/04/09
1067
Навеяло post332178.html#p332178

Рассмотрим многочлен $P(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k,\quad a_n\ne 0.$

Теорема. Всем известна.

Док-во.
Расмотрим действительнозначную функцию $f(z)=|P(z)|\ge 0$. Очевидно при $|z|\to +\infty $ будет $f(z)\to+\infty.$

Покажем, что $f$ достигает минимума в $\mathbb{C}$. Действительно, пусть $\{z_k\}$ -- минимизирующая последовательность для $f$. Ввиду высказанного замечания эта последовательность ограничена, и значит содержит сходящуюся подпоследовательность: $z'_k\to z'$ при $k\to +\infty$ и $\min_{\mathbb{C}}f=f(z')$.

Покажем, что $P(z')=0$. Предположим противное: $P(z')=a\ne 0$. (Тогда $f(z')=|a|$.)

По теореме Тейлора $P(z)=a+b(z-z')^j+o(z-z')^j,\quad b\ne 0$.
Пусть теперь $$\hat z=z'+\Big(-\frac{\varepsilon a}{b}\Big)^{1/j}.$$
Где $\varepsilon>0$ -- малое число.

Теперь $$P(\hat z)=a(1-\varepsilon(1+o(1))),$$
где $o(1)$ понимается в смысле $\varepsilon\to 0$.
Отсюда $ f(\hat z)=|a|(1-\varepsilon(1+o(1)))<|a|=\min_{\mathbb{C}}f$.
Противоречие.

ЧТД

 Профиль  
                  
 
 Re: Основная теорема алгебры.
Сообщение17.06.2010, 16:04 
Заслуженный участник


13/12/05
3629
То есть по сути используется только, что $P(z)$ -- открытое отображение (кроме непрерывности и $P(z)\to\infty$ при $z\to\infty$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Основная теорема алгебры.
Сообщение17.06.2010, 16:09 


20/04/09
1067
Padawan в сообщении #332185 писал(а):
и $P(z)\to\infty$ при $z\to\infty$)

По-моему это самое главное. Идея коэрцитивности функционала , которая потом используется и в вариационных методах и в урчп появляется уже здесь. Ну а еще используется возможность извлекать корни из любого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основная теорема алгебры.
Сообщение17.06.2010, 16:17 
Заслуженный участник


13/12/05
3629
Кстати, такое же доказательство в Куроше "Курс высшей алгебры". А лемма "если $P(z')\neq 0$, то существует $z\in\mathbb C$, что $|P(z)|<|P(z')|$" там даже названа леммой Даламбера :-)

А что такое "коэрцитивность"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основная теорема алгебры.
Сообщение17.06.2010, 16:26 


20/04/09
1067
А это доказательство все вообще принадлежит Даламберу. Просто его хорошо забыли , т.к. Даламбер не умел доказывать, что ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Что естественно по тем временам. Почему в Куроше это доказательство занимает несколько листов непонятно.

Коэрцитивность означает, что функция на банаховом пространстве стремится к плюс бесконечности, когда аргумент стремится к бесконечности. Такие соображения используются при минимизации функционалов. Есть еще понятие коэрцитивности оператора, которое генетически, но не формально связано с этим. см Лионс "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач"

Padawan в сообщении #332189 писал(а):
А лемма "если $P(z')\neq 0$, то существует $z\in\mathbb C$, что $|P(z)|<|P(z')|$" там даже названа леммой Даламбера :-)

а это , кстати, вообще для любой аналит. функции верно, а не только для многочлена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основная теорема алгебры.
Сообщение17.06.2010, 16:51 
Заслуженный участник


13/12/05
3629
terminator-II в сообщении #332190 писал(а):
Почему в Куроше это доказательство занимает несколько листов непонятно.

Потому что он всё очень аккуратно делает. Это же для первокурсников книга, их надо к этому приучать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основная теорема алгебры.
Сообщение17.06.2010, 16:53 


20/04/09
1067
Я тоже все очень аккуратно написал :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Основная теорема алгебры.
Сообщение17.06.2010, 16:56 
Заслуженный участник


13/12/05
3629
terminator-II в сообщении #332190 писал(а):
Padawan в сообщении #332189 писал(а):
А лемма "если $P(z')\neq 0$, то существует $z\in\mathbb C$, что $|P(z)|<|P(z')|$" там даже названа леммой Даламбера :-)

а это , кстати, вообще для любой аналит. функции верно, а не только для многочлена.

И для любого открытого отображения. Принцип максимума тоже отсюда вытекает. Открытость отображения еще называют принципом сохранения области - область в область.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group