Локальные экстремумы

[Юстас]

Представляю на суд еще одно решение: пусть $M=\max f(x),\ m=\min f(x),\ M>m.$
Докажем, что $\exists\ q\in(m,M):A_q=\{x|f(x)=q\}$ дискретно, т.е. не содержит никакого интервала. Действительно, $[a,b]=\bigcup\limits_q A_q$, и так как при разных $q$ $A_q$ не пересекаются, то интервалы может содержать не более счетного числа множеств $A_q$. Далее, наше дискретное множество $A_q$ разбивается на 2 непересекающихся подмножества $A_q^{-}, \ A_q^{+}$, первое из которых содержит локальные минимумы, второе - локальные максимумы. Докажем, что $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=0$. Если $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=\delta>0$, то возьмём такие $x_1\in A_q^{-}, \ x_2\in A_q^{+}: \ dist(x_1,\ x_2)=\delta$. Но тогда обязательно $\exists\ x_3\in(x_1,\ x_2):\ f(x_3)=q$, что противоречит минимальности $\delta$. Итак, расстояние между непересекающимися множествами $A_q^{-},\ A_q^{+}$ равно 0, поэтому хотя бы одно из них бесконечно, например $A_q^{-}$. Выберем такие последовательности точек $x_k^{+},\ x_k^{-}$, что $dist(x_k^{+},\ x_k^{-})<\frac {1}{2^k}$. Выберем в последовательности $x_k^{-}$ сходящуюся подпоследовательность $x_{n_k}^{-}$, тогда очевидно последовательность $x_{n_k}^{+}$ также сходится, и имеет тот же предел $x_0$. В силу непрерывности $x_0\in A_q$; $x_0$ является локальным экстремумом, в то же время в любой его окрестности существуют точки $x,\ y$ со свойствами $f(x)>f(x_0),\ f(y)<f(x_0)$. Противоречие.

[worm2]

Юстас писал(а):

Докажем, что $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=0$.

А что будет, если одно из множеств $A_q^{-}$, $A_q^{+}$ пустое?

[Юстас]

Это невозможно в силу непрерывности $f(x)$. Пусть последовательность $x_n$ такова, что $f(x_n)=q-\frac{1}{2^n}$. Выберем из нее сходящуюся подпоследовательность, она будет сходиться к точке $y_0:\ f(y_0)=q,\ y_0$ - локальный максимум.

[Genrih]

Юстас писал(а):

Действительно, $[a,b]=\bigcup\limits_q A_q$, и так как при разных $q$ $A_q$ не пересекаются, то интервалы может содержать не более счетного числа множеств $A_q$

Т.е. из всех интервалов хотя бы одно будет счетным ?

[worm2]

Юстас писал(а):

Это невозможно в силу непрерывности...

Да, Вы правы. У меня больше нет замечаний к Вашему доказательству, мне оно нравится. Хотя есть моменты, над которыми пришлось поразмыслить, чтобы понять.

[worm2]

Genrih писал(а):

Т.е. из всех интервалов хотя бы одно будет счетным ?

Из всех $A_q$ хотя бы одно будет иметь меру 0 (т.е. не будет содержать открытых интервалов (x, y), y > x). На самом деле можно показать, что лишь не более чем счётное число $A_q$ будет иметь ненулевую меру.

[Юстас]

Genrih писал(а):

Юстас писал(а):

Действительно, $[a,b]=\bigcup\limits_q A_q$, и так как при разных $q$ $A_q$ не пересекаются, то интервалы может содержать не более счетного числа множеств $A_q$

Т.е. из всех интервалов хотя бы одно будет счетным ?

Да, я выбрал не очень хороший порядок слов. Имелось ввиду, что не более чем счетное подмножество всех $A_q$ может содержать интервалы.

[Руст]

worm2 писал(а):

Да, Вы правы. У меня больше нет замечаний к Вашему доказательству, мне оно нравится. Хотя есть моменты, над которыми пришлось поразмыслить, чтобы понять.

У меня есть замечания, более того, считаю, что это ничего не доказывает. В качестве опровержения достаточно рассмотреть пример: $y=x^2(3+2cos\frac 1x ).$
Вблизи точек $x=\frac{1}{n\pi}$ максимум, если n чётное и минимум, если n нечётное. Они сгущаются в точке 0. При этом ясно, что в точке 0 минимум.

[Юстас]

Руст, в Вашем примере значения функции в точках $x_n=\frac {1}{\pi n}$ различны, в доказательстве же для любого $n\ f(x_n^{-})=f(x_n^{+})=f(x_0)=q$, поэтому предельная точка $x_0$ не может быть точкой экстремума.

[Руст]

Да, я невнимательно читал.
Но я ещё не видел, почему одно из А+ или А- не может быть пустым.

[Genrih]

Юстас писал(а):

Докажем, что $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=0$. Если $dist(A_q^{-},\ A_q^{+})=\delta>0$, то возьмём такие $x_1\in A_q^{-}, \ x_2\in A_q^{+}: \ dist(x_1,\ x_2)=\delta$. Но тогда обязательно $\exists\ x_3\in(x_1,\ x_2):\ f(x_3)=q$, что противоречит минимальности $\delta$

A множества у нас дискретные (счетные) и существование $x_3$, для меня, под сомнением пока.

[Руст]

Здесь всё нормально, если имеются две точки, принадлежащие множествам с разным знаком, то существует другая точка внутри интервала с тем же значением. Так как любая точка является точкой минимума или максимума, то эта точка принадлежит одному из множеств с + или с -. Соответственно, опять имеется такой интервал и т.д.
Но в случае, когда одно из них пустое, нельзя сделать такой вывод.

[Юстас]

Как я уже писал, множества $A_q^{-}$ и $A_q^{+}$ непусты в силу непрерывности $f(x)$. Пусть последовательность $x_n$ такова, что $f(x_n)=q-\frac{1}{2^n}$. Выберем из нее сходящуюся подпоследовательность, она будет сходиться к точке $y_0:\ f(y_0)=q,\ y_0$ - локальный максимум. Аналогично и с минимумом.