Интегральная формула Коши для кватернионов.

[Scholium]

Интегральная формула Коши для кватернионов

Кватернионный анализ существует уже очень продолжительное время, однако лично мне не попадались эффективные формулы для вычисления функций кватернионного переменного $q \in \mathbb{H}$. В статье Энтони Садбери «Кватернионный анализ» дан аналог интегральной формулы Коши в $\mathbb{H}$. Однако применение этой формулы для вычисления хотя бы элементарных функций от кватернионного переменного вызывает большие технические трудности. Поэтому мы решили, как сказал некогда классик, «пойти другим путем»

Сформулируем окончательный результат.

Теорема об интегральной формуле Коши для кватернионов.

Пусть собственные значения $\lambda = q_0 + i\,| q - q_0 |,~\overline{\lambda} = q_0 - i\,| q - q_0 | \in \mathbb{C}$ кватерниона $q = q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3 \in \mathbb{H}$, где $\,| q - q_0 | = \sqrt{q_1^2+ q_2^2+ q_3^2}$, лежат внутри простого замкнутого контура $\Gamma \subset \mathbb{C}$, ориентированного положительно и пусть функция $f(z)$ непрерывна на $\Gamma$ и аналитична внутри $\Gamma$. Тогда определенно кватернионное значение функции $f(q)$, причем

$f(q) = \text{Re} \left ( \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z - \lambda}~d z \right ) + \frac{q-q_0}{| q - q_0 |} \text{Im} \left ( \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z - \lambda}~d z \right )$, (1)

и, следовательно,

$f(q) = \text{Re} \left ( f(\lambda) \right ) + \frac{q-q_0}{| q - q_0 |} \text{Im} \left ( f(\lambda) \right )$, (2)

где $\text{Re}$ и $\text{Im}$ – соответственно, действительная и мнимая части от своего выражения.

Замечание. Аналогичные формулы могут быть выписаны и для другого собственного значения $\overline{\lambda}$ кватерниона $q$. А именно

$f(q) = \text{Re} \left ( \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z - \overline{\lambda}}~d z \right ) - \frac{q-q_0}{| q - q_0 |} \text{Im} \left ( \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z - \overline{\lambda}}~d z \right )$, (1a)

и, следовательно,

$f(q) = \text{Re} \left ( f(\overline{\lambda}) \right ) - \frac{q-q_0}{| q - q_0 |} \text{Im} \left ( f(\overline{\lambda}) \right )$. (2a)

Доказательство.

Согласно интегральной формулы Коши для матриц (см., например, «Теория матриц» Ф.Р. Гантмахера или П. Ланкастера), в соответствии с условиями теоремы, для некоторой квадратной матрицы $H$ можно записать:

$f(H)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z E - H}~d z$, (3)

где $E$ – единичная матрица.

Известно, что любому кватерниону $q = q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3 \in \mathbb{H}$ можно поставить в соответствие некоторую матрицу $H$. А именно

$H = \left ( \begin{matrix} z_1, & z_2 \\ -\overline{z}_2, & \overline{z}_1 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} q_0 + i q_1, & q_2 + i q_3 \\ -q_2 + i q_3, & q_0 - i q_1 \end{matrix} \right )$. (4)

Вычисляя знаменатель подинтегрального выражения (3), находим

$z E - H = \left ( \begin{matrix} z - q_0 - i q_1, & -q_2 - i q_3 \\ q_2 - i q_3, & z - q_0 + i q_1 \end{matrix} \right )$. (5)

Обратная величина этой матрицы будет равна

$(z E - H)^{-1} = \frac{1}{\det(z E - H)} \left ( \begin{matrix} z - q_0 + i q_1, & q_2 + i q_3 \\ -q_2 + i q_3, & z - q_0 - i q_1 \end{matrix} \right )$. (6)

где

$\det(z E - H) = \frac{1}{(z-\lambda_1) (z-\lambda_2)}$, (7)

причем, характеристические числа

$\lambda_1 = \lambda = q_0 + i | q - q_0 |$ и $\lambda_2 = \overline{\lambda} = q_0 - i | q - q_0 |$. (8)

Таким образом, зная обратную матрицу (6) можно вычислить искомый интеграл (3). Поскольку интеграл от матрицы (3) сводится (по определению) к почленному интегрированию от элементов данной матрицы, то нам предстоит вычислить четыре типа интегралов, подставив в (3) вместо матрицы (6) ее элементы. Покажем, что интегралы для элементов матрицы (6) сводятся к обычным интегралам Коши для аналитической функции $f(z) \in \mathbb{C}$, в точках спектра $\lambda_1 = \lambda;~ \lambda_2 = \overline{\lambda}$ матрицы $H$.

Пусть,

$\alpha_{11} = \frac{z - q_0 + i q_1}{(z - \lambda_1) (z - \lambda_2)}$, (9)

$\alpha_{12} = \frac{q_2 + i q_3}{(z - \lambda_1) (z - \lambda_2)}$, (10)

$\alpha_{21} = \frac{-q_2 + i q_3}{(z - \lambda_1) (z - \lambda_2)}$, (11)

$\alpha_{22} = \frac{z - q_0 - i q_1}{(z - \lambda_1) (z - \lambda_2)}$. (12)

Легко видеть, что

$\alpha_{11} = \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) \frac{1}{(z - \lambda_1)} + \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) \frac{1}{(z - \lambda_2)}$, (13)

$\alpha_{12} = \frac{q_3 - i q_2}{2 | q - q_0 |} \left ( \frac{1}{z - \lambda_1} - \frac{1}{z - \lambda_2} \right )$, (14)

$\alpha_{21} = \frac{q_3 + i q_2}{2 | q - q_0 |} \left ( \frac{1}{z - \lambda_1} - \frac{1}{z - \lambda_2} \right )$, (15)

$\alpha_{22} = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) \frac{1}{(z - \lambda_1)} + \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) \frac{1}{(z - \lambda_2)}$. (16)

Откуда следует, что

$f_{11}(H) = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{\Gamma} \alpha_{11} f(z)~d z = \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) f(\lambda_1) + \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) f(\lambda_2)$, (17)

$f_{12}(H) = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{\Gamma} \alpha_{12} f(z)~d z = \frac{q_3 - i q_2}{2 | q - q_0 |} \left ( f(\lambda_1) - f(\lambda_2) \right )$, (18)

$f_{21}(H) = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{\Gamma} \alpha_{21} f(z)~d z = \frac{q_3 + i q_2}{2 | q - q_0 |} \left ( f(\lambda_1) - f(\lambda_2) \right )$, (19)

$f_{22}(H) = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{\Gamma} \alpha_{22} f(z)~d z = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) f(\lambda_1) + \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) f(\lambda_2)$. (20)

Таким образом, мы нашли все компоненты (17)-(20) матрицы $f(H)$ из (3). Наша задача теперь представить эту матрицу в виде (4), что позволит перейти от матричной записи к кватернионной. Для этого достаточно показать, что

$f_{22}(H) = \overline{ f_{11}(H)}$ (21)

и

$f_{21}(H) = -\overline{ f_{12}(H)}$. (22)

Действительно, вводя сокращенные обозначения для действительных коэффициентов

$a = \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right )$, $b = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right )$,

получаем

$\overline{ f_{11}(H)} = \overline{a f(\lambda_1) + b f(\lambda_2)} = \overline{a f(\lambda_1) + b f(\overline{\lambda_1})} = \overline{a f(\lambda_1)} + \overline{b f(\overline{\lambda_1})} =$ $a \overline{f(\lambda_1)} + b \overline{f(\overline{\lambda_1})} = a f(\overline{\lambda_1}) + b f(\overline{\overline{\lambda_1}}) = a f(\lambda_2) + b f(\lambda_1) = f_{22}(H)$.

Аналогично, получаем при

$c = \frac{q_3}{2 | q - q_0 |}$ и $d = \frac{ q_2}{2 | q - q_0 |}$,

$\overline{ f_{12}(H)} = \overline{(c - i d) (f(\lambda_1) - f(\overline{\lambda_1}))} = \overline{(c - i d)} \overline{(f(\lambda_1) - f(\overline{\lambda_1}))} =$ $(c + i d) \overline{(f(\lambda_1)} - \overline{f(\overline{\lambda_1}))} = (c + i d) (f(\overline{\lambda_1}) - f(\overline{\overline{\lambda_1}})$

или

$\overline{ f_{12}(H)} = (c + i d) (f(\lambda_2) - f(\lambda_1)) = -(c + i d) (f(\lambda_1) - f(\lambda_2) = -f_{21}(H)$.

Следовательно, формулы (21)-(22) доказаны, а значит действительные и мнимые части элементов (17)-(18) матрицы $f(H)$ из формулы (3), в соответствии с (4) представляют искомые компоненты кватернионной функции $f(q) = f(q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3) \in \mathbb{H}$. А именно, с учетом того, что $\lambda_1 = \lambda;~ \lambda_2 = \overline{\lambda}$ и используя обозначения $a = \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right )$, $b = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right )$, находим

$f_{11}(H) = a f(\lambda) + b f(\overline{\lambda}) = a f(\lambda) + b \overline{f(\lambda)} =$ $a (\text{Re}(f(\lambda)) + i \text{Im}(f(\lambda))) + b (\text{Re}(f(\lambda)) - i \text{Im}(f(\lambda)))$

или

$f_{11}(H) = (a + b) \text{Re}(f(\lambda)) + i (a - b) \text{Im}(f(\lambda))) = \text{Re}(f(\lambda)) + i \frac{q_1}{| q - q_0 |} \text{Im}(f(\lambda)))$. (23)

Далее, используя обозначения $c = \frac{q_3}{2 | q - q_0 |}$ и $d = \frac{ q_2}{2 | q - q_0 |}$, получаем

$f_{12}(H) = (c - i d) ( f(\lambda) - f(\overline{\lambda}) = (c - i d) \left ( f(\lambda) - \overline{f(\lambda)} \right ) = (c - i d) \left ( 2 i \text{Im}(f(\lambda)) \right ) =$ $2 (d + i c) \text{Im}(f(\lambda))$

или

$f_{12}(H) = \frac{q_2}{| q - q_0 |} \text{Im}(f(\lambda)) + i \frac{q_3}{| q - q_0 |} \text{Im}(f(\lambda))$. (24)

Теперь, из комплексных чисел (23) и (24) мы можем вычленить действительные и мнимые части как компоненты кватерниона $q = q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3 \in \mathbb{H}$, представимого в виде (4). Получаем, что

$f(q) = \text{Re}(f(\lambda)) + i \frac{q_1}{| q - q_0 |} \text{Im}(f(\lambda)) + j \frac{q_2}{| q - q_0 |} \text{Im}(f(\lambda)) + k \frac{q_3}{| q - q_0 |} \text{Im}(f(\lambda))$

или

$f(q) = \text{Re}(f(\lambda)) + \frac{i q_1 + j q_2 + k q_3}{| q - q_0 |} \text{Im}(f(\lambda)) = \text{Re}(f(\lambda)) + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \text{Im}(f(\lambda))$. (25)

Тем самым, формула (2) доказана. Если же нам не известно комплексное значение функции $f(\lambda)$, для комплексного собственного значения $\lambda = q_0 + i\,| q - q_0 |$ кватерниона $q \in \mathbb{H}$, тогда мы можем воспользоваться для вычисления $f(\lambda)$ интегральной формулой Коши для комплексного переменного $\lambda$, а именно, в соответствии с условиями теоремы, получим для (2) формулу (1).

Совершенно аналогично получаются формулы (1a) и (2a), что и завершает доказательство теоремы.

Полученные формулы (1) и (2) и сопряженные им формулы (1a) и (2a) позволяют эффективно вычислять аналитические в смысле (3) функции от кватернионов. Вот несколько примеров.

1. Экспонента от кватерниона.

$e^{q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3} = \text{Re}(e^{q_0 + i | q - q_0 |}) + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \text{Im}( e^{q_0 + i | q - q_0 |}) = e^{q_0} \left ( \cos(| q - q_0 |) + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \sin(| q - q_0 |) \right )$.

Отсюда находим выражения для отдельных кватернионных единиц:

$e^{i q_1} = \cos(q_1) + i \sin(q_1)$,

$e^{j q_2} = \cos(q_2) + j \sin(q_2)$

и

$e^{k q_3} = \cos(q_3) + k \sin(q_3)$.

Легко заметить неравенство для выражения:

$e^{q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3} \neq e^{q_0} e^{i q_1} e^{j q_2} e^{k q_3}$, (26)

что совершенно естественно, в силу некоммутивности кватернионных единиц, а, следовательно, и соответствующих им матриц. Существует теорема, что равенство в выражении (26) выполняется тогда и только тогда, когда соответствующие матричные единицы коммутируют между собой.

2. Натуральный логарифм от кватерниона.

$\ln(q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3) = \text{Re}(\ln(q_0 + i | q - q_0 |)) + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \text{Im}(\ln(q_0 + i | q - q_0 |))$

или

$\ln(q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3) = \ln(| q |) + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \arg(q_0 + i | q - q_0 |)$,

где

$\,| q | = \sqrt{q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}$

и

$\arg(q_0 + i | q - q_0 |) = \left \{ \begin{array}{l} \text{arctg} \left( \frac{| q - q_0 |}{q_0} \right ),~~q_0 > 0 \\ \pi + \text{arctg} \left( \frac{| q - q_0 |}{q_0} \right ),~~q_0 < 0~. \end{array} \right .$

3. Квадратный корень от кватерниона.

$\sqrt{q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3} = \text{Re}(\sqrt{q_0 + i | q - q_0 |}) + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \text{Im}(\sqrt{q_0 + i | q - q_0 |})$

или

$\sqrt{q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3} = \pm \sqrt{\frac{| q | + q_0}{2}} \pm \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \sqrt{\frac{| q | - q_0}{2}}$.

Как хорошо видно, зная действительную и мнимую части некоторой комплексной аналитической функции, можно легко вычислить значение этой функции на любом кватернионе. Отсюда можно уже пытаться строить кватернионное дифференциальное и интегральное исчисления с ориентацией на практические вычисления. Но это уже будет тема другой статьи.

[Time]

Вы могли бы привести конкретные кватернионные значения для вычисления натурального логарифма и квадратного корня, скажем, из кватерниона:
$q=1+i2+j3+k4$ ?

Если что-то имеющее вид кватернионов (а не комплексных чисел) при этом у Вас получается, хотелось бы также увидеть этапы такого вычисления.

Кроме того, хотелось бы понять, чем мнимая единица, обозначаемая $i$ отличается от $j$ или $k$? И почему первая непосредственно фигурирует при Ваших вычислениях различных функций от кватернионов, а две вторые - нет?
Если с таким же успехом в формулы для вычисления значений функций от кватернионов мы можем ставить вместо $i$ и другие мнимые единицы, то что мешает поставить вместо этих трех любую другую кватернионную единицу к которой мы можем перейти от трех исходных путем обычного поворота? Если и такие единицы могут фигурировать вместо $i$ в формулах, то получается, что конкретных значений функции, в частности квадратного корня - бесконечное множество.. Что с этим делать?

[Scholium]

Time писал(а):

Вы могли бы привести конкретные кватернионные значения для вычисления натурального логарифма и квадратного корня, скажем, из кватерниона:
$q=1+i2+j3+k4$ ?

Если что-то имеющее вид кватернионов (а не комплексных чисел) при этом у Вас получается, хотелось бы также увидеть этапы такого вычисления.

Нет проблем. Подставляем в готовые формулы

- для натурального логарифма:

$\,| q | = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{30}$

$q_0 = 1$, $q - q_0 = i 2 + j 3 + k 4$,

$\,| q - q_0 | = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}$

$\lambda = q_0 + i | q - q_0 | = 1 + i \sqrt{29}$

$\arg(\lambda) = \arg(q_0 + i | q - q_0 |) = \text{arctg} \left( \frac{| q - q_0 |}{q_0} \right ) = \text{arctg}(\sqrt{29})$.

Отсюда находим, что

$\ln(q) = \ln(1 + i 2 + j 3 + k 4) = \ln(| q |) + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \arg(\lambda) = \ln(30) + \frac{ i 2 + j 3 + k 4}{\sqrt{29}} \text{arctg}(\sqrt{29})$.

Если нужны десятичные значения, то корни, арктангенс и логарифм можно уже вычислить на калькуляторе;

- для квадратного корня:

$\sqrt{q} = \sqrt{q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3} = \pm \left ( \sqrt{\frac{| q | + q_0}{2}} + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} \sqrt{\frac{| q | - q_0}{2}} \right )$. (*)

Подставляя сюда уже вычисленные значения, получаем

$\sqrt{q} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{30} + 1}{2}} + \frac{ i 2 + j 3 + k 4}{\sqrt{29}} \sqrt{\frac{\sqrt{30} - 1}{2}} \right )$.

Кстати, легко проверить, что квадрат выражения (*) равен $q$.

Time писал(а):

Кроме того, хотелось бы понять, чем мнимая единица, обозначаемая $i$ отличается от $j$ или $k$? И почему первая непосредственно фигурирует при Ваших вычислениях различных функций от кватернионов, а две вторые - нет?

На самом деле, в итоговых формулах (2) или (2а), из основного сообщения, нет никаких «левых» комплексных единиц, там только присутствует выражение $q - q_0 = i q_1 + j q_2 + k q_3$ и вещественные составляющие от действительной и мнимой частей комплексной функции $f(\lambda) = f(q_0 + i | q - q_0 |)$ (аналогично, для сопряженного $\bar{\lambda}$). Т.е., хотя $f(\lambda) \in \mathbb{C}$, но $\text{Re}(f(\lambda)) \in \mathbb{R}$ и $\text{Im}(f(\lambda)) \in \mathbb{R}$. Поэтому в этих формулах есть только, в результате, вещественные значения и кватернионные единицы и ничего больше. Так что явная комплексная единица $i \in \mathbb{C}$ является «немой», а «немые» кватернионные единицы $q - q_0 = i q_1 + j q_2 + k q_3$ являются явно присутствующими в основных формулах.

Time писал(а):

Если с таким же успехом в формулы для вычисления значений функций от кватернионов мы можем ставить вместо $i$ и другие мнимые единицы, то что мешает поставить вместо этих трех любую другую кватернионную единицу к которой мы можем перейти от трех исходных путем обычного поворота? Если и такие единицы могут фигурировать вместо $i$ в формулах, то получается, что конкретных значений функции, в частности квадратного корня - бесконечное множество.. Что с этим делать?

Думаю, что в предыдущем абзаце, я достаточно хорошо все объяснил. Если формулы трудны для восприятия, то проконсультируйтесь у Ваших математиков. Просто это Ваше представление совершенно не верно.

Кстати, комплексная и кватернионная единицы $i$ полностью совпадают (так как кватернионы получаются процедурой удвоения комплексных чисел), поэтому их можно не различать. Поэтому мы можем записать для нашей кватернионной функции

$f(q) = f_{11}(H) + j f_{12}(H)$,

где вместо $f_{11}(H)$ и $f_{12}(H)$ нужно подставить их значения из формул (17) и (18) основного сообщения. Однако, это будет громоздкое выражение, но которое после преобразований и упрощений примет простой вид совпадающий с формулой (2) или (2а) теоремы.

Аналогично могут будут эффективно вычислены поли- и гиперчисловые аналитические функции от произвольных числовых систем, в том числе и от Ваших симметрических поличисел 4-го порядка. Выходит, что комплексные числа это «пуп Земли» всех числовых систем .

[Time]

Scholium в сообщении #320407 писал(а):

Кстати, легко проверить, что квадрат выражения (*) равен .

В геометрических образах, та процедура, что Вы проделываете с вычислением квадратного корня очень напоминает следующее.. Берется кватернион произвольного вида. Ему как известно ссответствует вектор четырехмерного евклидова пространства. На действительный вектор $q_0$ и чисто мнимый вектор $iq_1+jq_2+kq_3$ натягивается плоскость. Вектор, соответствующий исходному кватерниону принадлежит этой плоскости. На ней естественным образом индуцирована геометрия комплексной плоскости. И вот в алгебре комплексных чисел, соответствующих этой комплексной плоскости Вы вычисляете квадратный корень из вектора-кватерниона, как будто он вектор-комплексное число, и тот у Вас, естественно, находится, ведь как вычислять корни в комплексных числах - известно.

Попробуйте перейти в другой базис и повторить свою процедуру с вычислением корня из того же самого кватерниона. Что-то мне кажется, что результат будет сильно другим..

Строить непротиворечивым образом на кватернионах любые нелинейные функции более сложные, чем дробнолинейные, думаю, заведомый самообман. Где-то, а вылезет нелогичность и "кривость"..

Scholium в сообщении #320407 писал(а):

Выходит, что комплексные числа это «пуп Земли» всех числовых систем

Полагаю, что не стОит торопиться с выводами. Хотя именно в такой мысли Вас поддержит абсолютное большинство математиков.

[Scholium]

Time писал(а):

В геометрических образах, та процедура, что Вы проделываете с вычислением квадратного корня очень напоминает следующее.. Берется кватернион произвольного вида. Ему как известно ссответствует вектор четырехмерного евклидова пространства. На действительный вектор $q_0$ и чисто мнимый вектор $iq_1+jq_2+kq_3$ натягивается плоскость. Вектор, соответствующий исходному кватерниону принадлежит этой плоскости. На ней естественным образом индуцирована геометрия комплексной плоскости. И вот в алгебре комплексных чисел, соответствующих этой комплексной плоскости Вы вычисляете квадратный корень из вектора-кватерниона, как будто он вектор-комплексное число, и тот у Вас, естественно, находится, ведь как вычислять корни в комплексных числах - известно.

Если бы это было так, то результат был бы комплексным числом, а у нас на выходе кватернион. Важно, не то, как он находится, а то, что квадрат этого кватерниона равен исходному кватерниону. Разве задача вычисления корня состоит не в этом? А комплексификацию мы осуществляем не для любого кватерниона, а только для его собственных значений. А собственные значения и собственные вектора это выделенные, исключительные значения любого линейного оператора, в данном случае кватерниона по отношению к его базовому четырехмерному векторному пространству.

Time писал(а):

Попробуйте перейти в другой базис и повторить свою процедуру с вычислением корня из того же самого кватерниона.

Вы думаете, тем самым будет доказано, что результат неверен? Сегодня я «прошерстил» Интернет, для проверки своих формул. Ибо я их у себя увидел впервые. Действительно, результаты совпадают с моими. Так что мы будем доказывать, что и в Интернете вычисление функций от кватернионов неверно? Кстати, у них нет общей формулы типа (2) или (2а). Поэтому доказанная теорема это очень сильный результат в области кватернионного анализа, что позволяет строить эффективное практическое, а не только теоретическое, дифференциальное и интегральное исчисление на кватернионах. Конечно, это не было моей целью, просто метод использования известной интегральной формулы Коши для матриц оказался очень эффективным для ЛЮБЫХ числовых систем, хотя ни у одного автора я не встречал ни одного практического применения этой формулы. А один из «маститых» даже бросил фразу, что мол, эта формула «бесполезная». Вот так и верь после этого корифеям .

Да, посмотрите, свою тему на физическом форуме. В последнем сообщении я опубликовал формулы для Ваших поличисел. Впрочем, уверен, что они Вам не понравятся . Мол, не то, что хотелось увидеть.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Выходит, что комплексные числа это «пуп Земли» всех числовых систем

Полагаю, что не стОит торопиться с выводами. Хотя именно в такой мысли Вас поддержит абсолютное большинство математиков.

А я и не тороплюсь, я просто понял, что замкнутость эллипса в эллиптических комплексных числах плюс алгебраическая замкнутость и отсутствие делителей нуля это исключительный набор уникальных свойств, которые позволяют использовать обычные комплексные числа для исследования любых числовых систем. Правда у этой системы есть выделенное подполе действительных чисел, но это уже другой разговор.

[Time]

Scholium в сообщении #320693 писал(а):

Если бы это было так, то результат был бы комплексным числом, а у нас на выходе кватернион.

На сколько я помню алгебру кватернионов, любой объект вида $e=iq_1+jq_2+kq_3$ ведет себя как обычная комплексная мнимая единица, нужно только нормировать его, что Вы, собственно и делаете, деля на его модуль. После того как Вы проделываете вычисления в алгебре комплексных чисел, Вы просто вместо $e$ (вернее его нормированной величины) подставляете формальное значение этого исходного мнимого кватерниона $e=iq_1+jq_2+kq_3$. Подозреваю, что Вы тоже самое и в неассоциативных октавах проделать сможете..

Цитата:

Важно, не то, как он находится, а то, что квадрат этого кватерниона равен исходному кватерниону. Разве задача вычисления корня состоит не в этом?

Таких кватернионов, квадрат которых будет равен исходному по Вашей (или чьей другой) методике можно найти бесконечное множество. Мне кажется, если уж и отказываться от основной теоремы алгебры, то только в пользу ее модификации, как это имеет место на поличислах, но никак не ради ее замены на бесконечное число корней..

Scholium в сообщении #320693 писал(а):

Вы думаете, тем самым будет доказано, что результат неверен?

Я думаю, что этот вариант сотни раз уже рассматривался. Причем, начиная с самого Гамильтона. Я мало занимался кватернионами с самого начала, однако знаю, сколько сил им посвятили другие. Если б там была бы хоть малейшая возможность построения непротиворечивого анализа, тот бы появился еще в позапрошлом веке. Уверен, что геометрию не обойти. Понимаю, что Вас это не остановит, но конформная группа четырехмерного евклидова пространства с ее 15 независимыми параметрами - это непреодолимое препятствие..

Scholium в сообщении #320693 писал(а):

Да, посмотрите, свою тему на физическом форуме. В последнем сообщении я опубликовал формулы для Ваших поличисел. Впрочем, уверен, что они Вам не понравятся

Спасибо, посмотрел и как ни будь отвечу. Просто сегодня и в субботу еще по семинару, где должен выступать. Сходу хотел бы заметить, что я просил не формулу для аналитических функций (которая для $H_2$ у Вас вполне естественная получилась, а вот для $C+C$ вроде бы что то не так, но может я ошибаюсь), а формулу для длины единичной окружности в последнем пространстве (вернее, для длины экстремали на индикатрисе).

Scholium в сообщении #320693 писал(а):

А я и не тороплюсь, я просто понял, что замкнутость эллипса в эллиптических комплексных числах плюс алгебраическая замкнутость и отсутствие делителей нуля это исключительный набор уникальных свойств, которые позволяют использовать обычные комплексные числа для исследования любых числовых систем.

У чисел $C+C$ (извиняюсь, но так я буду обозначать прямую сумму) - экстремали на индикатрисе также все замкнутые (хоть они как правило и не плоские, все равно, могут считаться обобщениями эллисов, вернее, окружностей). Эти числа также обладают алгебраической замкнутостью (хотя, судя по теме о кватернионах Вас и полное отсутствие заменителя основной теоремы алгебры не смущает). Вот что их отличает от комплексных чисел, так это наличие делителей нуля. А чем именно они Вам не нравятся, или чем мешают? Физикам без световых конусов, с которыми делители нуля запросто ассоциируются, наоборот, совершенно неуютно. :)

Как не крути, а именно в этом (в наличии делителей нуля) и есть основная причина, что классификация Чисел считается оконченной на комплексных. Если Вы также пришли к этому выводу, скорее всего, Вам нет смысла заниматься поличислами и тогда понятна Ваше предрасположение к кватернионам. Кстати, те математики, кто думает так же давно от кватернионов перешли к бикватернионам (то есть к ним же, но над полем комплексных чисел). В соответствующем тем восьмимерном вещественном пространстве, по крайней мере, конформная группа преобразований бесконечномерна. Правда, в них также есть делители нуля, а естественная метрическая функция - неквадратичная, то есть, типично финслерова.. :( Короче, куда не кинь - всюду клин :)

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Если бы это было так, то результат был бы комплексным числом, а у нас на выходе кватернион.

На сколько я помню алгебру кватернионов, любой объект вида $e=iq_1+jq_2+kq_3$ ведет себя как обычная комплексная мнимая единица, нужно только нормировать его, что Вы, собственно и делаете, деля на его модуль. После того как Вы проделываете вычисления в алгебре комплексных чисел, Вы просто вместо $e$ (вернее его нормированной величины) подставляете формальное значение этого исходного мнимого кватерниона $e=iq_1+jq_2+kq_3$. Подозреваю, что Вы тоже самое и в неассоциативных октавах проделать сможете..

Ну, Вы интересно рассуждаете . Математика, это ведь не физика. Тут нет никакой отсебятины, типа подгона к нужному результату или принятия произвольных предположений вместо их доказательств. Есть четкое формальное доказательство, которое легко проверить на ошибки, от которых никто не застрахован. Если Вы не согласны с доказательством теоремы, то просто ищете формальные ошибки, а не просто заявляете, ну раз мне результат не нравиться, значит, он неверный. Далее, наверное, есть разница между «ведет себя как» и «быть таковой»? $e=iq_1+jq_2+kq_3$ не есть «комплексная мнимая единица» хоть до нормирования, хоть после нормирования. Я сам лично ничего не делаю, за меня все делает интегральная формула Коши для матриц. Кватернионы не есть моя область интересов, поэтому мне достаточно безразлично, может ли быть на них построен практический анализ или нет. Данная теорема есть всего лишь логическое продолжение доказанных ранее утверждений (в Вашей теме) для двойных и дуальных чисел. По большому счету ее следует рассматривать как очень хорошую демонстрацию применения интегральной формулы Коши для матриц (о чем Вы меня когда-то просили). Просто, попутно (неожиданно для меня) получился весьма нетривиальный и полезный результат для самих кватернионов. Не скрою, этот непредвиденный факт можно использовать для построения эффективного анализа на кватернионах. Стоит ли этим заниматься или нет, я еще не решил для себя. Понятно, что подобную технику доказательства можно свободно применить и для чисел алгебры Кэли. Только получаться более громоздкие выражения.

Time писал(а):

Цитата:

Важно, не то, как он находится, а то, что квадрат этого кватерниона равен исходному кватерниону. Разве задача вычисления корня состоит не в этом?

Таких кватернионов, квадрат которых будет равен исходному по Вашей (или чьей другой) методике можно найти бесконечное множество. Мне кажется, если уж и отказываться от основной теоремы алгебры, то только в пользу ее модификации, как это имеет место на поличислах, но никак не ради ее замены на бесконечное число корней..

Пожалуйста, найдите хоть один квадратный корень из кватерниона, отличный от тех двух, которые я привел. Из теоремы, существование таковых не предвидится. Если Ваш пример будет корректным (желательно с доказательством), тогда это будет повод пересмотреть доказательство представленной теоремы, что будет вполне конструктивно. Потом, причем тут «отказываться от основной теоремы алгебры». Она как была верна для комплексных чисел, так и останется верной навсегда. Никто ее уже не «закроет». Однако, расширив формулировку теоремы, например, за счет привлечения других числовых систем, можно получать уже специфические результаты, соответствующие этим числовым системам. Т.е. другие условия – другие результаты, только и всего. Но речь не идет даже об этом.

Time писал(а):

Я думаю, что этот вариант сотни раз уже рассматривался. Причем, начиная с самого Гамильтона. Я мало занимался кватернионами с самого начала, однако знаю, сколько сил им посвятили другие. Если б там была бы хоть малейшая возможность построения непротиворечивого анализа, тот бы появился еще в позапрошлом веке. Уверен, что геометрию не обойти. Понимаю, что Вас это не остановит, но конформная группа четырехмерного евклидова пространства с ее 15 независимыми параметрами - это непреодолимое препятствие..

К сожалению, мы можем говорить только о вариантах, представленных в интернете. То, что храниться в неопубликованных архивах, для нас как бы не существует. Однако самый продвинутый кватернионный анализ представлен в Интернете у уже упоминавшегося ранее Энтони Садбери. Только анализ у него чисто теоретический на уровне теорем существования. А здесь получена практическая формула, позволяющая строить практический кватернионный анализ. Видимо, чтобы получить адекватную реакцию на теорему, нужно еще опубликовать ее на английском языке. Кстати, нетривиальные результаты Садбери появились совсем недавно, после столетнего забвения кватернионного анализа. Кватернионами можно не заниматься, если они не являются областью научных интересов. Только это не означает, что это бесполезный объект. Точнее говоря, не интересный. Будут ли полезные приложения в физике для кватернионов или нет для математика не принципиально. Хотя, я вот недавно прочитал, что кватернионы позволяют очень компактно записать уравнения Максвелла для электромагнитного поля. А это уже интересно и с физической точки зрения. А то, что Вы постоянно говорите о параметрических группах конформных преобразований, для меня ничего не значит. Ни в положительном, ни в отрицательном смысле. Т.е. как некий абстрактный факт, который ни на что не влияет. Решения мы принимаем по другим критериям.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Да, посмотрите, свою тему на физическом форуме. В последнем сообщении я опубликовал формулы для Ваших поличисел. Впрочем, уверен, что они Вам не понравятся

Спасибо, посмотрел и как ни будь отвечу. Просто сегодня и в субботу еще по семинару, где должен выступать. Сходу хотел бы заметить, что я просил не формулу для аналитических функций (которая для $H_2$ у Вас вполне естественная получилась, а вот для $C+C$ вроде бы что то не так, но может я ошибаюсь), а формулу для длины единичной окружности в последнем пространстве (вернее, для длины экстремали на индикатрисе).

Ну, Вам трудно угодить . Если Вам не интересна вычисленная интегральная формула Коши для Ваших поличисел, то скажите чему равны экспонента, логарифм и квадратный корень для ВАШЕГО поличисла $p = 1+i2+j3+k4$? А я потом сравню со своими значениями. Потом можно будет сравнить конкретные числовые результаты. Также не плохо было бы сравнить и общие формулы для $f(p)$ Вашего произвольного поличисла $p$. Моя общая формула Вам известна. Что касается того, это формула не совсем «такая», то я не зря несколько раз просил Вас уточнить матричные единицы $i$, $j$ и $k$ для Ваших поличисел, но Вы так и не захотели этого сделать. То, что Вы публиковали по этому поводу ранее, было в нескольких вариантах, первый из которых вообще был неверным. Т.е. я не чувствую Вашего пиетета перед Вашими же матрицами независимых поличисловых единиц. Обычно такое отношение часто служит причиной ошибок. Я не удивлюсь, если, в конечном счете, окажется, что Ваши матричные единицы отличаются, от тех, которые я использовал. Думаю, что никогда не нужно лениться строго формулировать исходные посылки, дабы избежать ненужных проблем в дальнейшем.
Относительно, «формулы для длины экстремали на индикатрисе». В такой формулировке я эту задачу впервые слышу. И, откровенно говоря, совершенно не понимаю. Нельзя ли эту задачу сформулировать более строго или полно? Чтобы было понятно «человеку с улицы».

Time писал(а):

У чисел $C+C$ (извиняюсь, но так я буду обозначать прямую сумму) - экстремали на индикатрисе также все замкнутые (хоть они как правило и не плоские, все равно, могут считаться обобщениями эллисов, вернее, окружностей).

А если я не верю? Вы можете предоставить доказательство?

Time писал(а):

Эти числа также обладают алгебраической замкнутостью (хотя, судя по теме о кватернионах Вас и полное отсутствие заменителя основной теоремы алгебры не смущает). Вот что их отличает от комплексных чисел, так это наличие делителей нуля. А чем именно они Вам не нравятся, или чем мешают? Физикам без световых конусов, с которыми делители нуля запросто ассоциируются, наоборот, совершенно неуютно. :)

Опять не понимаю, о чем Вы говорите? О каком «отсутствии заменителя основной теоремы алгебры»? Зачем мне «заменитель»? «Заменитель» мне не нужен? Какое отношение представленная теорема имеет к «основной теоремы алгебры»? Кстати где, в комплексных числах или кватернионах? Основная теорема алгебры утверждает разложимость алгебраического полинома на линейные множители в $\mathbb{C}$. Если рассматривать алгебраический полином с кватернионными коэффициентами в $\mathbb{H}$, то ситуация может быть другая. Какая, я не знаю. Но, это мне и не надо, так как у меня все преобразования осуществляются в $\mathbb{C}$, а переход в $\mathbb{H}$ осуществляется на основании изоморфизма данной комплексной матрицы соответствующей ей кватерниону.

Поли- и гиперчисла мне «нравятся», иначе я бы ими не занимался. Световые конусы и делители нуля для меня совершенно разные вещи. Для существования одного совершенно не обязательно существование другого. Они могут прекрасно обходится и друг без друга. Просто отношение к произвольным числовым системам у меня как к инструменту. Возьмите любого мастера. У него одних отверток может быть десятки разных штук. Ибо это все инструменты. Так и гиперчисла. Их много и каждые из них могут быть хороши по своему, как натуральные числа. Мне нравиться двойка, Вам семерка, другому три шестерки или три пятерки, а третьему число 123 и т.д. Можно рассмотреть каждое натуральное число с позиций теории чисел. Двойка – единственное четное простое число, 666 это сумма очень интересных квадратов чисел (сейчас быстро не вспомню каких, но таковое свойство единственно в $\mathbb{N}$) и т.д. У каждого натурального числа есть свои уникальные свойства. Но хороши они все в совокупности. Так и поличисла. Среди них явно выделяется поле $\mathbb{C}$, которое может служить инструментом и для других поли- и гиперчисел.

Time писал(а):

Как не крути, а именно в этом (в наличии делителей нуля) и есть основная причина, что классификация Чисел считается оконченной на комплексных. Если Вы также пришли к этому выводу, скорее всего, Вам нет смысла заниматься поличислами и тогда понятна Ваше предрасположение к кватернионам. Кстати, те математики, кто думает так же давно от кватернионов перешли к бикватернионам (то есть к ним же, но над полем комплексных чисел). В соответствующем тем восьмимерном вещественном пространстве, по крайней мере, конформная группа преобразований бесконечномерна. Правда, в них также есть делители нуля, а естественная метрическая функция - неквадратичная, то есть, типично финслерова.. :( Короче, куда не кинь - всюду клин :)

Бикватернионы имеют делители нуля, кстати. А предрасположенность у меня к математической теории алгоритмов, как самоподобным структурам, т.е. меня интересует фрактальность алгоритмов и метаалгоритмов, прежде всего (а не алгоритмы фракталов, хотя и это тоже интересно).

Думаю, что Вы зря расстраиваетесь. Поличисла порядка три и выше хороши, только среди них пока не просматриваются выделенные. То поличисловое пространство, которое Вы выбрали себе, пока всего лишь «одно из». Чтобы убедиться в его исключительности, нужны какие-то общие исследования относительно поличисел, но которые Вам не интересны. Я ведь в последних сообщениях Вашей физической «ветки» начал говорить о серьезных достижениях в этой области, но Вы просто проигнорировали эту тему. А ведь там просматривается инструмент конструктивного построения всех числовых систем любого порядка, что позволит исследовать их с общих позиций и выбрать «лучшее». Но сначала Вам было интересно только $\mathbb{H}_2$, а теперь вот поличисловое пространство четвертого порядка. Но такой «узкий» интерес в поличислах не каждому может понравиться.

[Руст]

Если взять любые гиперчисла ( без требования даже с ассоциативными степенями) с единицей, то плоскость натянутая на единицу и некоторый произвольный элемент х
1) изоморфен комплексной плоскости, если на этой плоскости нет делителей нуля,
2) изоморфен плоскости параболических чисел, если делитель нуля в квадрате дает ноль,
3) изоморфен $H_2$ если в этой плоскости два не параллельных делителей нуля, что их произведение дает ноль.
Эта очевидная теорема. Из него следуют ваши формулы Коши очевидным образом.

Корень квадратный от кватерниона $q$ определяется однозначно с точностью до знака (как и в комплексной плоскости) за исключением случая, когда $q$ отрицательное действительное число. В этом случае любой кватернион вида $q_1i+q_2j+q_3k$ с условием $q_1^2+q_2^2+q_3^2+q=0$.

[Scholium]

Руст писал(а):

Если взять любые гиперчисла ( без требования даже с ассоциативными степенями) с единицей, то плоскость натянутая на единицу и некоторый произвольный элемент х
1) изоморфен комплексной плоскости, если на этой плоскости нет делителей нуля,
2) изоморфен плоскости параболических чисел, если делитель нуля в квадрате дает ноль,
3) изоморфен $H_2$ если в этой плоскости два не параллельных делителей нуля, что их произведение дает ноль.
Эта очевидная теорема. Из него следуют ваши формулы Коши очевидным образом.

Было бы очень познавательно, если бы Вы опубликовали свой вариант доказательства в соседней теме. При всей «очевидности» Вашей теоремы об изоморфности поличисел, это вполне может быть фундаментальным результатом. Ну и «работу» этой теоремы весьма полезно увидеть на примере формулы для кватернионов или октав. Ибо как «подойти» к числам алгебры Кэли на основе представленной теоремы понятно, а как найти подобную формулу Вашим способом – не совсем ясно.

Руст писал(а):

Корень квадратный от кватерниона $q$ определяется однозначно с точностью до знака (как и в комплексной плоскости) за исключением случая, когда $q$ отрицательное действительное число. В этом случае любой кватернион вида $q_1i+q_2j+q_3k$ с условием $q_1^2+q_2^2+q_3^2+q=0$.

Из формулы (2) следует, что если кватернион $q = q_0$ является действительным числом, то в мнимой части результирующего кватерниона возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Т.е. этот случай требует особого рассмотрения. Может быть, что-нибудь можно будет получить за счет предельного перехода, пока не знаю. Но если развивать практический кватернионный анализ, то эту проблему вполне можно будет решить в общем случае. Поэтому, возможное бесконечное количество Ваших корней для действительного (в данном случае, отрицательного) кватерниона, не вызывает противоречия, это просто особый случай.

[Руст]

Цитата:

Было бы очень познавательно, если бы Вы опубликовали свой вариант доказательства в соседней теме. При всей «очевидности» Вашей теоремы об изоморфности поличисел, это вполне может быть фундаментальным результатом.

От ассоциативности степеней я зря отказался. В этом случае теорема скорее не верна. Предположим что оно имеет место. Берем любой элемент х в гиперчислах с ассоциативными степенями (это более слабое условие, чем альтернативность и даже алгебры Ли удовлетворяют этому условию. Тогда $R(x)=\{\sum_i a_ix^i,a_i\in R\}$ является коммутативной ассоциативной подалгеброй гиперчисел, называемый Time ом поличислами. Их структура известна и если нет делителей нуля в плоскости, то найдется число $y=ax+b, y^2=-1$. Этим доказывается, что плоскость изоморфна С. Можно доказывать и сводя $R(x)=R[x]/(f), f=\prod_i (x-x_i)\prod _j (x^2-a_jx-b_j)$.

Цитата:

Поэтому, возможное бесконечное количество Ваших корней для действительного (в данном случае, отрицательного) кватерниона, не вызывает противоречия, это просто особый случай.

При извлечении степени больше двух особыми будут и положительные числа, так как тип "соответствующего мнимого" кватерниона (который относится к плоскости) не определена.

[Scholium]

Руст писал(а):

От ассоциативности степеней я зря отказался. В этом случае теорема скорее не верна. Предположим что оно имеет место. Берем любой элемент х в гиперчислах с ассоциативными степенями (это более слабое условие, чем альтернативность и даже алгебры Ли удовлетворяют этому условию. Тогда $R(x)=\{\sum_i a_ix^i,a_i\in R\}$ является коммутативной ассоциативной подалгеброй гиперчисел, называемый Time ом поличислами. Их структура известна и если нет делителей нуля в плоскости, то найдется число $y=ax+b, y^2=-1$. Этим доказывается, что плоскость изоморфна С. Можно доказывать и сводя $R(x)=R[x]/(f), f=\prod_i (x-x_i)\prod _j (x^2-a_jx-b_j)$.

Это все хорошо, но мне кажется имеет смысл опубликовать полное доказательство, чтобы на него можно было непосредственно ссылаться.

Руст писал(а):

При извлечении степени больше двух особыми будут и положительные числа, так как тип "соответствующего мнимого" кватерниона (который относится к плоскости) не определена.

Я про это и говорил, что если кватернион действительный, то мнимые части функции от него имеют неопределенность ноль на ноль. Оно и понятно, аналитическая функция от действительного числа является действительной, ну, максимум, комплексной функцией. Поэтому расширение полей $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ в тело кватернионов $\mathbb{H}$ вполне может быть неоднозначным.

[Scholium]

Замечания.

1. Кстати, комплексная и кватернионная единицы $i$ полностью эквивалентны, хотя их матрицы не совпадают (так как кватернионы получаются процедурой удвоения Кэли-Диксона комплексных чисел (см., например, В.В. Сильвестров. «Системы чисел»)), поэтому их можно не различать. Более того, с учетом свойств кватернионной матрицы $f(H)$ из (3), представленной своими компонентами (17)-(20) мы можем записать для нашей кватернионной функции

$f(q) = f_{11}(H) + f_{12}(H) j$, (89)

где $f_{11}(H)$ и $f_{12}(H)$ – комплексные функции, которые в виде (89), с учетом представления (4) образуют искомый кватернион $f(q)$, так как $i j = k$.

В развернутом виде выражение (89), с учетом (8), примет вид

$f(q) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) f(\lambda) + \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{q_1}{| q - q_0 |} \right ) f(\overline{\lambda}) + \left ( \frac{q_3 - i q_2}{2 | q - q_0 |} \left ( f(\lambda) - f(\overline{\lambda}) \right ) \right ) j$, (90)

где, напомним, $\lambda = q_0 + i\,| q - q_0 |$, $\overline{\lambda} = q_0 - i\,| q - q_0 |~~\in \mathbb{C}$ для кватерниона $q = q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3 \in \mathbb{H}$, $q_0, q_1, q_2, q_3 \in \mathbb{R}$, $q \neq q_0$, причем модуль $\,| q - q_0 |~~= \sqrt{q_1^2+ q_2^2+ q_3^2}$.

В краткой записи, с учетом сокращений (23)-(24) и (26)-(27) имеем

$f(q) = a f(\lambda) + b f(\overline{\lambda}) + (c - i d) \left ( f(\lambda) - f(\overline{\lambda}) \right ) j$, (91)

откуда, после очевидных преобразований, с учетом тождества $z j = j~\overline{z}$, $z \in \mathbb{C}$, получаем

$f(q) = \frac{f(\lambda) + f(\overline{\lambda})}{2} + \frac{q-q_0}{| q - q_0 |} \frac{f(\lambda) - f(\overline{\lambda})}{2 i}$. (92)

Формулу (92) можно также получить непосредственно из выражений (2) или (2а).

Преимущество записи (92), перед эквивалентными ей выражениями (2) или (2а), в том, что она не содержит операторы $\text{Re}$ и $\text{Im}$.

Формулы вида (90)-(92) можно уже пытаться использовать для определения аналитического дифференциала от кватернионной функции.

2. Обозначим векторную единицу кватерниона

$\mathcal{E} = \frac{q-q_0}{| q - q_0 |}$. (93)

Тогда (2) запишется в виде

$f(q) = \text{Re} \left ( f(\lambda) \right ) + \mathcal{E}~\text{Im} \left ( f(\lambda) \right )$, (94)

причем, как легко заметить, с учетом (62),

$\mathcal{E}^2 = \frac{(q-q_0)^2}{| q - q_0 |^2} = \frac{q_0^2~- | q |^2}{| q - q_0 |^2} = -1$. (95)

Мы видим, что правая часть выражения (94) с учетом свойства (95) представляет собой запись некоторого псевдокомплексного значения комплексной функции

$f(\lambda) = \text{Re} \left ( f(\lambda) \right ) + i~\text{Im} \left ( f(\lambda) \right )$. (94)

Таким образом, используя данный изоморфизм между $f(q)$ и $f(\lambda)$, мы можем предложить следующую процедуру вычисления комплексной аналитической функции $f(z)$для произвольного кватерниона, не равного тождественно действительному числу. А именно:

1. Заменяем в кватернионе $q \equiv q_0 + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} | q - q_0 |$ величину $\mathcal{E}$ из (93) мнимой единицей $i$, т.е. замещаем кватернион $q$ комплексным значением $\lambda = q_0 + i\,| q - q_0 |$.
2. Вычисляем комплексную функцию $f(\lambda)$.
3. В полученном комплексном значении $f(\lambda)$ заменяем мнимую единицу $i$ на $\mathcal{E}$ из (93).
4. Полученное выражение будет кватернионом $f(q)$.

Другими словами, процедура вычисления аналитической функции от кватерниона

$q \to f(q)$ (95)

эквивалентна процедуре

$q \to \lambda \to f(\lambda) \to f(q)$. (96)

Таким образом, процедура (96) является эквивалентной сформулированной и доказанной теореме, которая определяет способ осуществления процедуры (95), что еще раз подчеркивает значимость комплексных чисел для кватернионов. Тем не менее, для нескольких кватернионов выражения (95)-(96) уже не будут иметь места в силу различности их векторных единиц (93).

Следует сказать, что процедура (96) известна уже достаточно давно, см., например, Каратаев Е.А. «Элементарные функции от матриц», Москва, 2001. Однако, к сожалению, автор не стал развивать полученную идею.

3. Из формулы (2) или (2а) следует, что если кватернион является действительным числом, то в мнимой части результирующего кватерниона возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Т.е. этот случай требует особого рассмотрения. Поэтому, например, возможно бесконечное количество квадратных корней из минус единицы, что следует из (95)

$\sqrt{-1} = \frac{i q_1 + j q_2 + k q_3}{\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}$, (97)

для любых $q_1, q_2, q_3 \in \mathbb{R}$, таких что, знаменатель (97) не равен нулю.

Действительно, аналитическая функция от действительного числа является действительной или комплексной функцией. Поэтому расширение значений из полей $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ в тело кватернионов $\mathbb{H}$ вполне может быть неоднозначным.

4. Аналогично могут быть эффективно вычислены поли- и гиперчисловые аналитические функции от произвольных числовых систем. См. Интегральная формула Коши для комплексных гиперболических или двойных чисел, Интегральная формула Коши для комплексных параболических или дуальных чисел или Интегральная формула Коши для поличисел Павлова. Также, на основе представленного метода, можно попытаться вычислить интегральную формулу Коши для чисел алгебры Кэли (октав или октонионов). Выходит, что комплексные числа это «пуп Земли» всех числовых систем .

5. Как хорошо видно, зная действительную и мнимую части некоторой комплексной аналитической функции либо значения этой функции для двух заданных сопряженных комплексных чисел, можно легко вычислить значение этой функции на любом кватернионе. Отсюда можно уже пытаться строить кватернионное дифференциальное и интегральное исчисления с ориентацией на практические вычисления.


Аналитическая производная и дифференциал функции от одной кватернионной переменной.

Analytical Derivative and Differential of Function from a Quaternion.

Процедура (96) может быть записана в виде

$\begin{matrix} q & \to & \lambda \to f(\lambda) & \to & f(q) \\ & \mathcal{E} := i & & i := \mathcal{E} \end{matrix}$ (96a)

либо

$f(q | \begin{matrix} \\ \mathcal{E} := i \end{matrix}) \left | \begin{matrix} \\ i := \mathcal{E} \end{matrix} \right .$ (96b)

Эти записи выражают изоморфизм между комплексной мнимой единицей $i \in \mathbb{C}$ и векторной единицей кватерниона $\mathcal{E} \in \mathbb{H}$ из (93), что позволяет манипулировать с кватернионами также как и с комплексными числами, при условии, конечно, что рассматривается только один кватернион и он не равен тождественно действительному числу. Зато выражения (96a) или (96b) позволяют легко обобщить понятие производной $\frac{d}{d q} f(q)$ для аналитической функции кватерниона $f(q)$. Действительно, заменяя формально в этих выражениях $f(*)$ на $\frac{d}{d *} f(*)$, получаем

$\begin{matrix} q & \to & \lambda \to \frac{d}{d \lambda} f(\lambda) & \to & \frac{d}{d q} f(q) \\ & \mathcal{E} := i & & i := \mathcal{E} \end{matrix}$ (98)

либо

$\left . \frac{d}{d q} f(q | \begin{matrix} \\ \mathcal{E} := i \end{matrix}) \right | \begin{matrix} \\ i := \mathcal{E} \end{matrix}$ (98a)

Т.е., для одного кватерниона вполне определена его производная, которая формально совпадает с производной ее аналитической функции в $\mathbb{C}$. Например, для кватерниона $q \in \mathbb{H}$ и аналитической функции $f(z) \in \mathbb{C}$, имеем

$\frac{d}{d q} q^n = n q^{n-1}$, (99)

$\frac{d}{d q} e^q = e^q$, (100)

$\frac{d}{d q} \text{tg}(q) = 1 + \text{tg}^2(q)$ (101)

и т.д. и т.п.

Понятно, что, скажем, для производной произведения двух кватернионных функций $u(q)$ и $v(q)$ от одной кватернионной переменной, мы также можем записать выражение вида

$\frac{d}{d q} u v = \frac{d u}{d q} v + u \frac{d v}{d q}$, (102)

с сохранением порядка сомножителей (из-за некоммутативности кватернионов). Однако частная производная от кватернионной функции нескольких кватернионных переменных по одной кватернионной переменной уже не будет непосредственно следовать из процедуры (98) или (98a), так как разным кватернионам соответствуют разные кватернионные векторные единицы $\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2, . . . \in \mathbb{H}$, для которых процедура вида (98)-(98a) уже не имеет места. Хотя, может быть, эту процедуру можно будет применять к функции от нескольких кватернионных переменных, если последовательно «замораживать» все кватернионные переменные, кроме одной.

Такого рода производную от аналитической функции одной кватернионной переменной мы будем называть аналитической производной, а формальное выражение

$d f(q) = \frac{d}{d q} f(q)dq$ (103)

– аналитическим дифференциалом кватернионной функции.


Частная аналитическая производная и дифференциал функции от нескольких кватернионных переменных.

Partial Analytical Derivative and Differential of Function from Several Quaternions.

Процедуры (96а) и (98) можно также понимать как

$\begin{matrix} q := \lambda & \tof(\lambda) & \to & f(q) \\ & & \lambda := q \end{matrix}$ (105)

и

$\begin{matrix} q := \lambda\to\frac{d}{d \lambda} f(\lambda) & \to & \frac{d}{d q} f(q) \\ & \lambda := q \end{matrix}$ (106)

Отсюда уже легко распространить (105) и (106) на случай нескольких кватернионных переменных. А именно

$\begin{matrix} q_k := \lambda_k & \tof(\lambda_1, \lambda_2, . . . , \lambda_n) & \to & f(q_1, q_2, . . . , q_n) \\ \forall k \in \overline{1 . .n} & & \lambda_k := q_k , \\ & & \forall k \in \overline{1 . .n} \end{matrix}$ (107)

и

$\begin{matrix} q_k := \lambda_k & \to\frac{\partial}{\partial\lambda_j} f(\lambda_1, \lambda_2, . . . , \lambda_n) & \to & \frac{\partial}{\partialq_j} f(q_1, q_2, . . . , q_n) \\ \forall k \in \overline{1 . .n} & & \lambda_k := q_k , \\ & & \forall k \in \overline{1 . .n} \end{matrix}$ (108)

Такого рода производные от аналитической функции нескольких кватернионных переменных мы будем называть частными аналитическими производными, а формальное выражение

$d f(q) = \sum \limits_{j = 1}^n \frac{\partial}{\partialq_j} f(q_1, q_2, . . . , q_n)dq_j$ (109)

– полным аналитическим дифференциалом кватернионной функции нескольких переменных.

Совершенно аналогично можно определить интегралы от кватернионных функций.

Примеры.

$\frac{\partial}{\partialq_1} \left (i q_1^3 j q_2 k \right) = 3 i q_1^2 j q_2 k$, (110)

и

$\frac{\partial}{\partialq_2} \left (i q_1^3 j q_2 k \right ) = i q_1^3 j k = i q_1^3 i$. (111)

Таким образом, мы практически полностью распространили комплексный анализ на кватернионы. Можно сказать, что для аналитического дифференциального и интегрального исчисления на кватернионах нет принципиального различия от комплексных чисел, если не брать во внимание необходимость сохранять порядок следования кватернионных множителей.

[Scholium]

Итак, из факта, что кватернион $q \equiv q_0 + \frac{q - q_0}{| q - q_0 |} | q - q_0 |~= q_0 + \mathcal{E} | q - q_0 |$ при $q \neq q_0$, где $\mathcal{E} = \frac{q-q_0}{| q - q_0 |}$ и условия $\mathcal{E}^2 = -1$ следует замечательная теорема:

Теорема об изоморфизме комплексного и кватернионного анализа.

Theorem about Isomorphism of the Complex and Quaternion Analysis.

Анализ на кватернионах изоморфен анализу в комплексной плоскости с точностью, до порядка множителей кватернионов и мнимых частей кватерниона в H и соответствующего ему комплексного числа в C.

Доказательство следует из условий (93), (95) и процедуры изоморфизма (96), (98) и (105)-(109).

Более того, аналогичная теорема верна и для октонионов (октав или чисел алгебры Кэли).

Действительно, пусть октава $w \in \mathbb{O}$ равна

$w = w_0 + w_1 i_1 + w_2 i_2 + w_3 i_3 + w_4 i_4 + w_5 i_5 + w_6 i_6 + w_7 i_7 = \sum \limits_{k = 0}^7 w_k i_k$, (112)

где $i_0 = 1$, $w_k \in \mathbb{R}$, $\forall k \in \overline{0 . .~7}$, $i_k$ - октонионные единицы.

Тогда, для

$\mathcal{K} = \frac{w - w_0}{| w - w_0 |}$ (113)

имеем

$w \equiv w_0 + \mathcal{K} | w - w_0 |$, (114)

причем

$\mathcal{K}^2 = \frac{\left ( \sum \limits_{k = 1}^7 w_k i_k \right ) \left ( \sum \limits_{l = 1}^7 w_l i_l \right )}{\sum \limits_{k = 1}^7 w_k^2} = \frac{\sum \limits_{k = 1}^7 (w_k i_k)^2 + \sum \limits_{1=k<l=7} w_k w_l (i_k i_l + i_l i_k)}{\sum \limits_{k = 1}^7 w_k^2}$. (115)

В силу условия

$i_k i_l + i_l i_k = 0$, $\forall 1 = k < l = 7$ (116)

для октонионов (см., например, John C. Baez. The Octonions. Dep. of Math. Univ. of California. 2001 и очевидного равенства

$\sum \limits_{k=1}^7 (w_k i_k)^2 = -\sum \limits_{k=1}^7 w_k^2$, (117)

получаем, что

$\mathcal{K}^2 = -1$. (118)

Таким образом, на базе условия (118) для октонионов, получаем процедуру изоморфизма октав вида (114) и соответствующих им комплексных чисел вида

$\lambda = w_0 + i | w - w_0 |~\in \mathbb{C}$, (119)

а также аналогичные условия вида (105)-(109), где вместо кватернионов $q$ берутся октавы $w$. Следует только помнить об некоммутативности и неассоциативности октав, из чего следует необходимость сохранять порядок октонионных множителей и скобки, указывающие порядок вычисления октонионных произведений. Тем самым мы доказали следующую теорему

Теорема об изоморфизме комплексного и октонионного анализа.

Theorem about Isomorphism of the Complex and Octonion Analysis.

Октонионный анализ изоморфен комплексному анализу с точностью до порядка множителей, порядка следования скобок, в произведении октонионных множителей и мнимых частей октавы в $\mathbb{O}$ и соответствующей ей комплексного числа в $\mathbb{C}$.

Соответственно, аналогичные теоремы верны для любых гиперкомплексных чисел, для которых выполняются условия вида (113), (114) и (118), например, для седенионов (Sedenions) (обладающие свойством степенной ассоциативности), которые получаются процедурой удвоения Кэли-Диксона для октав. Для них также выполняются равенства вида (112)-(119) и условия вида (105)-(109), где вместо кватернионов $q$ берутся седенионы $s$, поэтому верна

Теорема об изоморфизме комплексного и седенионного анализа.

Theorem about Isomorphism of the Complex and Sedenion Analysis.

Седенионный анализ изоморфен комплексному анализу с точностью до порядка множителей, порядка следования скобок, в произведении седенионных множителей и мнимых частей седениона в $\mathbb{S}$ и соответствующего ему комплексного числа в $\mathbb{C}$.

Похоже, что свойство степенной ассоциативности выполняется и для всех гиперчисел, получаемых процедурой удвоения, после седенионов. Возникают только дополнительные подпространства делителей нуля. Ибо для всех них выполняются условия вида (112)-(119), а потому должен быть изоморфизм с комплексным анализом, что требует минимум степенной ассоциативности.

P.S. Поскольку нет возможности отредактировать неточности в формулировках прошлых сообщений, то вот ссылка на аналогичные публикации на другом математическом форуме и соответствующий pdf-файл.

[Scholium]

P.P.S. Нашел подтверждение высказанному предположению о сохранении свойства степенной ассоциативности для всех алгебр, получаемых удвоением Кэли-Диксона. См. С.В. Людковский. «Дифференцируемые функции чисел Кэли-Диксона» (Гиперкомплексные числа в геометрии и физике 1(3), 2005).

[Time]

Прошу прощения за вынужденный перерыв в переписке. Один за одним идут семинары, совещания и собрания, которые я сам же и инициировал. К тому же, как я с самого начала говорил, мне тема анализа на кватернионах совершенно не представляется перспективной. В сфомулированных Вами выше утверждениях, анализ над алгебрами кватернионов и октав изоморфен анализу над комплексными числами я вижу только дополнительное подтверждение этой своей позиции.
У нас, кстати, в ближайшую субботу очередной семинар, где первым номером будет доклад как раз по кватернионному анализу:

Цитата:

В субботу, 5 июня состоится очередной семинар
"Гиперкомплексные числа в геометрии и физике".

Доклады:
1) Д. Брюхов, "Аксиальносимметричное обобщение системы Коши-Римана и модифицированный Клиффордов анализ";
2) Д. Павлов, Отчет о семинаре-совещании в МГТУ им. Баумана;
3) А. Скляров, "Об особенностях пирамид Гизы и Дашура".

Семинар состоится на загородной базе.
Приглашаются все заинтересованные тематикой семинара и наших исследований. О намерении принять участие в семинаре просьба сообщить по e-mail [e-mail]

Приехать не хотите?