Основная теорема алгебры

[maikle]

Прочитал я про док-во основной теоремы алгебры (Курант и Роббинс http://ilib.mirror1.mccme.ru/pdf/kurant.pdf - 295-296 страница) и тут возникла проблема: я не понимаю этого док-ва с помощью порядка, а точнее не могу понять, что он дает собственно и для чего нужен в док-ве.

Спасибо огромнейшее!

[Xaositect]

обозначается $\phi(t)$ порядок точки $0$ для многочлена $f(z)$ при обходе по окружности радиуса $t$. Дальше доказывается, что $\phi(0) = 0$, $\phi(t) = n$ при $t\to\infty$. Это значит, что при увеличении $t$ когда-то порядок меняется. А он может поменяться только если при каком-то $t$ контур, пробегаемый многочленом, проходит через 0.

[maikle]

Спасибо, вопрос себя исчерпал!

[maikle]

Теперь другой вопрос назрел: f(z) зависит от z? Т.е. f(z) строится только при определенных значениях z(которые лежат на круге одинакового радиуса)? Или же f(z) описывает кривую при всех значениях z, независимо от радиуса круга, на котором они лежат?

Тогда если при всех z строится кривая f(z), то почему же при порядке точки О равном нулю мы имеем право подставлять f(0)=0 (если не так, то тут очевидно: z с радиусом ноль принимает одно значение z=0, соответственно, если F(z) зависит от z, то будет все ясно) ? Значит все-таки мы рассматриваем множество случаев кривых при разных радиусах??

[ewert]

Там неаккуратность в изложении. Следовало говорить не "$\varphi(0)=0$", а "$\varphi(t)=0$ при любом достаточно малом $t$" (в самом нуле функция $\varphi(t)$ всё-таки формально не определена).

[maikle]

А как доказать, что при t=1 ф-ция порядка равна нулю ?