Уравнение или тождество?

[errnough]

2 Xaositect

Давайте по порядку. Сначала вопрос: $y(3)=3$ или $y = f(3)$.
Наше исходное "уравнение" $x=3$. Сразу заметим, что записано оно задом наперед. Обычно слева пишут символ $y$ или $f(x)$, а справа — символ $x$.

Рассмотрим привычное уравнение: $f(x)=3x+2$.
Вот такая диаграмма:

$$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \leftarrow & X\ar[ddr]^x &\\& & & & & &\\f(x)& & & = & &\;3x+2 &}$$

Нет ли у Вас возражений по диаграмме как иллюстрации функции $f(x)=3x+2$ ?

[Xaositect]

errnough в сообщении #319711 писал(а):

Рассмотрим привычное уравнение: $f(x)=3x+2$.

Не такое оно и привычное :) Вот, скажем, $x^2 - 2x + 1 = 0$ гораздо привычнее.

А по поводу диаграммы - по моему мнению, она слабо соответствует уравнению.
Уравнение $f(x) = g(x)$, на мой взгляд, лучше представляет диаграмма
\xymatrix{ & x\ar[dl]_{f}\ar[dr]^{g} & & \in & X & \\{f(x)} & = & {g(x)} & \in & Y}

У нас $g(x) = 3x+2$ (кстати, это равенство - не уравнение, это определение функции $g$)

\xymatrix{ & x\ar[dl]_{f}\ar[dr]^{x\mapsto 3x+2} & &\in & X \\{f(x)} & = & {3x+2} & \in & Y}

В любом случае, диаграмма - это только наглядное представление.

-- Сб май 15, 2010 19:37:52 --

Основная претензия к Вашей диаграмме - то, что на ней не указаны две функции, которые должны быть.

[errnough]

Ну хорошо, я понял возражение, надо найти какие-то общие основания, на которых согласимся. Давайте начнем с определения функции. Устроит определение Виноградова? Или свое предложите?

[Xaositect]

errnough в сообщении #319715 писал(а):

Ну хорошо, я понял возражение, надо найти какие-то общие основания, на которых согласимся. Давайте начнем с определения функции. Устроит определение Виноградова? Или свое предложите?

Функцией назыввается соответствие $f$, которое каждому элементу $x$ множества $X$ сопопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$.
$X$ при этом называется областью определения, а $Y$ - (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon X\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на $X$ и принимающая значения в $Y$.

[errnough]

.
С определением согласен, тогда давайте экономно и кратчайшим путем двигаться вперед.

Xaositect в сообщении #319714 писал(а):

Основная претензия к Вашей диаграмме - то, что на ней не указаны две функции, которые должны быть.

Правильно, я хочу точно установить сначала, что есть одна функция. Просмотрите эти шаги, и если нет возражений по такому ходу рассуждений, я напишу дальше.
1. Обсуждаемое "уравнение" $x=3$.
2. В пункте 1. по обе стороны от знака равенства две функции: пусть $f(x)$ и $g(x)$.
3. Соответственно, слева от знака равенства: $f(x)=x$, и справа от знака равенства: $g(x)=3$.

Мной рассматривалась "функция" справа, $g(x)=3$. По этой функции я утверждаю: верная ее запись $y(3)=3$.

[Xaositect]

errnough в сообщении #319724 писал(а):

.
С определением согласен, тогда давайте экономно и кратчайшим путем двигаться вперед.

Xaositect в сообщении #319714 писал(а):

Основная претензия к Вашей диаграмме - то, что на ней не указаны две функции, которые должны быть.

Правильно, я хочу точно установить сначала, что есть одна функция. Просмотрите эти шаги, и если нет возражений по такому ходу рассуждений, я напишу дальше.
1. Обсуждаемое "уравнение" $x=3$.
2. В пункте 1. по обе стороны от знака равенства две функции: пусть $f(x)$ и $g(x)$.
3. Соответственно, слева от знака равенства: $f(x)=x$, и справа от знака равенства: $g(x)=3$.

Мной рассматривалась "функция" справа, $g(x)=3$. По этой функции я утверждаю: верная ее запись $y(3)=3$.

Я с этим не согласен. $g(x) = 3$ - это запись того, что функция $g$ равна 3 для любого $x$ из области определения (или для какого-то конкретного ранее ввдеденного $x$, но у нас не тот случай). А $y(3) = 3$ - это запись того, что функция $y$ (которой, кстати, раньше не было) равна 3, если ее аргумент равен 3.

[errnough]

Да, верно, я ошибся в записи, то что мной утверждается:
$g(x) = 3$ правильно записывается $g(3) = 3$.

Xaositect в сообщении #319726 писал(а):

$g(x) = 3$ - это запись того, что функция равна 3 для любого из области определения ... А $y(3) = 3$ - это запись того ...

Это именно то, что предстоит рассмотреть, и в качестве аргумента до рассмотрения выступать не может. Поэтому, с Вашего позволения, я отвожу эти аргументы.

В дальнейшем рассмотрении мы не сможем обойтись без согласия по вот такому вопросу.

Для отдельной "функции" записи $g(x) = 3; \;\; g(a) = 3; \;\; g(\phi) = 3; \;\;\dots$
все равносильны. Другими словами, вместо знака икс я могу поставить любой знак из любого алфавита. Вы согласны с этим утверждением? Если нет, приведите обоснование. Почему должен использоваться знак икс в данном случае, если предыстории(контекста) у записи нет?

[Xaositect]

errnough в сообщении #319733 писал(а):

все равносильны. Другими словами, вместо знака икс я могу поставить любой знак из любого алфавита. Вы согласны с этим утверждением? Если нет, приведите обоснование. Почему должен использоваться знак икс в данном случае, если предыстории(контекста) у записи нет?

Любой знак, с которым пока не ассоциировано значение, либо который означает переменную, пробегающую мнжество $X$.
Да, можете написать вместо $x$ любой знак, который до этого не использовался. Этот знак будет переменной с областью значений в $X$. То есть $a$ и $\phi$ можете поставить, а $3$ - нет.

[AD]

AD в сообщении #319415 писал(а):

не имеющее с общепринятым сейчас (последние ~100 лет) в математике определением ничего общего.

Дайте, пожалуйста ссылку на такое определение. Только проверяйте, что ссылки доступны, а то прошлая Ваша дохлая.[/quote]Н-да, действительно, дохлая. Ну тогда вот так.
А определение это, если Вам еще интересно, вот даже в Википедии есть:

Цитата:

* $f\subseteq X\times Y$,
* $\forall(x,y)\in f,\ \forall(x',y')\in f,\ x = x'\to y=y'$,
* $\forall x\in X\ \exists y\in Y: (x,y)\in f$.

[errnough]

Я рад, что Вы строите рассуждения по законам логики, действительно, признав произвольность в выборе знака, всё равно необходимо снять неоднозначность, установив уже из внешнего контекста правило выбора из произвольного множества.

Пусть внешним контекстом будет текст определения функции. Тогда знак внутри круглых скобок это «знак, который ... означает переменную, пробегающую множество $X$.» Подтверждаю согласие с этим.

Xaositect в сообщении #319735 писал(а):

То есть $a$ и $\phi$ можете поставить, а $3$ - нет.

А это мы еще посмотрим... :)

Давайте, чтобы сбить психологическую инерцию и оставить только логику, сменим знак икс на знак «a». Запишем внешний контекст, который станет одной из исходных посылок. Это будет Ваше определение функции:

Функцией называется соответствие $f$, которое каждому элементу $a$ множества $A$ сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. $A$ при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon A\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на $A$ и принимающая значения в $Y$.

Приведенному выше определению должен однозначно соответствовать выбор знака «a» внутри круглых скобок, и соответствующая запись будет тоже однозначной:

$$g(a) = 3$$

Согласны?

AD в сообщении #319737 писал(а):

А определение это, если Вам еще интересно, вот даже в Википедии есть:

Мда. ну.... хм. Пожалуй, не смогу избавиться от подозрения, что символьная запись без единого слова из метаязыка может быть однозначно истолкована. К сожалению, там где нет однозначности, там противоречие.

Мне интересно, почему так не любят эту энциклопедию Виноградова здесь? Директор Математического института им. В. А. Стеклова, возглавлял который 50 лет, написал настолько бредовую энциклопедию? Может, не мог найти толковых авторов в редакционную коллегию? Это самый обширный математический контекст, написанный одним коллективом уважаемого института. Кому, как не им доверять в отсутствии порочного круга в определениях и согласованности различных разделов математики, начиная с единообразного типографического оформления, и заканчивая едиными символьными обозначениями, и семантическими смыслами... Кому? Википедии? Это отличный сборник ключевых слов запрашиваемой по теме. При полном отсутствием логических связей. (Линк на страницу это не логическая связь). Телефонная книга.

[Xaositect]

errnough в сообщении #319752 писал(а):

Согласны?

Согласен, согласен.

-- Сб май 15, 2010 21:23:06 --

errnough в сообщении #319752 писал(а):

Мне интересно, почему так не любят эту энциклопедию Виноградова здесь?

Потому что энциклопедия - это справочник. А справочники предназначены для того, чтобы вспоминать то, что уже знал или для того, чтобы посмотреть список фактов об уже известных понятиях, а не для того, чтобы усваивать новые понятия. Так мне кажется.

[errnough]

В нашем контексте я построю обсуждаемые записи для двух функций, $g(a)=2a+2$ и $g(a)=3$. Для конструирования записи второй "функции" будет использован тот факт, что если множество $W$ состоит из одного элемента $w$, то этот факт математически записывается в виде тождества $W \equiv \{w\}$.

Для $g(a)=2a+2$

$$\xymatrix@=5pt{\{y\} \ar[dd] & &\{a\} \ar[dd]&\\\\Y \ar[dd]&\leftarrow & A \ar[dd]&\\&\\y\ar[dd]_{y} & = &2a+2\ar[dd]^a &\\& & & & & &\\g(a)& =&2a+2 &}$$

Для $g(a)=3$

$$\xymatrix@=5pt{\{y\} \ar[dd] & & &\\\\Y \ar[dd]&\leftarrow & \{3\} \ar[dd]&\\&\\y\ar[dd]_{y} & = &3\ar[dd]^3 &\\& & & & & &\\g(3)& =&3 &}$$

[Xaositect]

И Вы снова путаете функцию-константу $\lambda a. 3$ и значение $3$.
Никакой особой разницы между функциями $g(a) = 2a + 2$ и $g(a) = 3$ нет:

$g(a) = 2a + 2$:
$\xymatrix{ Y & & A\ar[ll]^{g}\\ \rotatebox{90}{$\in$} & & \rotatebox{90}{$\in$}\\2a + 2 & \rotatebox{180}{$\mapsto$} & a}$

$g(a) = 3$:
$\xymatrix{ Y & & A\ar[ll]^g\\ \rotatebox{90}{$\in$} & & \rotatebox{90}{$\in$}\\ 3 & \rotatebox{180}{$\mapsto$} & a}$

И я не вижу смысла в большинстве стрелок Ваших диаграмм.

[errnough]

А Вы проследите сверху вниз появление знака в круглых скобках $g(\Box)$ для обоих примеров. В одном случае появляется знак «a», в другом случае появляется знак «3». Могу привести еще примеров, могу расписать пошагово в терминах Если-То-Иначе-КонецЕсли.

Разве Вы не видите по какому алгоритму появляются произвольные знаки алфавита в круглых скобках записи типа $g(\Box)$? Вы, напоминаю, согласились, что этим управляет правило из контекста определения функции.

[Xaositect]

Цитата:

Разве Вы не видите по какому алгоритму появляются произвольные знаки алфавита в круглых скобках записи типа $g(\Box)$? Вы, напоминаю, согласились, что этим управляет правило из контекста определения функции.

Нет, я не вижу у Вас закономерностей. Распишите подробнее.

Вы ведь программист? Неужели Вы не видите, что эти функции имеют одинаковую структуру?

int g1(int a)
{
  result = 2*a + 2;
  return result;
}

int g2(int a)
{
  result = 3;
  return result;
}