Представляю на суд еще одно решение: пусть
Докажем, что

дискретно, т.е. не содержит никакого интервала. Действительно,
![$[a,b]=\bigcup\limits_q A_q$ $[a,b]=\bigcup\limits_q A_q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/f/3ff46a67ce822927d96e6791e3867bf682.png)
, и так как при разных

не пересекаются, то интервалы может содержать не более счетного числа множеств

. Далее, наше дискретное множество

разбивается на 2 непересекающихся подмножества

, первое из которых содержит локальные минимумы, второе - локальные максимумы. Докажем, что

. Если

, то возьмём такие

. Но тогда обязательно

, что противоречит минимальности

. Итак, расстояние между непересекающимися множествами

равно 0, поэтому хотя бы одно из них бесконечно, например

. Выберем такие последовательности точек

, что

. Выберем в последовательности

сходящуюся подпоследовательность

, тогда очевидно последовательность

также сходится, и имеет тот же предел

. В силу непрерывности

;

является локальным экстремумом, в то же время в любой его окрестности существуют точки

со свойствами

. Противоречие.