Многомерные расширения ТФКП

[Time]

hamilton в сообщении #350438 писал(а):

Все же сейчас 21 век, давайте не будем заниматься поиском дьявола, ведьм или каких-то никому неведомых нарушений в том, что известно математикам уже более 100 лет. Если что-то здесь и "нарушается", то коммутативность, которая красива только на плоскости - когда лежит.

Вы всё упорно пытаетесь свести к дилемме: коммутативность/некоммутативность. А на самом деле дилемма в другом, в наличии или в отсутствии богатых групп симметрий, на которых и базируются наиболее действенные физические теории. В пространствах, имеющих соответствие с коммутативно-ассоциативными алгебрами конформные группы преобразований образуют бесконечномерные группы, а в пространствах, которым соответствуют некоммутативные алгебры - конформные группы относительно бедны. Во всяком случае, у прсотранства соответствующего кватернионам - группа конформных преобразований всего 15-параметрическая.
Кроме того, Вы игнорируете факт, что в пространствах с коммутативно-ассоциативными алгебрами некоммутативность не отрицается как класс. В таких пространствах есть место некоммутативным группам, в том числе и группе вращений трехмерного евклидова пространства, но как подгруппам абелевых бесконечномерных групп. Почему Вы выдвигатете требование появления некоммутативности (которая несомненно присутствует в природе) именно как свойства группы движений? Чем плох вариант переместить обитание некоммутативности в группы, для которых инвариантом является не расстояние (интервал), а угол или еще более хитрый метрический параметр?

hamilton в сообщении #350438 писал(а):

А когда пытается подняться - почему-то начинает хромать...

"Хромать" коммутативные мнимые единицы начинают только в многомерных пространствах с квадратичным типом метрики. Чем Вас не устраивает алгебра связанная с произведениями мнимых единиц на числах, являющихся прямой суммой двух комплексных алгебр? То есть, бикомплексные числа, как их иногда называют. Вполне себе приличная алгебра. Совсем даже не хромает.

hamilton в сообщении #350438 писал(а):

Вот так и здесь - для понимания кватернионов нам необходимо только одно - нужна ли для ваших задач некоммутативность? Или ее можно выбросить на свалку истории?

Никто некоммутативность не выбрасывает. Она лишь смещается с уровня связи с группой движений на уровень подгруппы групп симметрий связанных с иными метрическими инвариантами, чем расстояния.

hamilton в сообщении #350438 писал(а):

А как перейти от плоскости к пространству? Если не хочется - то никак...

Кому как, а мне переход от плоскости к пространству очень даже хочется производить. Только при этом совсем не хочется отказываться и от замечательного свойства бесконечномерности конформной группы симметрий и коммутативно-ассоциативных свойств соответствующей пространству алгебры. Единственным препятствием для выполнения таких желаний является необходимость в многомерии отказаться от квадратичности фундаментальной метрической формы. Лично я на такую "жертву" вполне согласен, более того не считаю этот шаг хоть в чем-то неестественным или неудобным, кроме привычки работать с евклидовыми или псевдоевклидовыми метриками. Так что, в нежелании смотреть вперед можно, скорее, Вас обвинить, так как именно Вы цепляетесь за замшелую старину, поскольку кватернионы Гамильтона много старше финслеровой геометрии, которой еще и ста лет не исполнилось. :)

hamilton в сообщении #350438 писал(а):

А если серьезно, то каждый год проходят международные конференции, люди в разных странах продвигаются в разных направлениях кватернионного и октонионного анализа и теории функций. В честь двухсотлетия со дня рождения Гамильтона в Англии мощный библиографический сборник выпустили. Но вот вопрос мучает - кому в России это интересно?

В этом Вы также заблуждаетесь. В России на много больше тех, кто преклоняется именно перед некоммутативными алгебрами, чем перед коммутативно-ассоциативными с соответствующими им финслеровыми пространствами. Так что, это нам впору вопиить: "Доколе!" :) Ну, а почему некоммутативщики "своих" конференций в России не устраивают, это надо их самих спрашивать. Как известно, сам не сделаешь, никто тебя в этом не заменит. :)

[hamilton]

Time в сообщении #350487 писал(а):

В России на много больше тех, кто преклоняется именно перед некоммутативными алгебрами, чем перед коммутативно-ассоциативными с соответствующими им финслеровыми пространствами.

Проблема не в том, чтобы перед чем-либо преклоняться, а двигаться в этом направлении. На мой взгляд, как только преклонился - сотворил себе кумира - ты застыл вместе с ним в коматозе...
Мне наиболее близок принцип Декарта - "Сомневайся во всем!" (даже в самом себе... - это горечь хинина, но только она спасает)
Если кто-то укажет мне на мои реальные недостатки - я буду двигаться быстрее и только скажу "Спасибо"!

Time в сообщении #350487 писал(а):

Ну, а почему некоммутативщики "своих" конференций в России не устраивают, это надо их самих спрашивать.

Сейчас столько разных направлений, что пока разбираешься в них самостоятельно - глядишь, полжизни и прошло незаметно. Подавляющее большинство молодых людей идет в науку с чистыми помыслами, только окунается в грязное болото человеческих интриг.
Я благодарен коллеге Time за попытки заинтересовать наше общество проблемами, которые сегодня находятся на острие научного прогресса.
На семинарах в Лесном Озере в действительности гораздо больше свободы, чем афишируется его руководителем на интернет-форумах
Уж не знаю, так хитро задумано или это следствие его природной интеллигентности - ему виднее
Приедете на семинар - убедитесь сами. Там не висит вывески "Злая собака" или "Посторонним вход воспрещен!", и другие точки зрения допускаются для изложения. Я бы со стороны определил этот семинар как "научный Гайд-парк". После прямого общения начинаешь понимать многое, что происходит "за кадром", и становится гораздо легче жить.
Теперь по сути научных вопросов.
В предыдущем сообщении Вы сказали, что свойством Числа считаете исключительно коммутативность. Если теперь Вы утверждаете, что

Time в сообщении #350487 писал(а):

некоммутативность не отрицается как класс

то мы очень серьезно продвинулись

Time в сообщении #350487 писал(а):

Чем Вас не устраивает алгебра связанная с произведениями мнимых единиц на числах, являющихся прямой суммой двух комплексных алгебр? То есть, бикомплексные числа, как их иногда называют. Вполне себе приличная алгебра.

не устраивает тем, что там отсутствует некоммутативность
http://karataev.nm.ru/hipclass/file4.html
Геометрически бикомплексные числа можно понимать как бикомплексную плоскость
http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?j ... n_lang=rus
даже если есть другая интерпретация, сути дела это не изменит (с точностью до изоморфизма).

Time в сообщении #350487 писал(а):

Никто некоммутативность не выбрасывает.

Time в сообщении #350487 писал(а):

Кому как, а мне переход от плоскости к пространству очень даже хочется производить.

Будьте добры, пример такой хорошей четырехмерной алгебры в студию

[hamilton]

Time в сообщении #350487 писал(а):

Почему Вы выдвигатете требование появления некоммутативности (которая несомненно присутствует в природе) именно как свойства группы движений?

это из другой оперы, мне чужого не надо...
я говорил исключительно о некоммутативности умножения, из которого, как известно, произошло векторное произведение в трехмерном пространстве. Его пользу и практический смысл вряд ли кто-то будет подвергать сомнению, хотя до Гамильтона о такой операции никто не подозревал.

-- Ср сен 08, 2010 22:27:25 --

В конце доклада на Лесном Озере я сделал ремарку, которой явно заинтересовался Гарасько.
Классическре уравнение x*x +1 = 0, из которого как черт из бутылки выскакивает комплексная мнимая единица, в кватернионной области в качестве решений имеет наше родное континуальное трехмерное декартово пространство.
При этом кроме некоммутативности произведения, алгебраическую структуру мы не меняли!!!
Вывод. Наш трехмерный векторный декартов мир целиком заполнен квадратными корнями из (-1).
Просто и ясно, не правда ли?
А следствием чего является сей факт? НЕКОММУТАТИВНОСТИ, и более - абсолютно ничего...

[hamilton]

Time в сообщении #348816 писал(а):

над кватернионами и октавами еще никому не удалось построить естественное расширение анализа

Вы понимаете, что приведенное квадратичное алгебраическое уравнение и есть типичный элемент того "расширения анализа, которое еще никому не удалось построить"? Классическая задача - найти область нулей функции заданного вида f(x) = x*x + 1.
Вопросы поведения кватернионных нулей обсуждались, в частности, Хемпфлингом - учеником Леутвилера (Эрлангенский университет) в докладе 2000 года в Пекине
http://clifford-algebras.org/Beijing200 ... 07-116.pdf

-- Чт сен 09, 2010 00:58:15 --

А вот статья по теме доклада, который я делал на семинаре в Лесном Озере в июне 2010 года
и на следующей неделе буду снова рассказывать на мехмате МГУ школе профессора Смолянова
http://arxiv.org/abs/math/0302186
Желающие могут читать и задавать любые вопросы, которые их интересуют

Если обкатка пройдет нормально, в октябре последует доклад на семинаре в отделе математической физики института Стеклова у член-кора Академии наук И.В.Воловича

[hamilton]

В нескольких словах суть статьи следующая;
Я утверждаю, что существует и построено в явном виде осесимметричное обобщение системы Коши-Римана (уравнения (5) в моей статье) с переменными коэффициентами, в качестве решений содержащее класс функций, "ассоциированных с классическим голоморфными" (по Леутвилеру, профессору Эрлангенского университета).
На этом пути красиво получаются не только кватернионные, но и октонионные обобщения классических голоморфных специальных функций, таких как гамма-функция Эйлера и дзета-функция Римана.

За доказательство гипотезы Римана о характере нулей дзета-функции институтом Клэя, который недавно присудил приз Перельману, обещана такая же премия в 1 миллион долларов
http://ru.wikipedia.org/wiki/Задачи_тысячелетия
Она же является восьмой проблемой Гильберта и не решена более 100 лет
http://ru.wikipedia.org/wiki/Проблемы_Гильберта
Что будет с нулями дзета-функции в кватернионных и октонионных областях, в институте Клэя еще не думали
Так что есть где разгуляться, пока горит свеча...
В качестве разминки не мешало бы с полиномами разобраться

[Руст]

Цитата:

Кроме того, Вы игнорируете факт, что в пространствах с коммутативно-ассоциативными алгебрами некоммутативность не отрицается как класс. В таких пространствах есть место некоммутативным группам, в том числе и группе вращений трехмерного евклидова пространства, но как подгруппам абелевых бесконечномерных групп.

Некоммутативная группа не является подгруппой какой либо коммутативной.

[Time]

Руст в сообщении #350695 писал(а):

Некоммутативная группа не является подгруппой какой либо коммутативной.

Бесконечномерная группа конформных преобразований четырехмерного финслерова пространства бикомплексных чисел - коммутативна? Не знаю, на сколько тут применим этот термин, но мне говорили, что да, множество таких преобразований образует именно абелеву группу. Некоммутативная группа Лоренца является ее подгруппой. А группа вращений трехмерного евклидова пространства - подгруппой последней. Что тут с Вашей точки зрения неверно?
Возможно, Вы имели ввиду конечномерные группы. Тут не спорю, Ваше утверждение верно. Я же говорил о бесконечномерных абелевых группах и о конечномерных некоммутативных..

-- Чт сен 09, 2010 09:40:25 --

hamilton в сообщении #350601 писал(а):

На мой взгляд, как только преклонился - сотворил себе кумира - ты застыл вместе с ним в коматозе...

Было б просто замечательно, если этот лозунг Вы попробовали применить к себе и перестали относиться к кватернионам (а может и к другим каким некоммутативным алгебрам), как к кумиру. :) А то ж ведь - не более, чем декларация, направленная на других..

hamilton в сообщении #350601 писал(а):

В предыдущем сообщении Вы сказали, что свойством Числа считаете исключительно коммутативность. Если теперь Вы утверждаете, что

Time в сообщении #350487 писал(а):
некоммутативность не отрицается как класс

то мы очень серьезно продвинулись

Не передергивайте. Я сказал ровно то, что хотел сказал, а не то, что Вы попытались из этого представить. Еще раз вынужден подчеркнуть, что главное не в коммутативности или некоммутативности таблицы умножения алгебры, а в богатстве (желательно бесконечномерном) непрерывных групп симметрий, в частности, конформных. Если покажите мне пример алгебры с некоммутативным умножением с бесконечномерной группой конформных преобразований, тогда и сможете констатировать, что "мы серьезно продвинулись".

hamilton в сообщении #350601 писал(а):

Геометрически бикомплексные числа можно понимать как бикомплексную плоскость
http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?j ... n_lang=rus
даже если есть другая интерпретация, сути дела это не изменит (с точностью до изоморфизма).

Да можно. Но это, как говорится, правда, но не вся. Кроме как двумерной комплексной плоскостью с комплексными же координатами, бикомплексные числа можно (и даже нужно) представлять как четырехмерное финслерово пространство с вещественными координатами. И эти представления друг другу не равнозначны. Второе содержит на много больше информации, хотя бы потому, что позволяет не проходить мимо таких специфических финслеровых метрических базовых инвариантов, как тринглы и квадрауглы. А представление в виде двумерной плоскости с комплексными координатами даже заподозрить не позволяет о наличии таких инвариантов, а вместе с ними не замечаются целых два класса бесконечномерных метрически выделенных преобразований соответствующего пространства.

hamilton в сообщении #350601 писал(а):

Будьте добры, пример такой хорошей четырехмерной алгебры в студию

Пожалуйста, любуйтесь. Их целых три: алгебра являющаяся прямой суммой двух комплексных $C+C$, прямой суммой комплексной и двух действительных $C+R+R$, и прямой суммой четырех действительных алгебр $R+R+R+R$. За каждой из таких алгебр стоит коммутативный закон умножения базисных единиц, четырехмерное финслерово пространство с вещественными координатами и с фундаментальной метрической формой с четвертыми степенями от компонент. В каждом таком пространстве имеется 7-параметрическая группа движений, бесконечномерная группа конформных преобразований и еще две бесконечномерные группы непрерывных симметрий, связанных с инвариантностью финслеровских полиуглов.

-- Чт сен 09, 2010 10:00:30 --

hamilton в сообщении #350625 писал(а):

это из другой оперы, мне чужого не надо...
я говорил исключительно о некоммутативности умножения, из которого, как известно, произошло векторное произведение в трехмерном пространстве.

Вы разве не знаете, что для ассоциативных алгебр умножение самым тесным образом связано с подгруппой движений (с группой вращений) пространства, этой алгебре соответствующей?

hamilton в сообщении #350683 писал(а):

Так что есть где разгуляться, пока горит свеча...

Как ни крути, а некоммутативной алгеброй кватернионов и именно в связи с четырехмерным евклидовым пространством, которое ей соответствует, занимаются уже почти 170 лет, а финслеровыми пространствами с вещественными координатами, которым соответствуют коммутативно-ассоциативные алгебры $C+C$, $C+R+R$, $R+R+R+R$ - всего-то лет десять. Так что тут есть где погулять - на много больше..

[hamilton]

Time в сообщении #350700 писал(а):

Было б просто замечательно, если этот лозунг Вы попробовали применить к себе и перестали относиться к кватернионам (а может и к другим каким некоммутативным алгебрам), как к кумиру. :) А то ж ведь - не более, чем декларация, направленная на других..

Вы считаете приведенные результаты "декларацией, направленной на других"?
Например, на кого или на что - на финслерову школу или, может быть, на Людковского ?
7 лет назад, когда я писал свою статью, в частности, о финслеровых конструкциях я просто не знал
Людковского читал, но не воспринимал как серьезного ученого - оказалось, так оно и есть
Леутвилера с Хемпфлингом Вы тоже зачисляете в стан людей, декларативно направленных на других?
Сталинский лозунг - "Кто не с нами, тот против нас?"

Вы знаете, что такое математическая новизна?
Результаты от деклараций отличаются как кинетическая энергия от потенциальной - чтобы физики понимали... Или Вы не согласны?

Time в сообщении #350700 писал(а):

Не знаю, на сколько тут применим этот термин, но мне говорили, что да, множество таких преобразований образует именно абелеву группу. Некоммутативная группа Лоренца является ее подгруппой. А группа вращений трехмерного евклидова пространства - подгруппой последней.

Попросите того, кто Вам говорил это, дать научную ссылку

Time в сообщении #350700 писал(а):

Если покажите мне пример алгебры с некоммутативным умножением с бесконечномерной группой конформных преобразований, тогда и сможете констатировать, что "мы серьезно продвинулись".

Конформные преобразования в пространстве ставить на первое место? Помилуйте, мы же в 21-м веке...
Возьмем деформации трехмерного тела
трехмерный тензор деформаций и тензор скоростей деформаций всегда симметричны, однако преобразования деформации неконформны.
В этом круге приложений кому нужны вращения, конформность и бесконечномерные группы?

-- Чт сен 09, 2010 12:35:37 --

Time в сообщении #350700 писал(а):

Вы разве не знаете, что для ассоциативных алгебр умножение самым тесным образом связано с подгруппой движений (с группой вращений) пространства, этой алгебре соответствующей?

Я показал на живом примере, что такое - нетривиальное следствие некоммутативности умножения
понимания движения абсолютно твердого тела маловато будет, чтобы двигаться дальше

Time в сообщении #350700 писал(а):

некоммутативной алгеброй кватернионов и именно в связи с четырехмерным евклидовым пространством, которое ей соответствует, занимаются уже почти 170 лет, а финслеровыми пространствами с вещественными координатами, которым соответствуют коммутативно-ассоциативные алгебры , , - всего-то лет десять.

Видеть надо текущий уровень, а не тот, что был в 19-м веке.
За последние 20 лет были получены принципиально новые результаты, только в России о них практически ничего не знают и даже не интересуются. Вот и получается уровень шапкозакидательства...

[hamilton]

Time в сообщении #350700 писал(а):

не более, чем декларация, направленная на других..

Это, к большому сожалению, реальная позиция Людковского, который, как выяснилось, уже несколько лет хочет защитить докторскую диссертацию на глубоко ошибочных публикациях, таких как например
"Преобразование Лапласа над алгебрами Кэли-Диксона",
"Квазиконформные функции октонионных переменных и их некоммутативные преобразования типа Лапласа и Меллина"
http://hypercomplex.xpsweb.com/section. ... ru&genre=1
и затем целая серия статей, в которых он ссылается на эти две как правильные.
Таково прямое следствие его игнорирования и непонимания современных мировых достижений не в алгебраической области, а уже в области кватернионного анализа и теории функций.
Не будем же уподобляться Людковскому, чтобы не наступать на те же грабли и не получать больно по лбу.
Практически нереально, что он защитит докторскую по этой теме - ему не удастся проскользнуть мимо профессора Шавгулидзе, одного из специалистов в данной области на таком уровне, что его признает директор института Стеклова академик В.В.Козлов
Не стоит переносить громы и молнии с него на меня, хорошо? Ничьим громоотводом я служить не собираюсь...

[Someone]

Time в сообщении #350700 писал(а):

Бесконечномерная группа конформных преобразований четырехмерного финслерова пространства бикомплексных чисел - коммутативна? Не знаю, на сколько тут применим этот термин, но мне говорили, что да, множество таких преобразований образует именно абелеву группу. Некоммутативная группа Лоренца является ее подгруппой. А группа вращений трехмерного евклидова пространства - подгруппой последней. Что тут с Вашей точки зрения неверно?
Возможно, Вы имели ввиду конечномерные группы. Тут не спорю, Ваше утверждение верно. Я же говорил о бесконечномерных абелевых группах и о конечномерных некоммутативных.

Извините, Time, но это заявление ставит под сомнение всё, о чём Вы говорите. Группа называется абелевой, или коммутативной, если для любых двух элементов этой группы выполняется равенство $ab=ba$. Если это равенство выполняется для любых элементов группы, то тем более оно выполняется в любой её подгруппе, поскольку операция умножения в подгруппе - та же самая, что в группе, только ограниченная на подмножество. Поэтому никакая некоммутативная группа не может быть подгруппой никакой коммутативной. И совершенно неважно, "конечномерные" они или нет.

[iig]

Комплексные числа, как и кватернионы - это одно из подможетсв алгебры матриц 4 порядка, удобных во многих случаях для вычислений.
Октавы матрицами не пройдут из-за альтернативности, только зачем они нужны, кроме классификации и определения других алгебр?
Для физики пока достаточно ассоциативных алгебров, дело вкуса оперировать матрицами или волновыми функциями.
Математика интересна что ищет "вещь в себе", вроде ВТФ, при этом результ не нужен, но методы полезны.
Это вроде как армию или космос содержать - что-то пригодится и на гражданке.
Считаю, матеметика имеет стратегическое значение.

[Time]

Someone в сообщении #350750 писал(а):

Извините, Time, но это заявление ставит под сомнение всё, о чём Вы говорите.

Замечательная логика. Даже если в отношении обсуждаемого утверждения я и ошибаюсь (что еще доказать нужно), из этого еще не следует, что нужно ставить под сомнение все, о чем я говорю. Если же такую логику все же принять, то под сомнение нужно ставить утверждения вообще всех людей, так как ошибаться приходилось каждому. Впрочем, с последним ( то есть с тем, что подвергать сомнению следует утверждения любого человека) я совершенно солгласен, в том числе и в отношении того, о чем говорите выше и ниже Вы. Или Вы ни разу не ошибались, даже если ограничиться математическими проблемами, хотя сами Вы таких ограничений не ставили? :)

Someone в сообщении #350750 писал(а):

Группа называется абелевой, или коммутативной, если для любых двух элементов этой группы выполняется равенство $ab=ba$

Для группы конформных преобразований пространства бикомплексных чисел это требование выполняется, следовательно, данная группа коммутативная или абелева. Или что-то не так?

Someone в сообщении #350750 писал(а):

Если это равенство выполняется для любых элементов группы, то тем более оно выполняется в любой её подгруппе, поскольку операция умножения в подгруппе - та же самая, что в группе, только ограниченная на подмножество. Поэтому никакая некоммутативная группа не может быть подгруппой никакой коммутативной.

Не могу сходу указать, в чем тут нюанс (который, скорее всего, есть) но группа Лоренца является подгруппой конформной группы пространства бикомплексных чисел, являющихся прямой суммой двух комплексных алгебр $C+C$. Доказательство можно посмотреть для практически аналогичного пространства $C+C+C+C$. От уменьшения в два раза размера пространства ничего существенно не меняется, да и конформная группа последнего пространства в отношении коммутативности точно также устроена как и для первого. Доказательство смотрите в:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... -gbook.pdf
со стр. 164 по 172. Кстати, на стр. 172 говорится, что утверждение о группе Лоренца верно вообще для всех пространств $C_n$ при $n$ больше или равно двум. Двойка как раз соответствует бикомплексным числам.
Было бы интересно узнать Ваше мнение, в каком месте и как автор доказательства допустил ошибку?

Someone в сообщении #350750 писал(а):

И совершенно неважно, "конечномерные" они или нет.

Bсе же, боюсь, что приведенное выше Вами "доказательство" относится к конечномерным группам. На сколько я знаю, бесконечномерные группы исследованы в отличие от конечномерных не достаточно. И очевидные свойства конечномерных групп, а также их подгрупп, следует с осторожностью переносить на бесконечномерные.
Впрочем, я готов и изменить свое мнение, если Вы укажите на ошибку в доказательстве, приведенном в моей ссылке.

-- Чт сен 09, 2010 18:05:04 --

iig в сообщении #350801 писал(а):

Для физики пока достаточно ассоциативных алгебров

Прелестно, просто прелестно (C)..

-- Чт сен 09, 2010 18:30:38 --

hamilton в сообщении #350718 писал(а):

Вы считаете приведенные результаты "декларацией, направленной на других"?

Я же не против результатов, которые и в алгебре кватернионов, и октав и других гиперкомплексных чисел могут представлять собой серьезные и сильные достижения, а против излишнего преклонения перед одним конкретным типом алгебры. Именно Вы никаких других гиперкомплексных алгебр, кроме кватернионов, в перспективности применения к физике даже краем глаза замечать не хотите. А ведь выше кто-то говорил: "Не сотвори себе кумира"..

hamilton в сообщении #350718 писал(а):

Результаты от деклараций отличаются как кинетическая энергия от потенциальной - чтобы физики понимали... Или Вы не согласны?

С этим то я согласен. Но выше говорилось о декларации в отношении кумиров, а не научных результатов. Или кватернионы не Ваш кумир?

hamilton в сообщении #350718 писал(а):

Попросите того, кто Вам говорил это, дать научную ссылку

В отношении абелевости конформной группы выше дал справкуSomeone. В отношении второго, что группа Лоренца является подгруппой комплексифицированных конформных групп пространтсв $H_n$ при $n$ больше или равно двойки выше я дал ссылку на книгу Гарасько, ну а в отношении того, что группа вращений трехмерного евклидова пространства является подгруппой группы Лоренца, я надеюсь, Вы и сами не возражаете.

hamilton в сообщении #350718 писал(а):

Конформные преобразования в пространстве ставить на первое место? Помилуйте, мы же в 21-м веке...

А что, в СТО уже отменили приоритет изометрических преобразований? А ведь группы Лоренца и Пуанкаре на много менее интересные группы собой представляют, чем конформные группы поличисловых пространств. Да и ТФКП, кажется, в 21 веке никто не отменял и не предавал анафеме. А ведь в ней заглавную роль играет именно бесконечномерная конформная группа. Осмелюсь также напомнить, что тема в рамках которой мы сейчас ведем беседу называется "Многомерные расширения ТФКП". Почему бы именно для них на главном месте не ставить конформные и другие, чуть более хитрые группы метрически выделенных преобразований? А то давайте перепишем ТФКП на произвольные деформации и т.п. Тогда другое дело..

hamilton в сообщении #350718 писал(а):

В этом круге приложений кому нужны вращения, конформность и бесконечномерные группы?

Тем, кто понимает, что "важны не вещи, а принципы симметрии" (C). Помните, кому принадлежит цитата?

hamilton в сообщении #350718 писал(а):

За последние 20 лет были получены принципиально новые результаты, только в России о них практически ничего не знают и даже не интересуются. Вот и получается уровень шапкозакидательства...

Да публикуйте на здоровье свои важные принципиально новые результаты и пропогандируйте заграничные. Если в них есть практическая ценность (ведь речь идет о применениях к физике!) и глубокий смысл, рано или поздно их везде заметят, причем не только в России, но и в Зимбабве..

[hamilton]

Time в сообщении #350808 писал(а):

Вы никаких других гиперкомплексных алгебр, кроме кватернионов, в перспективности применения к физике даже краем глаза замечать не хотите.

Это не так. "Дистанция огромного размера" между "замечать краем глаза" (и не краем, а даже обоими глазами) и "получать новые результаты".
Второй важный принцип, который мне помогает находить правильный путь в движении - "Все познается в сравнении..."
Собственно, он дополняет первый принцип "Сомневайся во всем", который означает по сути "Сравни с чем-то другим, что ты хорошо уже знаешь..."
Ну а побеждает, как и везде, сильнейший.
Для быстрого прогресса сравнения (интеллектуальная конкуренция) просто необходимы, иначе так и будем пребывать в состоянии первобытного блаженства, что уже чего-то достигли, только рядом с нами неожиданно кто-то уйдет далеко вперед...
Но самое интересное - это суметь объединить различные области в одно целое.

Time в сообщении #350808 писал(а):

Или кватернионы не Ваш кумир?

Не кумир, а эталон для меня - это Гильберт...
С Гамильтоном я внутренне могу спорить и в чем-то не соглашаться. Гильберт же для меня находится на недосягаемой высоте. Охватить столько различных областей, как он, я просто не в состоянии. Западные психологи проводили анализ гениальности людей. Был получен вполне достоверный результат, проверенный на сотнях исторических личностей.
Определение психологов.
1. Если человек сумел охватить в своих достижениях одновременно две некоррелирующих области - у него хорошие способности.
2. Если смог охватить три некоррелирующих области - человек талантлив.
3. Если смог охватить четыре некоррелирующих области - гений.
Сколько некоррелирующих областей математики охватил в своих достижениях Гильберт, сейчас я не берусь сказать.

Time в сообщении #350808 писал(а):

тема в рамках которой мы сейчас ведем беседу называется "Многомерные расширения ТФКП". Почему бы именно для них на главном месте не ставить конформные и другие, чуть более хитрые группы

Конечно, группы Ли пока еще не отменили, хотя сейчас исследуются типы уравнений, где групповые методы Ли не работают (в частности, киевская школа Фущича, как подсказал маститый коллега из Англии).
Вопрос - какие группы Ли адекватно описывают интересующие нас пространственные приложения ? И пространственные приложения-то тоже могут быть очень разными...
Одно могу сказать - если бы все так хорошо с конформными отображениями в пространстве, как многие представляют себе, то подозреваю, что пространство было бы сильно похоже на плоскость...

[Time]

hamilton в сообщении #350872 писал(а):

Ну а побеждает, как и везде, сильнейший.

Вот это точно. И нечего сетовать, что мол в России кватернионных достижений не знают и знать не хотят.

hamilton в сообщении #350872 писал(а):

Не кумир, а эталон для меня - это Гильберт...

Эк, Вы с предмета на предмет любите перескакивать. Только что говорили о приоритетах в гиперкомплексных числах (во всяком случае, я), а Вы - то про результаты с достижениями, то про Гильберта.. Вы на прямо поставленный вопрос ответить можете? С Вашей точки зрения самыми важными и удобными для физики, когда задействовано больше двух измерений, являются кватернионы, или же допускаете возможность перспектив и у других гиперкомплексных алгебр? В том числе, у коммутативно-ассоциативных c соответствующими им финслеровыми геометриями?

hamilton в сообщении #350872 писал(а):

Одно могу сказать - если бы все так хорошо с конформными отображениями в пространстве, как многие представляют себе, то подозреваю, что пространство было бы сильно похоже на плоскость...

Какое, нафиг, многие? Кроме нашей немногочисленной группы бесконечномерными метрически выделенными группами симметрий в многомерных финслеровых пространствах и связанных с ними алгебрах, похоже, вообще никто не занимается. Что касается пространств с бесконечными конформными группами, то тут не подозревать нужно, а знать. Откуда такие подозрения? Вы серьезно исследовали данную проблему? Кроме того я уже раз пять говорил Вам о том, что изометрическими и конформными группами преобразований финслеровы пространства с коммутативно-ассоциативными алгебрами при n>2 не ограничиваются. И инвариантами у них являются не только длины и углы, но и меры фигур из трех и более векторов. Мы их называем полиуглами. Для фигур из трех векторов - тринглами. Эти меры не сводятся к длинам и углам, как обычный телесный угол или объем трехгранного сегмента сферы. Таких преобразований нет не только на плоскости, но и в многомерных квадратичных пространствах. Именно поэтому Вы меня в данном вопросе совсем не понимаете и еще вряд ли скоро поймете.

[Someone]

Time в сообщении #350808 писал(а):

Someone в сообщении #350750 писал(а):

Извините, Time, но это заявление ставит под сомнение всё, о чём Вы говорите.

Замечательная логика. Даже если в отношении обсуждаемого утверждения я и ошибаюсь (что еще доказать нужно), из этого еще не следует, что нужно ставить под сомнение все, о чем я говорю.

"Если часы пробили тринадцать раз, то это не только означает, что тринадцатый удар был неверным, но и порождает сомнения в верности остальных двенадцати ударов." (Не помню, кто это сказал.)

Это стандартная логика для математика. Если я читаю статью и вижу в самом начале неверное утверждение, которое в дальнейшем постоянно упоминается, то я понимаю, что этой работе доверять категорически нельзя. В Вашем случае я вижу, что Вы вряд ли понимаете, о чём говорите, поскольку явно не понимаете простейших базовых понятий теории групп.

Time в сообщении #350808 писал(а):

Или Вы ни разу не ошибались, даже если ограничиться математическими проблемами, хотя сами Вы таких ограничений не ставили?

Ошибался.

Time в сообщении #350808 писал(а):

Someone в сообщении #350750 писал(а):

Группа называется абелевой, или коммутативной, если для любых двух элементов этой группы выполняется равенство $ab=ba$

Для группы конформных преобразований пространства бикомплексных чисел это требование выполняется, следовательно, данная группа коммутативная или абелева. Или что-то не так?

Группа конформных преобразований комплексной плоскости абелева или нет?
Например, преобразования $f(z)=z+c$ и $g(z)=cz$ коммутируют или нет?

Time в сообщении #350808 писал(а):

Someone в сообщении #350750 писал(а):

Если это равенство выполняется для любых элементов группы, то тем более оно выполняется в любой её подгруппе, поскольку операция умножения в подгруппе - та же самая, что в группе, только ограниченная на подмножество. Поэтому никакая некоммутативная группа не может быть подгруппой никакой коммутативной.

Не могу сходу указать, в чем тут нюанс (который, скорее всего, есть) но группа Лоренца является подгруппой конформной группы пространства бикомплексных чисел, являющихся прямой суммой двух комплексных алгебр $C+C$. Доказательство можно посмотреть для практически аналогичного пространства $C+C+C+C$. От уменьшения в два раза размера пространства ничего существенно не меняется, да и конформная группа последнего пространства в отношении коммутативности точно также устроена как и для первого. Доказательство смотрите в:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... -gbook.pdf
со стр. 164 по 172. Кстати, на стр. 172 говорится, что утверждение о группе Лоренца верно вообще для всех пространств $C_n$ при $n$ больше или равно двум. Двойка как раз соответствует бикомплексным числам.
Было бы интересно узнать Ваше мнение, в каком месте и как автор доказательства допустил ошибку?

Не нашёл там доказательства того, что группа конформных преобразований пространства $H_4$ является абелевой. Напротив, автор говорит о коммутационных соотношениях, то есть, явно предполагает, что соответствующая алгебра Ли не коммутативна. Так что ошибка, вероятно, не его, а Ваша.

Time в сообщении #350808 писал(а):

Someone в сообщении #350750 писал(а):

И совершенно неважно, "конечномерные" они или нет.

Bсе же, боюсь, что приведенное выше Вами "доказательство" относится к конечномерным группам.

Извините, в моём рассуждении не используется ничего, кроме определений подгруппы и абелевой группы.
Не упорствуйте. Из-за того, что Вы плохо понимаете, о чём говорите, вместо пропаганды финслеровой геометрии получается компрометация авторов работ, которые ни в чём не виноваты.