задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

Интеграл Пуассона не знаю :( честно...

Знаете. $\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$. Чему равно?

ADRenaLIN писал(а):

про плитки: площадь монеты делила на площадь плитки... а потом подумала, что что-то здесь не так

неправильно. А если бы площадь плитки была меньше площади монеты
Начните рассуждать логически. Возьмите для простоты одну плитку. Пусть монета упала так, что центр ее лежит на плитке. Когда монетка пересечет край плитки? Напишите условие. Постройте множество точек - центров монеток, когда монетки пересекают край. Найдите площадь...

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #323975 писал(а):

ADRenaLIN писал(а):

Интеграл Пуассона не знаю :( честно...

Знаете. $\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$. Чему равно?

Во многих книгах пишут, что такой интеграл считается неберущимся. В теории вероятности, наверно, он посчитан, но не припомню его, честно...

ЗЫ: про плитки разберусь...

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

Во многих книгах пишут, что такой интеграл считается неберущимся.

Путаете. Не берется в элементарных функциях неопределенный интеграл $\int e^{- \frac{t^2}{2}}dt$. А определенный интеграл $\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{t^2}{2}}dt$ - это просто число, его хоть численно подсчитать можно.

(Оффтоп)

Можно конечно ввести понятие "определенный интеграл не берется в каком-нибудь поле чисел", но это уже совсем другое...

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #323975 писал(а):

$\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$. Чему равно?

корень квадратный из $2*\pi$?

-- Ср май 26, 2010 16:42:03 --

я нашла параметр ${\gamma}=\frac{(2*\pi)^1/2}{\pi*e^6}$
потом преобразовала плотность распределения и сразу же нашла математическое ожидание и дисперсию. Осталось найти функцию распределения и вероятность попадания в интервал...

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

Осталось найти функцию распределения и вероятность попадания в интервал...

Используйте то, что у Вас дана плотность вероятности для нормального распределения и то, что функция распределения для стандартного нормального распределения есть функция Лапласа.

-- Чт май 27, 2010 07:45:07 --

Индекс пишутся в фигурных скобках: $a^{1/2}$ пишется a^{1/2}, а еще лучше $\sqrt{a}$

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #324282 писал(а):

ADRenaLIN писал(а):

Осталось найти функцию распределения и вероятность попадания в интервал...

Используйте то, что у Вас дана плотность вероятности для нормального распределения и то, что функция распределения для стандартного нормального распределения есть функция Лапласа.

я записала функцию распределения в общем виде, получился несобственный интеграл, напоминающий интеграл Пуассона (только пределы интегрирования от -бесконечность до х). Оставлять в виде интеграла или считать дальше? как правильнее будет?

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

Оставлять в виде интеграла или считать дальше? как правильнее будет?

считать дальше. Мы считаем, что функция Лапласа $\Phi (x)$ проще, чем страшный интеграл.
Ну т.е. $\int\limits_{- \infty}^{x}e^{- \frac{t^2}{2}}dt = \Phi (x)$, тогда интеграл $\int\limits_{- \infty}^{x}e^{- \frac{(t-a)^2}{2s^2}}dt = ...$?

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #324309 писал(а):

считать дальше. Мы считаем, что функция Лапласа $\Phi (x)$ проще, чем страшный интеграл.
Ну т.е. $\int\limits_{- \infty}^{x}e^{- \frac{t^2}{2}}dt = \Phi (x)$, тогда интеграл $\int\limits_{- \infty}^{x}e^{- \frac{(t-a)^2}{2s^2}}dt = ...$?

для математического ожидания равного 2 и среднего квадратического равного $\frac{1}{2}$ получилось
$\int\limits_{- \infty}^{x}e^{- \frac{(t-2)^2}{2*0.5^2}}dt = \frac{1}{2}*\Phi (x)$
это будет окончательный ответ для функции распределения?

-- Чт май 27, 2010 14:50:47 --

Sonic86 в сообщении #323764 писал(а):

Вводите систему координат, рисуйте в ней равносторонний треугольник как Вам захочется (лучше, если одна из сторон лежит на Оу, а противоположная вершина - на Ох). Находите функцию распределения по определению и ищите ее производную.

разве равносторонний треугольник получится? вроде ведь прямоугольный, а он по определению равносторонним быть не может

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

это будет окончательный ответ для функции распределения?

да, только функцию распределения составили неправильно. Пересчитайте.

ADRenaLIN писал(а):

разве равносторонний треугольник получится? вроде ведь прямоугольный, а он по определению равносторонним быть не может

не так представили. $A(0;\frac{a}{2}), B(0;-\frac{a}{2}), C(\frac{a\sqrt{3}}{2};0)$.

[ADRenaLIN]

а я запуталась с законом больших чисел

-- Чт май 27, 2010 15:25:16 --

Sonic86 в сообщении #324413 писал(а):

да, только функцию распределения составили неправильно. Пересчитайте.

я посчитала только тот интеграл, что вы написали... с учетом $a$ и ${\sigma}$ из моей задачи...
а если по моей задаче конкретно, то получила $\frac{{\Phi}(x)}{\sqrt{2*\pi}}$

-- Чт май 27, 2010 15:39:07 --

рассматриваю попарно независимые случайные величины, которые могут принимать значения $i^{\alpha}$ и $-i^{\alpha}$ с равной вероятностью. нахожу математическое ожидание $p_1*i^{\alpha}+p_2*(-i^{\alpha})=0$, нахожу дисперсию $p_1*(i^{\alpha})^2+p_2*(-i^{\alpha})^2-0=(p_1+p_2)*i^{2*{\alpha}}$
я так поняла, что надо показать ограниченность дисперсии...
1 случай: ${\alpha}=-1$
дисперсия равна $(p_1+p_2)*i^{-2}$
при этом значения случайных величин ограничены отрезком $[-1;1]$
2 случай: ${\alpha}=0.1$
дисперсия равна $(p_1+p_2)*i^{0.2}$
если не напутала, то здесь тоже значения случайных величин ограничены отрезком $[-1;1]$

-- Чт май 27, 2010 15:45:44 --

что теперь... не могу сообразить

[Sonic86]

А, ну если интеграл правильно посчитали, то все замечательно.

Так, ну случай $\alpha = -1$ как раз попадает под ограниченность дисперсии. Насчет случая 2 пока точно не скажу - не помню, но смысл в том, что надо смотреть какой-то усиленный закон больших чисел (м.б. в Гмурмане есть).

-- Чт май 27, 2010 15:47:09 --

У Вас $i$ - целое число, значит $i^{-2} \leq ...$

-- Чт май 27, 2010 15:49:09 --

ADRenaLIN писал(а):

при этом значения случайных величин ограничены отрезком [-1;1]

ой! это как? Ну в случае $\alpha = -1$ это возможно, а вот в случае $\alpha = 0,1$ - уже нет

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #324440 писал(а):

1.У Вас $i$ - целое число, значит $i^{-2} \leq ...$
2.ой! это как? Ну в случае $\alpha = -1$ это возможно, а вот в случае $\alpha = 0,1$ - уже нет

1. <=1
2. имела в виду, что все значения будут из этого отрезка

-- Чт май 27, 2010 15:53:15 --

в первом случае получается, что дисперсия $<=p_1+p_2$
т.е. СВ удовлетворяют закону больших чисел

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

2. имела в виду, что все значения будут из этого отрезка

Я понял, у Вас же $e_i = \pm i^{0,1}$ и тогда если взять $i>1$, то получится сразу $|e_i|>1$...
может быть по определению $\lim\limits_{n \to + \infty}P(\frac{1}{n}|\sum\limits_{i=1}^n e_i| < \epsilon) = 1$ доказать?... (это я уже матожидания = 0 подставил)

ADRenaLIN писал(а):

в первом случае получается, что дисперсия $\leq p_1+p_2$

ну значит все хорошо

[ADRenaLIN]

я вот что нашла....
"В 1923 г. А.Я. Хинчин показал, что если случайные величины не только независимы, но и одинаково распределены, то существование у них математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости закона больших чисел"

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

я вот что нашла....
"В 1923 г. А.Я. Хинчин показал, что если случайные величины не только независимы, но и одинаково распределены, то существование у них математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости закона больших чисел"

во! офигеть! ну значит применяем это ко второму случаю