2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение19.05.2010, 21:45 
Как доказать неприводимость полинома $x^{10}+x^5+1$ над $Q$?

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение19.05.2010, 22:06 
Аватара пользователя
Попробуйте его профакторизовать (домножив на $x^5-1$).

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение19.05.2010, 23:35 
Аватара пользователя
А как же критерий Эйзенштейна?, вот и воспользуйтесь им , ну может не напрямую ,но всё же :D

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение19.05.2010, 23:54 
maxmatem, линейную замену и раскладывать биномы 10 и 5 степени :? Может есть более простые критерии?

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение19.05.2010, 23:56 
Чтобы воспользоваться им, надо получить какие нибудь целые коэффициенты, не равные $0$ и $\pm 1$ (хотя бы какие нибудь, а желательно все кроме старшего).
А значит, как минимум, автору придется делать замену $x = t+1$ и потом руками считать эти полиномиальные коэффициенты. Хотя, впрочем, несмотря на то, что этот метод долгий, он должен прокатить.

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 00:03 
Аватара пользователя
$x^5=t$, получаем полином $t^2+t+1$

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 00:07 
age
Контрпример: $x^2 -1$ - приводим аж над $\mathbb{Z}$, однако после замены $t = x^2$ он становится неприводимым.

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 01:30 
ellipse в сообщении #321650 писал(а):
Как доказать неприводимость полинома $x^{10}+x^5+1$ над $Q$?

С чего Вы взяли, что он неприводим? Он преспокойно раскладывается.
Обратите внимание, что мат-ламер сказал. Можно и по-другому догадаться: $10+5$ делится на три,
но $10$ на три не делится. :?

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 01:36 
arqady в сообщении #321710 писал(а):
Он преспокойно раскладывается. :wink:
Раскладывается, действительно). Но должен заметить, что не преспокойно. Когда корни находишь, то ситуация проясняется.

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 09:06 
$x^{10}+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

час от часу не легче :| моя задача - факторизовать исходный полином. как теперь доказать неприводимость второго сомножителя?

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 10:12 
ellipse в сообщении #321756 писал(а):
$x^{10}+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

час от часу не легче :| моя задача - факторизовать исходный полином. как теперь доказать неприводимость второго сомножителя?

Вот здесь уже подсказка мат-ламер существенна! Почитайте про примитивные корни.

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 10:20 
все корни исходного полинома домноженного на $x^5-1$ являются корнями 15 степени из 1. что дальше? почитал про примитивные корни, но не пойму с какой стороны их применять.

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 10:45 
Посмотрите на минимальный многочлен, корнями которого они являются, и что произойдёт, если вдруг он станет приводим.

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 12:38 
как я догадываюсь, минимальным для них будет как раз второй сомножитель, но как это показать? если он будет приводим, то он не будет минимальным. что из этого? :|

 
 
 
 Re: Как доказать неприводимость полинома?
Сообщение20.05.2010, 13:08 
ellipse в сообщении #321827 писал(а):
как я догадываюсь, минимальным для них будет как раз второй сомножитель, но как это показать? если он будет приводим, то он не будет минимальным. что из этого? :|
Число примитивных корней n-й степени из 1 равно $\varphi(n)$. Все они являются корнями одного и того же неприводимого над $\mathbb Q$ полинома деления круга. А $\varphi(15)=8$.

Более обще: $15=\varphi(15)+\varphi(5)+\varphi(3)+\varphi(1)=8+4+2+1$. Поэтому $x^{15}-1$ раскладывается на неприводимые множители 8-й, 4-й, 2-й и 1-й степени.

Подробно и понятно про полиномы деления круга написано, например, у ван дер Вардена.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group