Основная теорема алгебры.

[terminator-II]

Навеяло post332178.html#p332178

Рассмотрим многочлен $P(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k,\quad a_n\ne 0.$

Теорема. Всем известна.

Док-во.
Расмотрим действительнозначную функцию $f(z)=|P(z)|\ge 0$. Очевидно при $|z|\to +\infty $ будет $f(z)\to+\infty.$

Покажем, что $f$ достигает минимума в $\mathbb{C}$. Действительно, пусть $\{z_k\}$ -- минимизирующая последовательность для $f$. Ввиду высказанного замечания эта последовательность ограничена, и значит содержит сходящуюся подпоследовательность: $z'_k\to z'$ при $k\to +\infty$ и $\min_{\mathbb{C}}f=f(z')$.

Покажем, что $P(z')=0$. Предположим противное: $P(z')=a\ne 0$. (Тогда $f(z')=|a|$.)

По теореме Тейлора $P(z)=a+b(z-z')^j+o(z-z')^j,\quad b\ne 0$.
Пусть теперь

$$\hat z=z'+\Big(-\frac{\varepsilon a}{b}\Big)^{1/j}.$$

Где $\varepsilon>0$ -- малое число.

Теперь

$$P(\hat z)=a(1-\varepsilon(1+o(1))),$$

где $o(1)$ понимается в смысле $\varepsilon\to 0$.
Отсюда $ f(\hat z)=|a|(1-\varepsilon(1+o(1)))<|a|=\min_{\mathbb{C}}f$.
Противоречие.

ЧТД

[Padawan]

То есть по сути используется только, что $P(z)$ -- открытое отображение (кроме непрерывности и $P(z)\to\infty$ при $z\to\infty$).

[terminator-II]

Padawan в сообщении #332185 писал(а):

и $P(z)\to\infty$ при $z\to\infty$)

По-моему это самое главное. Идея коэрцитивности функционала , которая потом используется и в вариационных методах и в урчп появляется уже здесь. Ну а еще используется возможность извлекать корни из любого числа.

[Padawan]

Кстати, такое же доказательство в Куроше "Курс высшей алгебры". А лемма "если $P(z')\neq 0$, то существует $z\in\mathbb C$, что $|P(z)|<|P(z')|$" там даже названа леммой Даламбера

А что такое "коэрцитивность"?

[terminator-II]

А это доказательство все вообще принадлежит Даламберу. Просто его хорошо забыли , т.к. Даламбер не умел доказывать, что ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Что естественно по тем временам. Почему в Куроше это доказательство занимает несколько листов непонятно.

Коэрцитивность означает, что функция на банаховом пространстве стремится к плюс бесконечности, когда аргумент стремится к бесконечности. Такие соображения используются при минимизации функционалов. Есть еще понятие коэрцитивности оператора, которое генетически, но не формально связано с этим. см Лионс "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач"

Padawan в сообщении #332189 писал(а):

А лемма "если $P(z')\neq 0$, то существует $z\in\mathbb C$, что $|P(z)|<|P(z')|$" там даже названа леммой Даламбера

а это , кстати, вообще для любой аналит. функции верно, а не только для многочлена.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #332190 писал(а):

Почему в Куроше это доказательство занимает несколько листов непонятно.

Потому что он всё очень аккуратно делает. Это же для первокурсников книга, их надо к этому приучать.

[terminator-II]

Я тоже все очень аккуратно написал

[Padawan]

terminator-II в сообщении #332190 писал(а):

Padawan в сообщении #332189 писал(а):

А лемма "если $P(z')\neq 0$, то существует $z\in\mathbb C$, что $|P(z)|<|P(z')|$" там даже названа леммой Даламбера

а это , кстати, вообще для любой аналит. функции верно, а не только для многочлена.

И для любого открытого отображения. Принцип максимума тоже отсюда вытекает. Открытость отображения еще называют принципом сохранения области - область в область.