Полное решение континуум-проблемы

[Someone]

rishelie в сообщении #239330 писал(а):

Не, я имел ввиду вещественные последовательности. То есть , вместо функций (линий) в секторе куда проще рассматривать последовательности из $\omega$ в ${\mathbb R}$, причем вполне достаточно рассматривать положительные сходящиеся в ноль.

Да, конечно. И даже можно было бы рассматривать последовательности натуральных чисел, стремящиеся к бесконечности.

rishelie в сообщении #239330 писал(а):

Но если так, то откуда тут берется биекция между $C_1$ и $HC$?

Ниоткуда. У него ход рассуждений такой. Множество $B$ обладает следующими свойствами:

Инт писал(а):

Свойство I. Любое не пустое и не более чем счётное множество точек базы ограничено слева и справа точками базы, не принадлежащими этому не более чем счётному множеству. Бесконечно удалённые элементы есть пределы несчётных последовательностей.

Свойство II. Пусть $L$ и $M$ - не пустые не более чем счётные множества, составленные из точек базы так, что все элементы $L$ меньше всех элементов $M$. Тогда, найдётся $q\in B$ который расположен строго между множествами $L$ и $M$, т.е. любой элемент из $L$ будет $<q$, а любой элемент из $M$ $>q$.

Далее, в $HC$ также выполняются свойства I и II. Формулируется

Цитата:

Утверждение 2. Пусть $S$ - непустое частично упорядоченное множество, обладающее свойствами I и II, и существуют два бесконечно удалённых элемента, не принадлежащих $S$, т.е. когда один из бесконечно удалённых элементов больше каждого элемента $S$, а второй - меньше каждого элемента $S$. Тогда, в $S$ можно выделить подмножество $A$, изоморфное множеству $B$.

Отсюда следует, что в $HC$ имеется семейство линий $HQ$, изоморфное в смысле порядка множеству $B$.
Надо сказать, я не анализировал это утверждение и не знаю, верно оно или нет. Инт считает его почти очевидным и доказательства не даёт.

Далее он "разводит концы" линий семейства $HQ$ и получает вложение сектора $D$ (это сектор без граничной дуги окружности $C$) в некоторое множество, в котором вместо дуги окружности $C$ получается другое линейно упорядоченное множество (обозначим его $C'$). Его описание совершенно невнятное, и потому непонятно, как это он делает. Это даёт ему вложение множества $B$ в $C'$ таким образом, что каждая линия из $HQ$ стремится к соответствующей точке на $C'$. Я допускаю, что это можно сделать, но хотел бы видеть явное построение.

На основании сказанного он считает "геометрически очевидным", что, во-первых, и всё множество $C_1$ вкладывается в $C'$, и, во-вторых, к каждой точке вложенного в $C'$ множества $C_1$ стремится некоторая линия $k$ из $HC$. Отсюда следует, в частности, что $|C_1|\leqslant|HC|$.

Критическим моментом является именно существование линии $k$.

Имеем $|B|=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$, $|HC|=\mathfrak c$ и $|C_1|=2^{\aleph_1}$. Ясно, что если справедлива континуум-гипотеза, то $|HC|<|C_1|=2^{\mathfrak c}$, поэтому Инт уверен, что опроверг континуум-гипотезу.

Ввиду этого я хочу, чтобы Инт проделал это в гораздо более простой модельной ситуации, причём, явно построил всё, что он декларирует существующим. Он, однако, упирается, считая, что строить ничего не надо, достаточно только перечислить желаемые свойства. Сравните это с придирками, которые он выставляет в других темах, выступая в роли критика.

[rishelie]

Someone в сообщении #239490 писал(а):

И даже можно было бы рассматривать последовательности натуральных чисел, стремящиеся к бесконечности.

Кстати, да И все эти трансфинитные последовательности функций строятся без проблем.

Someone в сообщении #239490 писал(а):

Ввиду этого я хочу, чтобы Инт проделал это в гораздо более простой модельной ситуации, причём, явно построил всё, что он декларирует существующим. Он, однако, упирается, считая, что строить ничего не надо, достаточно только перечислить желаемые свойства. Сравните это с придирками, которые он выставляет в других темах, выступая в роли критика.

Я просил Инта продемонстрировать ход рассуждений для упрощенного варианта представления $HC$ (через последовательности), но он отмахнулся, заявив, что-де это неинтересно. Вот одно из таких высказываний:

Инт в сообщении #232940 писал(а):

Далее, Вы приводите некие определения, сводимые к ещё более простым функциям. Я могу дать переопределения так, что все теоремы моей работы окажутся теоремами относительно функций, определённых на натуральном ряду и со значениями в этом ряду. Но это не надо. Будет слишком искусственно. Во-первых моё право из эстетических соображений представить теоремы так как Я хочу. Во-вторых, геометрическое выражение аксиом оказывается очень полезным, а его лучше формулировать в рамках непрерывных функций. В третьих. В окончательных доказательствах, касающихся выражения аксиом как теорем теории множетств, требуется применить некоторый приём непрерывного движения линий (и даже не Ваших функций). Так что мой математический подход оправдан полностью.

Насчет существования $HQ$ я готов согласиться, хоть и не проверял это. Вроде бы тут ничего такого уж криминального нет.
А вот начиная с момента появления $C'$ и разведения концов я не вижу никакой четкой идеи. Вроде бы, сообщалось, что $C'$ есть некая окрестность дуги $C$, т.е., по сути то же самое $HQ$. Скорее всего, тут происходит какая-то подмена понятий.

Someone в сообщении #239490 писал(а):

На основании сказанного он считает "геометрически очевидным", что, во-первых, и всё множество $C_1$ вкладывается в $C'$, и, во-вторых, к каждой точке вложенного в $C'$ множества $C_1$ стремится некоторая линия $k$ из $HC$. Отсюда следует, в частности, что $|C_1|\leqslant|HC|$.

У меня есть ощущение, что все выкладки Инта можно переписать, заменяя гипердействительные числа обычными действительными, а $HQ$ - точками вида $\sum 2^{-k_i}$ с произвольным конечным набором целых $k_i$. Интересно было бы оценить возможность применения его рассуждений для этих символов Не будет ли тогда волшебным образом получаться равенство $\omega={\mathfrak c}$?
Сдается мне, что пресловутая линия $k$ окажется в этом случае каким-от специальным действительным числом, которого на самом деле не существует.

[Инт]

Всем привет.

С определением порядка на линиях, и с тем, что из предложенных аксиом вытекает отрицание континуум-гипотезы, считаю, разобрались.

Доведём до конца доказательство существования линии, соответствующей трансфинитному сечению в множестве линий $HC$. Часть текста, что касалась такого доказательства, предъявленная мною ранее, неудовлетворительна: вывод слишком скомканный, и в тексте от этого неясности. Неясности устранены в электронных публикациях: http://sibmathnet.narod.ru/rkp.pdf и http://sibmathnet.narod.ru/ver.pdf

Здесь, на форуме, даю набросок доказательства, надеюсь, достаточно ясный, чтобы читатель самостоятельно мог восстановить некоторые второстепенные детали и полностью проверить доказательство. Замечу: все предметы, рассмотренные ниже и их свойства тривиально выразимы на языке ZF. Так что, все доказательства проводятся в рамках канонической теории множеств. «Канонической теорией» называю теорию = ZF + аксиома выбора, в которой ограничена мощность функции выбора. Для наших целей достаточно использовать функцию выбора, имеющую мощность $\aleph_{1}$.

Напомню, линии множества, называемого мною год назад множеством $HC$, можно отождествить с функциями от аргумента $r$ – расстояния от центра окружности, $r < 1$, а значения функций есть углы, лежащие в интервале от $0$ до прямого угла. $\alpha << \beta$ (говорится: «$\alpha$ заканчивается левее $\beta$» или «$\beta$ заканчивается правее $\alpha$»), если для всех достаточно больших $r < 1$ $\alpha(r) < \beta(r)$. Углы растут слева направо.

I

Итак, (в какой-то степени популярное) доказательство: В области $D$ рассматриваются две трансфинитные последовательности линий $\hat U$ и $\hat V$, определяющие сечение в множестве $HC$. Для каждых $\alpha \in \hat U$ и $\beta \in \hat V$: $\alpha << \beta$, т.е. линия $\alpha$ заканчивается на дуге $C$ левее линии $\beta$. Необходимо построить линию $k$ такую, что $\alpha << k << \beta$ при любых $\alpha \in \hat U$ и $\beta \in \hat V$. Тем самым аксиома будет доказана средствами канонической теории множеств.

Далее, рассматриваем некоторый дубликат сектора $D$. Этот дубликат в этом пояснении обозначим $D^*$. Сектор $D^*$, считаем, можно свободно располагать в пространстве, непрерывно растягивать и сжимать так, как нам заблагорассудится. В результате, сектор $D^*$ принимает «состояния» $f(D^*)$, где f – некоторое отображение, от которого и зависит «состояние сектора». Символ $f$ необходимо воспринимать как символ оператора, действующего на множества. Точнее: f – обычное отображение, но точечные множества выступают для него как элементы отображения, как значения аргумента функции. Сужение функции $f$ на одноэлементные точечные множества сводится к обычному отображению.

Сектор $D^*$ в $\aleph_{1}$ опытах устремляем к сектору $D$ в пространстве. В $\nu$-ом опыте, где $\nu$ - ординал $< \omega_{1}$ сектор $D^*$ устремляем к $D$ так, что сектора находятся в $\nu$-ом состоянии. Точнее: Пусть $\Omega_{\nu}(D^*(s))$ – положение сектора $D^*$ на высоте $s$ от плоскости сектора $D$, возникающее при отображении $\Omega_{\nu}$ – $\nu$-ое состояние $D^*(s)$. Тогда, $\Omega_{\nu}(D^*(s))$ стремится к $\Omega_{\nu}(D)$, когда $s$ стремится к нулю. Можно считать, что $\Omega_{\nu}(D^*(s))$ – $\nu$-ая проекция сектора $\Omega(D^*(s))$, находящегося в пространстве-произведении размерности $\aleph_{1}$. Ещё один способ говорить про отображения $\Omega_{\nu}$: они суть – точки зрения на геометрические объекты. $\Omega_{\nu}$ – $\nu$-ая точка зрения. Если $R$ – точечное множество, то $\Omega_{\nu}(R)$ – то же множество, но рассматриваемое с $\nu$-ой точки зрения. $\Omega$ – некая предельная точка зрения на всё происходящее.

Сектор $D^*(s)$ есть объединение внутренностей дуг $C^*(r, s)$. Сектор $D$ – объединение внутренностей дуг $C(r)$, заданных уравнением $r = const$. При $r$, устремлённом к $1$, $C(r)$ устремляется к дуге $C$. Каждая дуга $C^*(r, s)$ пусть стремится к дуге $C(r) = C^*(r, 0)$, когда $s$ устремлён к $0$. Мало того, изначально, $C^*(r, s)$ есть ортогональная проекция дуги $C(r)$ на плоскость, в которой расположен $D^*(s)$. Таким образом, можно считать, что некая «подвижная дуга» $C^*(r)$, принимающая положения $C(r. s)$, стремится к дуге $C(r)$ с изменением $s$. Все растяжения-сжатия сектора $D^*(s)$, описанные выше или те, что будут описаны, производим только вдоль дуг $C^*(r)$, не меняя их положения, т.е. при каждом $s$, при любом рассматриваемом растяжении или сжатии, при любой рассматриваемой деформации, сужение этой деформации на дугу $C^*(r, s)$ есть автоморфизм – непрерывная биекция $C^*(r, s)$ на себя. В частности, $\Omega_{\nu}(C^*(r, s)) = C^*(r, s)$ при любом $\nu$.

Отношение порядка между точками одной дуги сектора $D$, заданной уравнением $r = cost$, т.е. отношение «точка $P$ левее точки $Q$», «$P$ правее $Q$», т.е. $Q < P$ на такой дуге, отношение порядка между линиями $<<$, считаем сохраняющимся при отмеченных отображениях, в отмеченных проекциях – при различных точках зрения. Для предельной точки зрения они так же считаются выполненными, если верны для всех проекций, или для всех достаточно больших по индексу $\nu$ точек зрения. Это же касается и сектора $D^*$: Эти же отношения «левее», «правее» между точками, и отношение $<<$ порядка между линиями сектора $D$, считаем переносятся ортогональной проекцией на сектор $D^*$.

Что же мы наблюдаем, рассматривая все эти проекции, или опыты? В $\nu$-ом опыте, с $\nu$-ой точки зрения линии последовательностей $\hat U$ и $\hat V$ заканчиваются на границе сектора в разных геометрических точках, если различны линии с индексом $< \nu$. Точнее: Если $u << u’ << v’ << v$, $u, u’ \in \hat U$, $v, v’ \in \hat V$, то $\Omega_{\nu}(u) << \Omega_{\nu}(u’) << \Omega_{\nu}(v’) << \Omega_{\nu}(v)$, и если номера линий меньше $\nu$, то концы этих линий располагаются в точках $U < U’ < B < V’ < V$, соответственно на дуге $C$, где $B$ – некоторая фиксированная точка.

Что происходит с сектором $D^*$ с такой точки зрения? На секторе расположены и «движутся» по нему, с переменой высоты $s$, некоторые «материальные линии», образующие множества $\hat U^*$ и $\hat V^*$. Термин «материальные линии» – способ говорить. Линии этих множеств суть – функции от аргумента $t$, $s = s(t)$, $t$ стремится к 1, когда $s$ устремляется к 0, а значения функций – точечные множества – геометрические линии, которые являются частными положениями движущихся материальных линий. Т.е. если $w^*$ – такая функция, то $w^*(s(t))$ есть положение линии $w^*$ в момент $t$. «Движение» линий трактуется как зависимость от действительного числа $t$, которое отождествляется в данном пояснении со «временем». Линия множества $\hat U^*$ устремляется к линии множества $\hat U$, линия $\hat V^*$ – к линии множества $\hat V$ – с $\nu$-ой точки зрения. Точнее: Если $u^* \in \hat U^*$, то $\Omega_{\nu}(u^*(s(t)))$ устремляется к линии $\Omega_{\nu}(u)$, где $u \in \hat U$. Каждой линии из множества $\hat U$ соответствует линия из множества $\hat U^*$, сходящаяся к первой с любой точки зрения. Аналогично для множеств $\hat V$ и $\hat V^*$.

В секторе $D^*$ раз и навсегда определяется область $E^*$, стремящаяся к точке $B$ с любой точки зрения. Т.е. функция $E^*$ такова, что точечное множество $\Omega_{\nu}(E^*(s(t)))$ устремляется к $B$, каков бы ни был $\nu$.

Почему мы можем определить такую область и такие линии? Если линий, взятых из множеств $\hat U^*$ и $\hat V^*$, конечное число, то все указанные отображения, как и область $E^*$ легко определимы. Предположим, что уже определено не более чем счётное множество линий из множеств $\hat U^*$ и $\hat V^*$ и определены точки зрения $\Omega_{\mu}$ при всех $\mu < \nu$. И с каждой такой точки зрения с номером $\mu < \nu$, линии с номерами $ < \mu$ из множеств $\hat U^*$ и $\hat V^*$ стремились к соответствующим линиям множеств $\hat U$ и $\hat V$, и область $E^*$ стремилась к точке $B$. Тогда, отображение $\Omega_{\nu}$ сначала полностью определяем в секторе $D$, так как уже описано, поскольку множества $\hat U$ и $\hat V$ известны заранее. Остаётся доопределить отображение в остальном пространстве. Для этого, пересчитаем все построенные линии множества $\hat W^* = \hat U^* \cup \hat V^*$ натуральными числами. Зададим монотонно убывающую к $0$ последовательность положительных чисел $\epsilon_{n}$. Пересчёт этот, конечно, будет зависеть от $\nu$. В силу предположения индукции по $\mu$, каково бы ни было конечное множество линий в указанном натуральном пересчёте, количеством равным n, для всех достаточно больших $t < 1$ все линии такого конечного множества не пересекаются с областью $E^*(s(t))$ и расположены на расстоянии $< \epsilon_{n}$ от своих пределов – с некоторой $\mu$-ой точки зрения, $\mu < \nu$. Поэтому, пользуясь тем, что мы можем по своему усмотрению выставлять состояние $\Omega_{\nu}(D^*(s))$, растягивая или сжимая сектор $D^*(s)$ так, как нам необходимо, выставим положение $\Omega_{\nu}(D^*(s(t)))$ для всех достаточно больших $t$ таким, что все $n$ линий будут располагаться на расстоянии $< \epsilon_{n}$ от своих уже заранее определённых пределов, и расстояние от области $\Omega_{\nu}(E^*(s(t)))$ точки $B$ будет так же меньше $< \epsilon_{n}$. Увеличивая $n$ в индукции по натуральному параметру и уменьшая расстояние между движущимися и предельными точечными множествами с ростом времени $t$, добиваемся полного определения $\Omega_{\nu}$, т.е. точно задаём положения секторов $\Omega_{\nu}(D^*(s(t)))$ для всех моментов $t$ и, следовательно, для всех $n$. После чего, берём произвольные материальные линии $u^* \in \hat U^*$ и $v^* \in \hat V^*$, которым на этом шаге приписывается номер $\nu$ в трансфинитном пересчёте, производимом в множествах линий, и устремляем взятые линии к линиям из множеств $\hat U$ и $\hat V$, заранее имеющим номер $\nu$. В итоге, множества $\hat U^*$, $\hat V^*$ и отображения $\Omega_{\nu}$ оказываются определёнными по трансфинитной индукции.

Пространство, подвергаемое отображениям $\Omega_{\nu}$ обозначим здесь $\Pi$. Тогда $\Omega_{\nu}(\Pi)$ – частные точки зрения на пространство $\Omega(\Pi)$ – частные проекции трехмерного пространства $\Omega(\Pi)$, самого находящегося в пространстве-произведении размерности $\aleph_{1}$.

Линии $\in$ $\hat U^*$, $\hat V^*$ при изменении $s$ заметают вполне определённые поверхности, однозначно определяющие окрестности точек, являющихся концами соседних линий. Поэтому, если точечная последовательность $p^*$ сходится к некоторой геометрической точке пространства $\Omega(\Pi)$, отличной от $B$ c $\nu$-ой точки зрения – в проекции на $\Omega_{\nu}(\Pi)$, то эта же последовательность сходится к этой же точке и в проекции на $\Omega_{\nu’}(\Pi)$ когда $\nu’ > \nu$. Это свойство можно взять за определение точки, к которой стремится последовательность. Иными словами, переход от пространства $\Omega_{\nu}(\Pi)$ к пространству $\Omega_{\nu’}(\Pi)$ всюду непрерывен, кроме точки $B$.

Продолжение доказательства в следующем посте:

[INT]

II

«Потоком» назовём любое множество «частиц», движение во времени которых непрерывно. «Частицу» отождествим с непрерывной функцией от аргумента $t$, значения которой содержатся в множестве геометрических точек. Если $P^*$ – частица, то $P^*(t)$ трактуется как положение частицы в момент $t$. Поток считается «связанным с точкой $Q$», если все элементы потока стремятся к точке $Q$ при $t$ устремлённом к 1. «Полным потоком, связанным с точкой $Q$» на поверхности $\Sigma$ назовём множество всех частиц, устремлённых к точке $Q$ так, что в каждый момент свои положения частицы занимают на поверхности $\Sigma$. Поверхность $\Sigma$ может быть как «покоящейся», так и «движущейся».

Рассматриваем геометрические точки в пространстве $\Omega(\Pi)$, в которых заканчиваются линии множеств $\hat U$, $\hat V$ – с предельной точки зрения $\Omega$. Для каждой такой геометрической точки $W$, в которой заканчивается линия $\Omega(w)$, $w^* \in \hat U^* \cup \hat V^*$, берём полный поток, движущийся по $\Omega(D^*)$, связанный с $W$. Таким образом, все частицы потока устремятся к $W$ к финальному моменту времени $t = 1$. В том числе, это касается всех частиц, которые двигались к точке $W$ по линии $\Omega(w^*)$.

Для некоторого наблюдателя, движущегося вместе с сектором $D^*$, этот сектор может рассматриваться как «неподвижный». Тогда, частицы потоков «прочерчивают» по «неподвижному сектору» – с точки зрения указанного наблюдателя – некоторые «неподвижные линии», и поток, связанный с геометрической точкой $W$, прочерчивает линии, заканчивающиеся в $W$. Если $W \neq W’$, то потоки, связанные с точками $W$ и $W’$ прочерчивают разные линии.

Точнее: всё это так, при некотором непрерывном и взаимно однозначном отображении $F$ сектора $\Omega(D^*)$ на «заведомо неподвижный» плоский сектор. Ещё точнее, в расшифровке канонической теории, с точки зрения $\aleph_{1}$ проекций: Берём отображения $F_{\nu}$, $\nu < \omega_{1}$, зависящие от времени $t$, которые так же есть своеобразные «точки зрения». Сектор $F_{\nu}(\Omega_{\nu}(D^*))$ представляем в таком виде, что указанные потоки (рассматриваемые с соответствующей точки зрения) прочерчивают соответствующие неподвижные линии. Если частица $P^*$ с $\nu$-ой точки зрения прочерчивает некую линию $p_{\nu}$, т.е. состоящую из геометрических точек $F_{\nu}(\Omega_{\nu}(P^*(t)))$. То та же частица, с другой $\mu$-ой точки зрения по геометрическим местам $F_{\mu}(\Omega_{\mu}(P^*(t)))$ прочерчивает линию $p_{\mu}$. И мы считаем, что $p_{\nu}$ и $p_{\mu}$ – проекции одной и той же неподвижной линии $p$ из сектора $F(\Omega(D^*))$. Можно так же считать, что $p_{\nu}$ и $p_{\mu}$ – одна и та же линия, но в разных состояниях. Сектор $F_{\nu}(\Omega_{\nu}(D^*))$ трактуем как $\nu$-ую проекцию сектора $F(\Omega(D^*))$. Мы так же считаем, что если частица $S^*$ в потоке устремляется к точке $W$ по $\Omega(D^*)$, то частица $F(S^*)$ устремляется к точке, именуемой так же $W$ в секторе $F(\Omega(D^*))$. В итоге, по определению $F$: если $W \neq W’$ в пространстве $\Omega(\Pi)$, то потоки, связанные с точками $W$ и $W’$ прочерчивают разные линии в $F(\Omega(D^*))$, и $W \neq W’$ в $F(\Omega(D^*))$.

Смотрим, что же будет с линией $w^*$, о которой говорилось выше. Она – в состоянии $F(\Omega(w^*))$ – к финальному моменту времени должна совпасть с линией $F(\Omega(w))$, которая заканчивается в точке $W$. Если бы это было бы не так, то нашлась хотя бы одна частица $S^* = F(P^*)$, движущаяся по линии $F(\Omega(w^*))$ так, что $S^*$ устремилась бы не к точке $W$. Но тогда, в силу определения отображения $F$, частица $P^*$ двигаясь по линии $\Omega(w^*)$ так же оказалась бы не в точке $W$, вопреки определению линии $\Omega(w^*)$, которая должна стремиться к линии $\Omega(w)$, заканчивающейся в $W$.

Возможно ещё, что $F(\Omega(w^*))$ стремится лишь к точечному множеству, «заканчивающемуся в точке $W$» – к такому точечному множеству, которое не содержит последовательность, не стремящуюся к точке $W$, если элементы последовательности неограниченно приближаются к дуге, на которой и расположены концы всех линий. Такое точечное множество может оказаться не линией. Однако, некоторой тривиальной корректировкой отображений $F_{\nu}$ легко добиться того, что отмеченное точечное множество будет именно линией.

Область $E^*$ по определению такова, что каковы бы ни были линии $u^* \in \hat U^*$ и $v^* \in \hat V^*$, для всех достаточно больших $t < 1$ область $E^*$ будет располагаться правее $u^*$ и левее $v^*$. Это означает, что некоторая частица из области $F(\Omega(E^*))$ прочерчивает по сектору $F(\Omega(D^*))$ непрерывную линию $b$, которая заканчивается в точке $B$. Следовательно, $F(\Omega(u)) << b << F(\Omega(v))$. Ясно, что $b$ – искомая линия. Точнее, среди линий, которые суть прообразы неподвижных линий из $F(\Omega(D^*))$ найдётся некий прообраз $k$ для линии $b$ так, что окажется $u << k << v$ при любых $u \in \hat U$ и $v \in \hat V$. Ч.т.д.

Благодарю за деловое обсуждение первой части работы и сделанные замечания особенно Someone и rishelie. Надеюсь на такой же отклик и на этот раз.

[Инт]

Someone утверждает, что вывод отрицания континуум-гипотезы опирается на утверждение об изоморфизме между $HQ$ и $B$, доказательство которого я не привожу. Если это единственное препятствие на пути понимания моего доказательства, то я очень рад. Странно только то, что Someone разобрался с более сложными конструкциями, а эту простую одолеть не смог. Хотя существование изоморфизма действительно тривиально, придётся дать доказательство по этому поводу.

Замечу, что для заключения о мощности континуума вовсе не обязательно пользоваться указанным изоморфизмом. Хотя, описание изоморфизма и делает ситуацию яснее. Множество $HQ$ можно определить как подмножество $HC$, обладающее свойствами I и II. Нетрудно доказать, используя эти свойства, канторовым методом вложенных отрезков, что множество сечений в множестве $HQ$ имеет мощность $2^{\aleph_1}$. По одной из аксиом, для каждого сечения в множестве $HQ$ существует линия в секторе $D$, «соответствующая сечению». Отсюда следует, что $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1}$. Поскольку ещё, выше предъявлено доказательство существования линии, «заканчивающейся в сечении на гиперпрямой», то заключение о мощности континуума становится теоремой теории множеств, вне зависимости от чьих-либо дум.

Итак, строим изоморфизм между множеством $B$, называемым «базой» и некоторым подмножеством множества $HC = H$. Это подмножество обозначается теперь $G = HQ$.

Напомню:

Свойство I. Любое не пустое и не более чем счётное множество точек базы $B$ ограничено слева и справа точками базы, не принадлежащими этому не более чем счётному множеству.

Свойство II. Пусть $L$ и $M$ – не пустые не более чем счётные множества, составленные из точек базы $B$ так, что все элементы $L$ меньше всех элементов $M$. Тогда, найдётся $q \in B$ который расположен строго между множествами $L$ и $M$, т.е. любой элемент из $L$ будет $< q$, а любой элемент из $M > q$.

Напомню так же, что для множества $H$ свойства I и II так же установлены, т.е. если заменить в указанных свойствах $B$ на $H$, а отношение $<$ на $<<$.

Возьмём произвольный $x \in B$. Поставим ему в соответствие произвольный $y \in H$, т.е. $y = f(x)$. Пользуясь свойством I счётное количество раз, один за другим выбираем элементы $x(n)$ и $y(n) = f(x(n))$ так, что $x(0) = x$, $y(0) = y$, $n$ – целое число, $x(n) < x(m)$, $y(n) << y(m)$, если $n < m$. Затем, пересчитываем все двоично-рациональные числа, и одно за другим, пользуясь свойствами I и II, находим элементы $x(q)$ и $y(q) = f(x(q))$, где $q$ – двоично-рациональное число, такие, что если $q < p$, то $x(q) < x(p)$ и $y(q) << y(p)$.

Пользуясь свойством I, найдём элементы $x(+\omega)$, $x(-\omega)$, $y(+\omega)$ и $y(-\omega)$ такие, что для каждого $U$, взятого с предыдущих шагов, будет верно: $x(-\omega) < x(U) < x(+\omega)$ и $y(-\omega) << y(U) << y(+\omega)$. Полагаем: $y(+\omega) = f(x(+\omega))$, $y(-\omega) = f(x(-\omega))$. Далее, пользуясь этим же свойством, находим один за другим, за трансфинитное количество шагов элементы $x(+\nu)$, $x(-\nu)$, $y(+\nu)$ и $y(-\nu)$, где $\nu$ пробегает все ординалы $< \omega_1$. При этом, окажется: $x(-\nu) < x(-\mu) < x(+\mu) < x(+\nu)$ и $y(-\nu) << y(-\mu) << y(+\mu) << y(+\nu)$, если $\mu < \nu$. Полагаем $y(+\nu) = f(x(+\nu))$, $y(-\nu) = f(x(-\nu))$.

Далее определяем изоморфизм $f$ на открытом интервале $J$ между $x(0)$ и $x(1)$. На остальных интервалах, изоморфизм определяется аналогично.

«Длиной» элемента $x \in B$ назовём минимальный предельный ординал, больший, чем минимальный ординал $\mu$ такой, что для всех $\nu > \mu$ $\delta(\nu) = 0$, где $\delta(\nu)$ есть нуль или единица на $\nu$-ом месте в двоичной трансфинитной записи «числа» $x$. Если ординал «дважды предельный», т.е. является пределом для последовательности предельных ординалов, то он не может быть длиной никакого элемента из $B$.

Продолжим двоичную запись двоично-рационального числа как трансфинитную двоичную запись, приписывая к записям чисел несчётное количество нулей. Тогда же, считаем, что двоично-рациональное $q \in J$ и есть такая несчётная запись. И тогда же считаем, по определению, что $x(q) = q$, т.е. элементы из $B$ выбираем в такой трактовке. В итоге, на первом шаге, изоморфизм $f$ построен между всеми элементами множества $B$ (на интервале $J$), имеющими длину $\omega$.

В предположении индукции, пусть уже построен изоморфизм между множеством всех элементов множества $B$, на интервале $J$ имеющих длину $\leqslant \lambda$, составляющим множество $B_{\lambda}$, и некоторым подмножеством $G_{\lambda}$ множества $H$. При том что $\lambda$ – «единожды предельный ординал», т.е. он не является пределом для возрастающей последовательности предельных ординалов. Или, пусть изоморфизм построен для всех элементов из $B$, составляющих множество $B_{\lambda}$, имеющих длину $< \lambda$, если $\lambda$ – «дважды предельный». В этом же предположении, пусть, невозможно составить из элементов, для которых построен изоморфизм, на интервале $J$ строго возрастающую или строго убывающую последовательность мощности $\aleph_1$.

Тогда все поставленные в соответствие элементы $x \in B_{\lambda}\cap J$ имеют вид:

$$X = 0,\delta(1)\delta(2)\delta(3)… \delta(\omega)\delta(\omega + 1)… \delta(\mu)000…\delta(\lambda)000…$$

, где $\delta(\mu) = 1$ и для всех $\nu > \mu$ верно $\delta(\nu) = 0$. $\mu$ и $\delta(\nu)$, $\nu = 1, 2, 3, …, \omega,…$, конечно же, зависит от $X$.

Этот элемент имеет ещё и вторую запись:

$$X = X’ = 0,\delta’(1)\delta’(2)\delta’(3)… \delta’(\omega)\delta’(\omega + 1)… \delta’(\mu)111…\delta’(\lambda)111…$$

, где при $\nu < \mu$ $\delta’(\nu) = \delta(\nu)$, $\delta’(\mu) = 0$, и при $\nu > \mu$: $\delta’(\nu) = 1$.

Пусть,

$$X(n) = 0,\delta(1, n)\delta(2, n)\delta(3, n)… \delta(\omega, n)\delta(\omega + 1, n)… \delta(\mu(n), n)000…\delta(\lambda)000… \in B_{\lambda}$$

– элементы натуральной последовательности, т.е. нумеруемые натуральными числами $n$. Пусть

$$Y(n) = 0,\delta’(1, n)\delta’(2, n)\delta’(3, n)… \delta’(\omega, n)\delta’(\omega + 1, n)… \delta’(\mu’(n), n)111…\delta’(\lambda)111… \in B_{\lambda}$$

– элементы другой натуральной последовательности. Пусть для каждого $n$ верно $Y(n) < Y(n+1) < X(n+1) < X(n)$. Последовательности берём такими, что между ними расположен либо один элемент $X$ из множества $B_{\lambda}$, либо ни одного элемента из этого множества.

Пусть первое. Между элементом $X$ и последовательностью $\{Y(n)\}$ располагаются все элементы вида

$$U = 0,\delta’(1)\delta’(2)\delta’(3)…\delta’(\omega)\delta’(\omega + 1)…\delta’(\mu)111…\delta’(\lambda)\delta’(\lambda+1)\delta’(\lambda+2)…\delta’(\lambda+\omega)111… \in B$$

. Где: при $\nu \leqslant \mu$ в записи $U$ значение $\delta’(\nu)$ то же, что и в записи элемента $X$; при $\nu > \mu$, $\nu < \lambda$ $\delta’(\nu) = 1$; на интервале $\lambda \leqslant \nu < \lambda + \omega$ встречается конечное, но не нулевое, количество значений $\delta’(\nu)$ равное $0$; $\delta’(\nu) = 1$, если $\nu \geqslant \lambda + \omega$. Добавляем все эти элементы $U$ для составления множества $B_{\lambda + \omega}$. Ясно, что $\lambda + \omega$ следующий предельный ординал.

Аналогично, между элементом $X$ и последовательностью $\{X(n)\}$ расположены все элементы вида

$$V = 0,\delta(1)\delta(2)\delta(3)…\delta(\omega)\delta(\omega + 1)…\delta(\mu)000…\delta(\lambda)\delta(\lambda +1)\delta(\lambda +2)…\delta(\lambda + \omega)000… \in B$$

. Где: при $\nu \leqslant \mu$ в записи $V$ значение $\delta(\nu)$ то же, что и в записи $X$; при $\nu > \mu$ и $\nu < \lambda$ $\delta(\nu) = 0$; на интервале $\lambda \leqslant \nu < \lambda + \omega$ встречается конечное, но не нулевое, количество значений $\delta(\nu)$ равное $1$; $\delta(\nu) = 0$, если $\nu \geqslant \lambda + \omega$. Добавляем все эти $V$ в составляемое множество $B_{\lambda + \omega}$.

Пусть второе, т.е. между последовательностями $\{Y(n)\}$ и $\{X(n)\}$ нет никакого элемента $\in B$, для которого изоморфизм уже определён. Тогда, существует единственная двоичная последовательность

$$Z = 0,\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3)… \sigma(\omega)\sigma(\omega+1)… \sigma(\lambda)\sigma(\lambda+1)…$$

такая, что для каждого $\nu < \lambda$, для всех достаточно больших номеров $n$, зависящих от $\nu$, $\sigma(\nu) = \delta(\nu, n) = \delta’(\nu, n)$, и для всех $\nu \geqslant \lambda$ $\sigma(\nu) = 0$. Из этой последовательности делаем элементы для множества $B_{\lambda + \omega}$ следующим образом: Каждый такой элемент

$$W = 0,\alpha(1)\alpha(2)\alpha(3)… \alpha(\omega)\alpha(\omega+1)… \alpha(\lambda)\alpha(\lambda+1)… \alpha(\lambda+\omega)…$$

таков что: среди значений $\alpha(\nu)$ на интервале $\lambda \leqslant \nu < \lambda+\omega$ встречается только конечное количество единиц или только конечное количество нулей; если же $\nu < \lambda$, то $\alpha(\nu) = \sigma(\nu)$. Т.е. $W \in B$. И все такие $W$ добавляем в множество $B_{\lambda + \omega}$.

В качестве особого случая, рассматриваем ситуацию, когда $Y(n) < Y(n+1) < X = x(1)$ или когда $x(0) = X < X(n+1) < X(n)$. Тогда, одной из последовательностей не требуется, и мы можем считать её пустой.

Полное множество $B_{\lambda + \omega}$ составляем из всех элементов, добавленных от всевозможных пар последовательностей $\{Y(n)\}$ и $\{X(n)\}$, таких последовательностей, которые составлены из элементов множества $B_{\lambda}$, построенных на предыдущих шагах.

Если построены все множества $B_{\nu}$ при $\nu < \lambda$, когда $\lambda$ дважды предельный, то $B_{\lambda}$ берём как объединение всех $G_{\nu}$ при $\nu < \lambda$. Множество $B_{\lambda }$ содержит все элементы длины $\leqslant \lambda$. Таким образом, в построении изоморфизма, в конечном итоге будут использованы все возможные длины, т.е. объединение всех $B_{\lambda}$, когда $\lambda$ пробегает все ординалы $< \omega_1$, есть в точности множество $B$.

По предположению индукции в множестве $B_{\lambda}$ невозможно построить никакой несчётной строго убывающей или строго возрастающей последовательности. Следовательно, все такие последовательности либо счётны, либо конечны. Если $\{x_n\}$ – последовательность такая, что $x_n \in B_{\lambda}$, то она порождает последовательность $\{f(x_n)\}$ среди элементов множества $G_{\lambda }$. Поэтому, в множестве $G_{\lambda }$ можно строить только счётные или конечные строго убывающие или растущие последовательности. Пусть $\{Y(n)\}$ и $\{X(n)\}$ - не более чем счётные последовательности, составленные из элементов $\in B_{\lambda}$ такие, что между этими последовательностями расположены только элементы множества $B_{\lambda + \omega}$, не являющиеся элементами из $B_{\lambda}$. Тогда, по свойству II между последовательностями $\{f(Y(n))\}$ и $\{f(X(n))\}$ существуют такие элементы множества $G$ в счётном количестве, которые ставим в соответствие всем элементам множества $B_{\lambda + \omega}$, расположенным между $\{Y(n)\}$ и $\{X(n)\}$. Взятые из $G$ элементы, расположенные в отношении $<<$ между последовательностями $\{f(Y(n))\}$ и $\{f(X(n))\}$ добавляем в множество $G_{\lambda + \omega}$. Таким образом, по индукции, выстраиваем весь изоморфизм $f$.Ч. т.д.

Замечу, что доказательство по существу сводится к весьма простому поточечному выстраиванию изоморфизма. Необходимо только следить за тем, чтобы были перебраны все элементы множества $B$.

[PAV]

Тема временно перемещена в карантин, чтобы автор мог внести правку в свои посты.

[PAV]

Возвращено. Извиняюсь за задержку.

[Инт]

Обдумывая своё же доказательство http://dxdy.ru/post317095.html#p317095, касающееся вывода аксиом как теорем канонической теории, всё же нашёл, где у меня используется недоказанное утверждение. Таким образом, континуум-проблема остаётся решённой пока с точностью до аксиом. Эти аксиомы хотя и весьма ясны и достаточно конструктивны для того, чтобы увидеть полное решение, всё же несут некоторую степень неконструктивности в плане алгебраического выражения геометрических объектов. Эта последняя неудача, возможно послужит кого-то стимулом для поиска полного выражения аксиом или нахождения своего оригинального решения.

[Инт]

Похоже, ложная паника. Нашёл, как просто преодолеть возникшее затруднение. В доказательство необходимо добавить лишь некоторое разъяснение. Но, что касается "популярного доказательства" здесь на форуме, то можно оставить его без изменений.

[Someone]

Инт в сообщении #317095 писал(а):

С определением порядка на линиях, и с тем, что из предложенных аксиом вытекает отрицание континуум-гипотезы, считаю, разобрались.

Не разобрались. Отрицание континуум-гипотезы Вы собирались вывести из аксиом ZFC, а не из Ваших дополнительных аксиом. С дополнительными аксиомами проблемы нет: просто добавим к ZFC аксиому $2^{\aleph_0}>\aleph_1$. Её совместимость с ZFC общеизвестна.

Инт в сообщении #317095 писал(а):

Доведём до конца доказательство существования линии, соответствующей трансфинитному сечению в множестве линий $HC$.

Утверждение о существовании такой линии, вообще говоря, неверно, и никакие уточнения Ваших рассуждений, не использующие дополнительных аксиом (сверх стандартной ZFC), проблему не решат. Я не зря просил Вас привести строго формальное построение (формализацию нужно довести до такого уровня, чтобы каждому специалисту было ясно, как здесь используются аксиомы ZFC или хорошо известные утверждения, доказанные в ZFC). Вы же опять предлагаете какие-то наглядные иллюстрации.

Инт в сообщении #317095 писал(а):

Необходимо построить линию $k$ такую, что $\alpha << k << \beta$ при любых $\alpha \in \hat U$ и $\beta \in \hat V$. Тем самым аксиома будет доказана средствами канонической теории множеств.

Построенная линия совсем не обязательно будет иметь единственную предельную точку на граничной дуге, полученной после всех Ваших "интуиционистских деформаций", или как Вы их там называете (подзабыл уже). А Вы хотите получить взаимно однозначное соответствие между линиями и точками граничной дуги.

[Инт]

Someone в сообщении #329048 писал(а):

Инт в сообщении #317095 писал(а):

С определением порядка на линиях, и с тем, что из предложенных аксиом вытекает отрицание континуум-гипотезы, считаю, разобрались.

Не разобрались. Отрицание континуум-гипотезы Вы собирались вывести из аксиом ZFC, а не из Ваших дополнительных аксиом. С дополнительными аксиомами проблемы нет: просто добавим к ZFC аксиому $2^{\aleph_0}>\aleph_1$. Её совместимость с ZFC общеизвестна.

Разобрались со следующим: безотносительно того, выводимы или нет мои аксиомы из ZFC, из них вытекает отрицание континуум-гипотезы. Равенство, о которм Вы упомянули, некоструктивно, если его принять в качестве аксиомы. В то же время оно вытекает из моих аксиом (но врядли им эквивалентно). В то же время, мои аксиомы, пусть и чисто геометрически, но расшифровывают с чем связана мощность континуума. Понятием "очевидность" можно злоупотреблять. Но в то же время, все рабочие аксиомы математики приняты на основании мотива очевидности. И никакая аксиома не будет принята без этого мотива, не смотря на коэновские спекуляции на трудностях задачи. Иными словами, очевидность, как физическая ясность в понимании математической ситуации существует, и не может быть относительной. С этой точки зрения мои аксиомы очевидны. Формализация, которую Вы требуете, это всего лишь выражение моих аксиом на языке ZF. Но такая формализация тривиальна. Например, точки на прямой можно отождествить с двоичными последовательностями, интуициоинистские деформации - можно интерпретировать как отображения в бесконечномерное пространство. Другое дело, что от меня требуется вывести мои аксиомы (точнее одну) из аксиом ZFC. Раз Вы ответили, думаю, что приведу ещё одно совсем ясное доказательство по этому поводу. Согласен, что иногда тяжело формулирую некоторые детали (но только не первую часть моей работы, где аксиомы и выводы из них сделаны, кажется, чётко и коротко).

Someone в сообщении #329048 писал(а):

Утверждение о существовании такой линии, вообще говоря, неверно, и никакие уточнения Ваших рассуждений, не использующие дополнительных аксиом (сверх стандартной ZFC), проблему не решат. Я не зря просил Вас привести строго формальное построение (формализацию нужно довести до такого уровня, чтобы каждому специалисту было ясно, как здесь используются аксиомы ZFC или хорошо известные утверждения, доказанные в ZFC). Вы же опять предлагаете какие-то наглядные иллюстрации.

"Вообще говоря" не считается. Нужны точные аргументы против. Никакой наглядности не предлагаю, она используется лишь для пояснения. С остальной критикой, касающейся ясного выражения доказательств, согласен.

Someone в сообщении #329048 писал(а):

Инт в сообщении #317095 писал(а):

Необходимо построить линию $k$ такую, что $\alpha << k << \beta$ при любых $\alpha \in \hat U$ и $\beta \in \hat V$. Тем самым аксиома будет доказана средствами канонической теории множеств.

Построенная линия совсем не обязательно будет иметь единственную предельную точку на граничной дуге, полученной после всех Ваших "интуиционистских деформаций",

Линии, которые имеют не одну предельную точку также существуют. Это не влияет на окончательный вывод.

Доказательство для специалистов, с теми требованиями, которые Вы предъявили почти подготовил. Собственно сам знал, что такое надо и предъявить в конечном итоге.

[Someone]

Инт в сообщении #329402 писал(а):

Разобрались со следующим: безотносительно того, выводимы или нет мои аксиомы из ZFC, из них вытекает отрицание континуум-гипотезы.

Не разобрались, потому что рассуждения Ваши совершенно невнятны.

Инт в сообщении #329402 писал(а):

Равенство, о которм Вы упомянули, некоструктивно, если его принять в качестве аксиомы. В то же время оно вытекает из моих аксиом (но врядли им эквивалентно).

Я никакого равенства не упоминал. Что касается неконструктивности неравенства, то, если Вы правы и из Ваших "аксиом" данное неравенство следует, то Ваши "аксиомы" нисколько не менее неконструктивны. В противном случае это неравенство также было бы конструктивным.

Инт в сообщении #329402 писал(а):

Но в то же время, все рабочие аксиомы математики приняты на основании мотива очевидности.

Аксиомы ZFC всего лишь формализуют общепринятые в математике методы рассуждений, существующие гораздо дольше, чем ZFC.

Инт в сообщении #329402 писал(а):

"Вообще говоря" не считается.

Слова "вообще говоря" в моём тексте означают, что, в зависимости от того, каким образом и какая граница "приклеена" к сектору, в одних случаях можно найти линию внутри сектора, "стремящуюся" к заданной точке границы, а в других случаях - нельзя. Вы не доказали, что в Вашем случае можно. Я ничего не утверждаю относительно того, можно или нельзя, Вы утверждаете, что можно. Поэтому мне обосновывать нечего, Вам же нужно обосновать Ваше утверждение.

Инт в сообщении #329402 писал(а):

Линии, которые имеют не одну предельную точку также существуют. Это не влияет на окончательный вывод.

Вы не обосновали, что для "построенной" Вами линии предельная точка будет единственной. На самом деле и построения линии у Вас нет, есть только некие наглядные образы, которые вряд ли удастся формализовать.

[Инт]

Напомню:

Someone в сообщении #233215 писал(а):

INT в сообщении #218474 писал(а):

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Из этой аксиомы, если её добавить к ZFC, действительно следует отрицание континуум-гипотезы.

Значит, всё же что-то написано мною внятно и в чём-то Вы разобрались. Ваш же тезис о "невнятности" неконструктивен. Уточните, конкретный вопрос, который надо пояснить из предыдущего обсуждения. Вопрос о линии $k$ я готовлю, и он, считаем, относится уже к новому обсуждению, т.е. к вопросу о выразимости моих аксиом через аксиомы ZFC. Согласны ли Вы хотя бы с тем, что все мои конструкции, определения и аксиомы можно описать на языке ZF?

[Someone]

Инт в сообщении #331774 писал(а):

Значит, всё же что-то написано мною внятно и в чём-то Вы разобрались.

Только выдавать эту аксиому за "полное решение континуум-проблемы" - это потешать публику. Полное решение уже известно: континуум-гипотеза независима от аксиом ZFC. Существуют как модели, в которых континуум-гипотеза справедлива, так и модели, в которых она ложна. А в непротиворечивости Вашей аксиомы Вы меня пока не убедили.

[Инт]

Вы не ответили на вопрос:

Инт в сообщении #331774 писал(а):

Согласны ли Вы хотя бы с тем, что все мои конструкции, определения и аксиомы можно описать на языке ZF?

Someone в сообщении #331894 писал(а):

Инт в сообщении #331774 писал(а):

Значит, всё же что-то написано мною внятно и в чём-то Вы разобрались.

Только выдавать эту аксиому за "полное решение континуум-проблемы" - это потешать публику. Полное решение уже известно: континуум-гипотеза независима от аксиом ZFC. Существуют как модели, в которых континуум-гипотеза справедлива, так и модели, в которых она ложна. А в непротиворечивости Вашей аксиомы Вы меня пока не убедили.

Употребление таких выражений как "потешать публику" означает, что реальных аргументов "против" у Вас нет. О непротиворечивости моих аксиом я пока вообще не говорю, уточняя, что же Вам непонятно конкретно. Непротиворечивость в том спекулятивном смысле, в котором Вы понимаете "решение", и в котором понимают его последователи Коэна и пр., я вообще не собираюсь доказывать. Кроме того, все упомянутые Вами модели - ложны. Я надеюсь разобрать с Вами (если конечно будут преодолены препятствия ненаучного плана) больше чем непротиворечивость моей аксиомы, а именно её доказательство как теоремы в канонической теории. И хотел бы критики уже деталей такого доказательства. Могли бы Вы ответить хотя бы на заданный мною вопрос, о выразимости определений в языке ZF?