Как доказать неприводимость полинома?

[ellipse]

Как доказать неприводимость полинома $x^{10}+x^5+1$ над $Q$?

[мат-ламер]

Попробуйте его профакторизовать (домножив на $x^5-1$).

[maxmatem]

А как же критерий Эйзенштейна?, вот и воспользуйтесь им , ну может не напрямую ,но всё же

[ellipse]

maxmatem, линейную замену и раскладывать биномы 10 и 5 степени Может есть более простые критерии?

[Ryabsky]

Чтобы воспользоваться им, надо получить какие нибудь целые коэффициенты, не равные $0$ и $\pm 1$ (хотя бы какие нибудь, а желательно все кроме старшего).
А значит, как минимум, автору придется делать замену $x = t+1$ и потом руками считать эти полиномиальные коэффициенты. Хотя, впрочем, несмотря на то, что этот метод долгий, он должен прокатить.

[age]

$x^5=t$, получаем полином $t^2+t+1$

[Ryabsky]

age
Контрпример: $x^2 -1$ - приводим аж над $\mathbb{Z}$, однако после замены $t = x^2$ он становится неприводимым.

[arqady]

ellipse в сообщении #321650 писал(а):

Как доказать неприводимость полинома $x^{10}+x^5+1$ над $Q$?

С чего Вы взяли, что он неприводим? Он преспокойно раскладывается.
Обратите внимание, что мат-ламер сказал. Можно и по-другому догадаться: $10+5$ делится на три,
но $10$ на три не делится.

[lel0lel]

arqady в сообщении #321710 писал(а):

Он преспокойно раскладывается.

Раскладывается, действительно). Но должен заметить, что не преспокойно. Когда корни находишь, то ситуация проясняется.

[ellipse]

$x^{10}+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

час от часу не легче моя задача - факторизовать исходный полином. как теперь доказать неприводимость второго сомножителя?

[arqady]

ellipse в сообщении #321756 писал(а):

$x^{10}+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

час от часу не легче моя задача - факторизовать исходный полином. как теперь доказать неприводимость второго сомножителя?

Вот здесь уже подсказка мат-ламер существенна! Почитайте про примитивные корни.

[ellipse]

все корни исходного полинома домноженного на $x^5-1$ являются корнями 15 степени из 1. что дальше? почитал про примитивные корни, но не пойму с какой стороны их применять.

[arqady]

Посмотрите на минимальный многочлен, корнями которого они являются, и что произойдёт, если вдруг он станет приводим.

[ellipse]

как я догадываюсь, минимальным для них будет как раз второй сомножитель, но как это показать? если он будет приводим, то он не будет минимальным. что из этого?

[VAL]

ellipse в сообщении #321827 писал(а):

как я догадываюсь, минимальным для них будет как раз второй сомножитель, но как это показать? если он будет приводим, то он не будет минимальным. что из этого?

Число примитивных корней n-й степени из 1 равно $\varphi(n)$. Все они являются корнями одного и того же неприводимого над $\mathbb Q$ полинома деления круга. А $\varphi(15)=8$.

Более обще: $15=\varphi(15)+\varphi(5)+\varphi(3)+\varphi(1)=8+4+2+1$. Поэтому $x^{15}-1$ раскладывается на неприводимые множители 8-й, 4-й, 2-й и 1-й степени.

Подробно и понятно про полиномы деления круга написано, например, у ван дер Вардена.