2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение15.09.2006, 13:03 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Представляю на суд еще одно решение: пусть $M=\max f(x),\ m=\min f(x),\ M>m.$
Докажем, что $\exists\ q\in(m,M):A_q=\{x|f(x)=q\}$ дискретно, т.е. не содержит никакого интервала. Действительно, $[a,b]=\bigcup\limits_q A_q$, и так как при разных $q$ $A_q$ не пересекаются, то интервалы может содержать не более счетного числа множеств $A_q$. Далее, наше дискретное множество $A_q$ разбивается на 2 непересекающихся подмножества $A_q^{-}, \ A_q^{+}$, первое из которых содержит локальные минимумы, второе - локальные максимумы. Докажем, что $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=0$. Если $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=\delta>0$, то возьмём такие $x_1\in A_q^{-}, \ x_2\in A_q^{+}: \ dist(x_1,\ x_2)=\delta$. Но тогда обязательно $\exists\ x_3\in(x_1,\ x_2):\ f(x_3)=q$, что противоречит минимальности $\delta$. Итак, расстояние между непересекающимися множествами $A_q^{-},\ A_q^{+}$ равно 0, поэтому хотя бы одно из них бесконечно, например $A_q^{-}$. Выберем такие последовательности точек $x_k^{+},\ x_k^{-}$, что $dist(x_k^{+},\ x_k^{-})<\frac {1}{2^k}$. Выберем в последовательности $x_k^{-}$ сходящуюся подпоследовательность $x_{n_k}^{-}$, тогда очевидно последовательность $x_{n_k}^{+}$ также сходится, и имеет тот же предел $x_0$. В силу непрерывности $x_0\in A_q$; $x_0$ является локальным экстремумом, в то же время в любой его окрестности существуют точки $x,\ y$ со свойствами $f(x)>f(x_0),\ f(y)<f(x_0)$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Юстас писал(а):
Докажем, что $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=0$.

А что будет, если одно из множеств $A_q^{-}$, $A_q^{+}$ пустое?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 13:56 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Это невозможно в силу непрерывности $f(x)$. Пусть последовательность $x_n$ такова, что $f(x_n)=q-\frac{1}{2^n}$. Выберем из нее сходящуюся подпоследовательность, она будет сходиться к точке $y_0:\ f(y_0)=q,\ y_0$ - локальный максимум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Юстас писал(а):
Действительно, $[a,b]=\bigcup\limits_q A_q$, и так как при разных $q$ $A_q$ не пересекаются, то интервалы может содержать не более счетного числа множеств $A_q$

Т.е. из всех интервалов хотя бы одно будет счетным ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Юстас писал(а):
Это невозможно в силу непрерывности...

Да, Вы правы. У меня больше нет замечаний к Вашему доказательству, мне оно нравится. Хотя есть моменты, над которыми пришлось поразмыслить, чтобы понять.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Genrih писал(а):
Т.е. из всех интервалов хотя бы одно будет счетным ?

Из всех $A_q$ хотя бы одно будет иметь меру 0 (т.е. не будет содержать открытых интервалов (x, y), y > x). На самом деле можно показать, что лишь не более чем счётное число $A_q$ будет иметь ненулевую меру.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 16:58 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Genrih писал(а):
Юстас писал(а):
Действительно, $[a,b]=\bigcup\limits_q A_q$, и так как при разных $q$ $A_q$ не пересекаются, то интервалы может содержать не более счетного числа множеств $A_q$

Т.е. из всех интервалов хотя бы одно будет счетным ?

Да, я выбрал не очень хороший порядок слов. Имелось ввиду, что не более чем счетное подмножество всех $A_q$ может содержать интервалы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 17:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
worm2 писал(а):
Да, Вы правы. У меня больше нет замечаний к Вашему доказательству, мне оно нравится. Хотя есть моменты, над которыми пришлось поразмыслить, чтобы понять.

У меня есть замечания, более того, считаю, что это ничего не доказывает. В качестве опровержения достаточно рассмотреть пример: $y=x^2(3+2cos\frac 1x ).$
Вблизи точек $x=\frac{1}{n\pi}$ максимум, если n чётное и минимум, если n нечётное. Они сгущаются в точке 0. При этом ясно, что в точке 0 минимум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 17:23 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Руст, в Вашем примере значения функции в точках $x_n=\frac {1}{\pi n}$ различны, в доказательстве же для любого $n\ f(x_n^{-})=f(x_n^{+})=f(x_0)=q$, поэтому предельная точка $x_0$ не может быть точкой экстремума.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 17:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да, я невнимательно читал.
Но я ещё не видел, почему одно из А+ или А- не может быть пустым.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Юстас писал(а):
Докажем, что $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=0$. Если $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=\delta>0$, то возьмём такие $x_1\in A_q^{-}, \ x_2\in A_q^{+}: \ dist(x_1,\ x_2)=\delta$. Но тогда обязательно $\exists\ x_3\in(x_1,\ x_2):\ f(x_3)=q$, что противоречит минимальности $\delta$

A множества у нас дискретные (счетные) и существование $x_3$, для меня, под сомнением пока.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 18:08 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Здесь всё нормально, если имеются две точки, принадлежащие множествам с разным знаком, то существует другая точка внутри интервала с тем же значением. Так как любая точка является точкой минимума или максимума, то эта точка принадлежит одному из множеств с + или с -. Соответственно, опять имеется такой интервал и т.д.
Но в случае, когда одно из них пустое, нельзя сделать такой вывод.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 18:58 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Как я уже писал, множества $A_q^{-}$ и $A_q^{+}$ непусты в силу непрерывности $f(x)$. Пусть последовательность $x_n$ такова, что $f(x_n)=q-\frac{1}{2^n}$. Выберем из нее сходящуюся подпоследовательность, она будет сходиться к точке $y_0:\ f(y_0)=q,\ y_0$ - локальный максимум. Аналогично и с минимумом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group