Многомерные расширения ТФКП

[Time]

STilda в сообщении #329403 писал(а):

Спасибо за предложение посетить ваши семинары но пока что нет мотивов, да и работа и семья держат. Но через интернет общаться можно.

Предложение касалось не обычного семинара, а по сути дела, школы. Мотивация тут может быть одна - получше познакомиться с конкретными алгебрами поличисел и связанными с ними финслеровыми пространствами. Можно, конечно, пробовать изучать их самостоятельно, но маловероятно, что это будет основательно. Если, конечно, предмет пока не вызывает интереса, тогда согласен, причин участвовать нет. Что касается работы и семьи - они всегда будут держать. При желании, полагаю, упросить отпустить в отпуск или командировку и дома и на работе - можно. Ну да Вам виднее.

STilda в сообщении #329403 писал(а):

Вы гдето оставляли email адрес?

[e-mail]

STilda в сообщении #329403 писал(а):

"Финслеровы пространства" пока для меня неизвестны, даже понятие это не знаю. Я стремлюсь не углублятся в теорию, не выходить за рамки "понятно на пальцах".

Именно для того, что бы не только сам термин, но и стоящие за ним объекты стали "понятными на пальцах" и организовывались обсуждаемые школы. Не думаю, что они будут проходить сколь ни будь долго, во всяком случае в нынешнем составе лекторов, так что прикиньте еще раз, вдруг все же соберетесь.

Я посмотрел рекомендованную Вами в ЛС ccылки. Боюсь, что разочарую Вас, но по большей части они не вызвали у меня никакого интереса. С моей точки зрения двигаться в направлениях, обозначенными в них совершенно бесперспективно. Впрочем, как и со школой, решение принимать Вам самому.

[STilda]

Time, если рассматривать полискалярное произведение для трех трехмерных векторов, можно ли его ввести так, чтобы оно было инвариантно относительно обычных поворотов?

[Time]

STilda в сообщении #330130 писал(а):

если рассматривать полискалярное произведение для трех трехмерных векторов, можно ли его ввести так, чтобы оно было инвариантно относительно обычных поворотов?

Смотря в каком пространстве. В некоторых можно. В чатности, в трехмерном линейном финслеровом пространстве связанном с прямой суммой $R+C$ его собственная группа вращений, являясь абелевой и двухпараметрической, включает в себя как однопараметрическое подмножество обычные повороты комплексной плоскости. Второй независимый параметр этой группы вращений отвечает за гиперболические повороты, которые в смысле СТО также можно считать почти обычными.
Если же говорить о пространстве связанном с алгеброй $R+R+R$, то тут группа вращений также абелева и двухпараметрическая, но оба параметра задают гиперболические повороты. Обычных (то есть эллиптических) поворотов тут как группы симметрий связанных с инвариантностью интервалов - нет. Зато, обычная группа SL(1,2), которую все привыкли связывать с группой движений трехмерного псевдоевклидова пространства, тут есть как подгруппа конформной группы, то есть инвариантом являются не интервалы, а финслеровы углы. С точки зрения фундаментальных оснований, что является инвариантом - мелочь, над которой можно особенно и не дрожать, однако с точки зрения физических приложений все меняется весьма значительно, но главное, что принципиальных проблем все равно не должно возникать..
Среди трехмерных пространств с трилинейной симметрической формой вместо обычного скалярного произведения полно таких, в которых нет не только обычных поворотов, но и вообще никаких, в том числе бедны и конформные группы. Вот на этих с точки зрения физических приложений можно смело ставить крест, но мы такими практически и не занимаемся...

[STilda]

А что поменяется если использовать полярную систему координат? Если вводить скальное произведение на сферических координатах?

[Time]

STilda в сообщении #330355 писал(а):

А что поменяется если использовать полярную систему координат? Если вводить скальное произведение на сферических координатах?

Вообще-то, и скалярное произведение, и его обобщение на скалярное полипроизведение инвариантны по отношению к системам координат. Просто при отходе от линейной системы координат и переходе к нелинейным, частным случаем которых являются полярные координаты, вместо компонент скалярного произведения в виде чисел, появятся функции. Все почти так же как в обычных римановых или псевдоримановых пространствах, только метрический тензор в случае скалярного полипроизаедения имеет не два, а $n$ индексов.

[STilda]

Уточню что я имел ввиду, возможно вы дали ответ не на тот вопрос что я спрашивал. Вместо рассматривания $(x_1,y_1,z_1)*(x_2,y_2,z_2)=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2$, где компоненты векторов - декартовы координаты, я предлагал взять величину типа $(r_1,\alpha_1,\beta_1)*(r_2,\alpha_2,\beta_2)=r_1 r_2+\alpha_1 \alpha_2+\beta_1 \beta_2$. Так как поиск полискалярного произведения вы вели среди полиформ (многочленов) соответствующей степени, а через них не выражается функция перехода из декартовой в полярную систему координат, то вопрос видится адекватным.
Сам сей час подумал, что хочется та сделать инваринтом обычные эвклидовы расстояния в 3D. Так что переход на полярные координаты становится сомнительным в полезности.
Пока что, я так понял, не существует поли объекта для 3D, инвариантного относительно обычных (элиптических) поворот. А это каким-то образом (пока не знаю) говорит о том, что нельзя найти алгебры поличисел, описывающих 3D повороты и перемещения.

[Time]

Мда.. Со скалярным произведением у Вас, мягко говоря, проблемы..

Также как и со связями между выделенными преобразованиями метрических пространств, их инвариантами и геометриями даже в обычных евклидовых и псевдоевклидовых метриках. Не думаю, что при таком положении дел в классических геометриях имеет смысл переходить к финслеровым.

[STilda]

Ой, давайте вы не будете выделываться

[Time]

Если не будет дикостей - не буду.

[STilda]

В чем тупость моего предложения об скалярном произведении полярных координат?

[Valerii]

Позвольте поучаствовать в дискуссии.
Согласно теореме Гёделя о неполноте, любая достаточно сложная формальная система правил (например, математическая теория, содержащая арифметику) или противоречива, или содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой системы. Чтобы разрешить это противоречие необходимо расширить эту систему. Например, ответ на вопрос, чему равен квадратный корень из -1 приводит к расширению понятия действительных чисел — к комплексному числу.
Прошу ответить на простые вопросы:

1) Какая математическая операция над комплексными числами приводит к необходимости расширения понятия комплексного числа?

2) Что является расширением комплексного числа?

3) Существуют ли дальнейшие расширения понятий числа?

[Time]

Valerii в сообщении #348154 писал(а):

Прошу ответить на простые вопросы:

1) Какая математическая операция над комплексными числами приводит к необходимости расширения понятия комплексного числа?

Предлагаю посмотреть на Ваш вопрос существенно шире, чем он поставлен. Известно, что не алгебра и не ее операции являются наиболее ценным качеством комплексных чисел, а анализ над ними и связанные с ним аналитические функции. Если задаться вопросом, каким образом можно было бы расширить возможности анализа с двух пространственных измерений на бОльшее их число, включая и время, то тогда мы и приходим к идее гиперкомплексных чисел и аналитическим функциям над ними. В свою очередь, вопрос, зачем нужны такие многомерные аналитические функции - имеет ответом желание работать при помощи аналитических методов не только в двух измерениях, но в трех и в четырех. Правда при этом приходится констатировать, что такое многмерие обладает уже не римановой или псевдоримановой геометрией, а специального вида финслеровой. И хотя считается, что реальный физический мир обладает псевдоримановой метрикой, для меня и многих моих коллег этот вопрос остается как минимум открытым и если окажется так, что наша физическая реальность несколько лучше описывается именно финслеровмими метрическими функциями, тогда и рациональность перехода от комплексных к гиперкомплексным алгебрам и анализу становится практически очевидной.

Valerii в сообщении #348154 писал(а):

2) Что является расширением комплексного числа?

В сегодняшней математической литературе преобладает убеждение, что естественным расширением комплексных чисел являются алгебры кватернионов Гамильтона и октав Кэли. Думаю, что это не так. Кватернионы и октавы некоммутативны, а это нарушение одного из самых фундаментальных качеств натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел (объекты того самого ряда, что давно и безоговорочно принято считать Числами). Но что еще хуже, над кватернионами и октавами еще никому не удалось построить естественное расширение анализа. Где-то, да жмет.. Поэтому полагаю, что наиболее логичным расширением комплексных чисел являются так называемые бикомплексные числа (это прямая сумма двух комплексных алгебр). Такая алгебра четырехкомпонентна, над ней естественным образом выстраивается не только анализ, но и его существенное расширение (с некоторыми оговорками это можно назвать суперанализом) за счет увеличения числа инвариантов с длин и углов на полиуглы, а соответствующая геометрия - финслерова, имеющая четыре независимых измерения, включая и временнОе.

Valerii в сообщении #348154 писал(а):

3) Существуют ли дальнейшие расширения понятий числа?

Да, если не ограничивать моделирование физических явлений евклидовыми, псевдоевклидовыми, римановыми или псевдоримановыми геометриями, а допускать естественность расширения теоремы Пифагора с суммы или разности квадратов на более высокие натуральные степени. Как такое расширение связано с окружающей нас геометрической реальностью - вопрос отдельный и далеко не тривиальный. Если хотите, для начала можете познакомиться с материалами на такой вот страничке:

http://www.polynumbers.ru/section.php?lang=ru&genre=75

Можно начать с фильма "Анизотропный мир" (его также в существенно лучшем качестве и "весе" легко найти по ключевым словам в интернете), а там сами решите продолжать или нет смотреть другие материалы, в том числе, уже не только популярные..

[erlan]

Valerii в сообщении #348154 писал(а):

Прошу ответить на простые вопросы:

1) Какая математическая операция над комплексными числами приводит к необходимости расширения понятия комплексного числа?

Возьмём простейшую полупростую группу Ли $SL(2,R)$ и зададимся вопросом каким образом она действует на всевозможных однородных пространствах размерности 2? Ответ будет простым: действие всегда является дробно-линейным преобразованием в двумерной алгебре либо комлексных, либо двойных, либо двойственных чисел.

[Time]

erlan в сообщении #350122 писал(а):

зададимся вопросом каким образом она действует на всевозможных однородных пространствах размерности 2? Ответ будет простым: действие всегда является дробно-линейным преобразованием в двумерной алгебре либо комлексных, либо двойных, либо двойственных чисел.

Мне кажется Valerii имел ввиду не только и не столько различные двухкомпонентные гиперкомплексные числа, сколько многокомпонентные, причем не октавы и не кватернионы.

С другой стороны в перечисленных Вами гиперкомплексных числах наиболее интересными свойствами обладают не столько дробнолинейные преобразования, сколько более общего вида нелинейные конформные преобразования. А им соответствует уже бесконечномерная группа симметрий. Может лучше ее класть в основу обоснования необходимости многокомпонентных гиперкомплексных коммутативно-ассоциативных алгебр?

[hamilton]

Time в сообщении #348816 писал(а):

Кватернионы и октавы некоммутативны, а это нарушение одного из самых фундаментальных качеств натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел (объекты того самого ряда, что давно и безоговорочно принято считать Числами)

Когда в 16 веке изобрели мнимую единицу i, она очень многими ортодоксами считалась порождением потустороннего мира и даже дьявола, а совсем не фундаментальным качеством чисел и "безоговорочно принятым". То, что числа могут занимать плоскость, а не прямую, было потрясающим достижением на том уровне!
Все же сейчас 21 век, давайте не будем заниматься поиском дьявола, ведьм или каких-то никому неведомых нарушений в том, что известно математикам уже более 100 лет. Если что-то здесь и "нарушается", то коммутативность, которая красива только на плоскости - когда лежит.
А когда пытается подняться - почему-то начинает хромать...
Изучая наше пространство, Гамильтон и пришел к фундаментальному понятию некоммутативности.
Ньютон первым понял, что яблоко падает не по божественной причине, для этого ему пришлось слегка модернизировать понятие бога...
Вот так и здесь - для понимания кватернионов нам необходимо только одно - нужна ли для ваших задач некоммутативность? Или ее можно выбросить на свалку истории?
Отпустить наконец внутренние тормоза, которые находятся в глубинах подсознания нашей математической культуры, или вернуться в 16-17 века?
Удивительное дело - во второй половине 19 века кватернионы в школах дети проходили, а в 21 веке взрослые ученые мужи не понимают

-- Ср сен 08, 2010 03:37:25 --

Time в сообщении #348816 писал(а):

Но что еще хуже, над кватернионами и октавами еще никому не удалось построить естественное расширение анализа. Где-то, да жмет..

Комплексный анализ во многих местах жмет, только мы к этому привыкли.
Что такое "естественное", если мы переходим от плоскости к пространству?
На плоскости пространство выглядит неестественно - остается только его жалкая тень.
А как перейти от плоскости к пространству? Если не хочется - то никак...
Мама говорит маленькому ребенку:"Хватит лежать, вставай, ты же уже большой!"
"Нет, -говорит ребенок, - я еще маленький. Не хочу ходить в детский сад - там плохо, не хочу в школу. Мама, верни меня обратно!"
Научная новизна по определению - то, чего не знали или не понимали раньше... как же она может быть "естественной", то есть общепринятой?
До сих пор есть ортодоксы, которые не умеют пользоваться интернетом или мобильным телефоном. Естественны они или нет?
Еще в конце 20 века неестественны были интернет и мобильный телефон, а сейчас неестественны ортодоксы, которые ими не пользуются...
Цивилизация обладает удивительным свойством - сначала она долго новое не принимает, а потом так же долго не может от него отказаться.
Известно, что до сих пор целые племена людей на Земле живут на деревьях - быть может, пора к ним вернуться? Наши предки тоже были такими и считали такую жизнь очень естественной - и комплексных чисел тогда тоже "не было". Хорошо жилось людям на свете
А если серьезно, то каждый год проходят международные конференции, люди в разных странах продвигаются в разных направлениях кватернионного и октонионного анализа и теории функций. В честь двухсотлетия со дня рождения Гамильтона в Англии мощный библиографический сборник выпустили. Но вот вопрос мучает - кому в России это интересно?