Уравнение или тождество?

[AD]

Не всякий символ "$3$" обозначает некоторую функцию.

На Вашей картинке $g=h$, и никаких проблем нет.

errnough в сообщении #319198 писал(а):

в соответствии с определением термина уравнение из Виноградова

В Виноградове нет определения термина "Уравнение". В энциклопедиях вообще нет определений. Там есть только размахивание руками.

-- Пт май 14, 2010 12:16:02 --

Не всякий символ "$3$" обозначает некоторую функцию.

На Вашей картинке $g$ и $h$, и никаких проблем нет.

errnough в сообщении #319198 писал(а):

в соответствии с определением термина уравнение из Виноградова

В Виноградове нет определения термина "Уравнение". В энциклопедиях вообще нет определений. Там есть только размахивание руками.

-- Пт май 14, 2010 12:16:38 --

errnough в сообщении #319198 писал(а):

здесь правда, отвечающие разошлись во мнениях и привели противоречивые записи

Никаких расхождений не было. Где расхождения? Ну? Где?

[Maslov]

errnough в сообщении #319198 писал(а):

Ваше объяснение, очевидно, несостоятельно.

$2 + x = 5$ -- это уравнение ($F: x \to 2 + x,~ \Phi: x \to 5$)

Равносильным преобразованием получаем из него другое уравнение:
$x = 3~ (F: x \to x, ~ \Phi: x \to 3)$

Решая это уравнение, получаем
$x \in \{3\}$

А какое отношение к этому имеет нарисованный Вами лес, я не понимаю.

[errnough]

2 AD

(Оффтоп)

Я опасаюсь вступать в обмен мнениями с Вами. Причина:
В соответствии с правилами научного форума,
1. оскорбления в адрес участников дискуссии, по пункту 1.д здесь нарушением не являются.
2. Невыполнение требований модераторов и администраторов форума по пункту 1.ж нарушением является.
3. За нарушением следуют санкции, например, пункт 2.д: Временное или постоянное закрытие темы с возможным запретом данному пользователю поднимать обсуждение того же вопроса (круга вопросов) на форуме. В случае закрытия темы или перемещения ее в карантин пользователю категорически запрещается создавать новую тему, дублирующую или логически продолжающую исходную, без согласования с модератором раздела или администратором.

Исходя из этих правил, Вы можете, как модератор, потребовать признать Вашу правоту в вопросе об уравнении, и после моих, даже аргументированных возражений, закрыть тему по пункту 1.ж.

Кроме того, вынеся эту тему из общего форума Математика, Вы статус всех утверждений сделали просто личными мнениями, доказывать которые нет нужды. Теперь это вопрос только личного понимания профессиональной этики, по которой математик утверждает только то, что может математически доказать. Мне же интересны были только обоснованные утверждения и корректное обсуждение.

-- Пт май 14, 2010 12:19:55 --

2 Maslov

Вопрос стоял, по сути, так:
$2 + x = 5\;,$ — это уравнение?
$x = 3\;,$ — это уравнение?
-----------------------
Вы ответили "да" в обоих случаях. Тогда мной проведено рассуждение, в исходных посылках которого определение из энциклопедии Виноградова и Ваше утверждение "да", и из рассуждения следует, что правая часть, состоящая из одного знака «3», это символ, а не число, и скрывается под этим символом функция.

Мне пришлось немного потрудится и нарисовать "лес", т.е. диаграмму, показывающую логический тупик «порочный круг», куда Вы зашли с таким утверждением "да".

Правда, сначала я хотел просто указать на противоречие, но понял, что противоречие для Вас слабый аргумент, поскольку Вы его даже аккуратно оформили в пункты. Оно заключалось в том, что знак и символ это разные вещи. Один объект в математике может подразумеваться под разными знаками. Например, объект «число пять» может быть обозначено в десятичной системе знаком «5», а в римской знаком «V», и никаких противоречий, пока указан контекст: десятичная система или римская запись. Но под одним символом в математике не может подразумеваться разные объекты, иначе — противоречие. Но контекст-то здесь уникально короткий и единый: запись корня уравнения, запись уравнения, запись равенства, правила упрощения численных выражений. Поскольку я вижу, что утверждение «$2 + x = 5\;,$ — это уравнение» ложно, то не составляет труда показать это с разных сторон разными способами. Труд только изложить это понятно. Возможно, мне не удалось.

[Maslov]

Я уже писал, что, в зависимости от контекста, запись $x = 3$ может обозначать уравнение или решения этого уравнения (т.е., множество, состоящее из одного элемента). Неоднозначность, если она и возникает, снимается контекстом или явным указанием.

errnough в сообщении #319220 писал(а):

Но под одним символом в математике не может подразумеваться разные объекты, иначе — противоречие.

Нет никаких противоречий. Символов мало, а объектов -- много, поэтому один и тот же символ в разных контекстах может обозначать совершенно разные вещи.
Запись '12' может означать $12_{10}$-й член натурального ряда, если рассматривать её как запись числа по основанию 10, или 5-й, если рассматривать его как запись числа по основанию 3.
Символ $\int$ также может, в зависимости от контекста, означать с десяток разных интегралов.
Никого это не смущает (кроме Вас).

[errnough]

Maslov в сообщении #319248 писал(а):

запись может обозначать уравнение или решения этого уравнения (т.е., множество, состоящее из одного элемента).

Из этого следует, что одна запись $x=3$ есть общий термин, равенство. У него есть минимум две реализации, уравнение и тождество. Вы называете "решением уравнения" тождество $x=3$? Множество, состоящее из одного элемента имеет другую форму записи.

[Maslov]

errnough в сообщении #319264 писал(а):

Вы называете "решением уравнения" тождество $x=3$?

Нет. Я утверждаю, что когда решение уравнения записывается в форме $x = 3$, то это просто другая форма записи для $x \in \{3\}$.

[AD]

errnough в сообщении #319220 писал(а):

Кроме того, вынеся эту тему из общего форума Математика, Вы статус всех утверждений сделали просто личными мнениями, доказывать которые нет нужды.

Это Вы сделали статус всех утверждений таковым, заявив, что математика Вас не интересует:

errnough в сообщении #319085 писал(а):

Я про житейскую логику.

Я лишь привёл тему в соответствие с Вашими заявлениями. Впрочем, не бойтесь, я не особо собираюсь тут с Вами дискутировать. Не о чем.

[errnough]

Maslov в сообщении #319266 писал(а):

когда решение уравнения записывается в форме $x = 3$, то это просто другая форма записи для $x \in \{3\}$.

Когда уравнение, записываемое в форме $x = 3$, имеет решение, записываемое в форме $x = 3$...
Фактически, это то, что Вы сказали.

В этом просматривается противоречие (неоднозначность), когда под идентичной записью не просто в одном контексте, а в одном предложении, подразумевается два совершенно разных объекта: элемент(корень) и равенство. Впрочем, противоречие (или неоднозначность записи) это для Вас слабый аргумент... Если бы в одном месте предложения $\Phi$ имело значение аргумента, а через пару слов $\Phi$ уже была константа, это конечно, вызвало бы бурю восторга или негодования, это уж кому как по вкусу, но незамеченным такое не осталось даже в школе...

Пойдем с другой стороны:
В нашем случае две записи $x = 3$ могут обозначать разные объекты тогда, когда объекты различаются областью $A$ значений, допускаемых для неизвестных. Когда Вы утверждали, что $x = 3$ суть запись уравнения, то явно не указали области $A$ значений, допускаемых для неизвестных по обе стороны от знака равенства. Про одну сторону, правую, paha высказался так: запись "3" это «...вот такая функция $f(x)=3\,\,\forall x\in\mathbb{R}$». Я правда, не понял, где он здесь увидел символ переменной $x$... Вы можете назвать свой вариант области $A$, или согласны с ним? Дело в том, что область $A$, в которой решения ищутся, одна, для функций слева и справа.

Я перенесу сюда цитату из Виноградова, чтобы она была поближе перед глазами:

---------------
В общем случае У. является записью задачи о разыскании таких элементов $a$
нек-рого множества $A$, что $F (a) = \Phi(a)$, где $F$ и $\Phi$ — заданные
отображения множества $A$ во множество $B$.
-------------------

Наверное, с этой диаграммой Вы согласны, она правильно отражает рассматриваемый пример, не так ли? Я не стал рисовать сложную диаграмму, чтобы она не показалась лесом...

$$\xymatrix@=5pt{& & F({\color{blue} x})\ar[ddll]_{{\color{blue} x}\in A} & = &\Phi({\color{blue} x})\ar[ddrr]^{\mathbf{{\color{blue}???}}\in A} & &\\&\\f(x)={\color{blue} x}& & & & & k(x)=3 & &}$$

Чтобы отдельные читающие часом не "нашли" символ $x$ в цельной записи из четырех знаков $f\;(\;x\;)$, синим цветом выделил символ переменной $x$. Конечно, меня интересует правая часть, $k(x)=3$, где никакого знака для символа переменной $x$ нет.

Как определить область $A$ значений для пустого места?

[Maslov]

Замените свои синенькие знаки вопроса на $x$, и всё будет хорошо.
Если Вы не понимаете, что такое функция, принимающая на всей области определения постоянное значение, в дальнейшем обсуждении смысла не вижу.

[paha]

(Оффтоп)

К нам в институт приходят письма с выводом пятой аксиомы Евклида из остальных... А отвечать надо, ибо институт академический... номер входящего... Пишут примерно то же самое, что и топистартер

[errnough]

2 Maslov

Какой забавный факт. Вы доставили мне массу впечатлений, спасибо :) Я где-то интуитивно заподозрил, что paha, возможно не единственный, кто читая определение функции, и даже цитируя это определение, не понимает, что там написано. Думал, чудно будет выглядеть это раскрашивание синеньким, ну да ладно, что делать, один ведь уже не понимает...

Итак, Виноградов:

-----------------
Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ и каждому
элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент
$y\in Y$, к-рый обозначен через $f(x)$.
--------------------

То что сказано в определении про элемент $y\in Y$, в диаграмме выглядит так:

$$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \leftarrow & X &\\& & & & &\\f(x)& & & = & & \dots&}$$

Четыре знака $\left \{\; f,(,x,)\right \;\}$ это один символ, игрек. Там нет символа $x$. Задание функции в форме $f(x)=x$ соответствует равносильное, в форме $y=x$. Поэтому все знаки $x$ покрасить в синенький, которым я обозначил символы, невозможно.

$$ \textup{Sign}\;\;\; \not\equiv \;\;\;\textup{Symbol}$$

В записи $f(x)=3$ вообще нет символа $x$ :)

Что даст замена только знаков вопроса в той диаграмме? Почему на $x$? Пустое знакоместо в $f(x)=3$ это что? Это пустое знакоместо, где ничего нет, и вот это "ничего" и определяет тот символ, который появится вместо синеньких знаков вопроса.

Maslov в сообщении #319338 писал(а):

Если Вы не понимаете, что такое функция, принимающая на всей области определения постоянное значение, в дальнейшем обсуждении смысла не вижу.

Но мы же другое обсуждаем. Такая функция логически безупречно задается так:

$$y= \begin {cases}F(x)=k_0 x^0 & \text{ if } x\neq0 \\F(x)=0 & \text{ if } x=0\end{cases}$$

Помните, что сказал Алексей К.? «Когда-то, столкнувшись с аналогичной трудностию, я порешил её тем, что подменил функцию $F(x)=k_0 x^0$ её, как мне показалось, эквивалентом $F(x)\equiv \frac12 x^2+k_0 x^0-\frac24 x^2$. Соответственно, получилось $F'(x)=x+0\cdot k_0-\frac44 x$, и проблема куда кого подставлять как бы отпала.»

Никогда человек не поймет, в чем здесь проблема, пока не попробует что-то сделать практическое. А практическое, это значит написать общий алгоритм построения чего-либо в конкретных числовых значениях. Я глянул на посты этого Алексея, и увидел, что человек занимался сопряжением кривых координатным методом. Типичная программерская задача. Кстати, вольфрамовская математика это один большой грязный хак в этой области, поверьте на слово человеку, программировавшему графику на самом низком уровне :)))

Спасибо, мне было интересно :)

PS________
Заметил, кстати, что не очень убедительно выглядит моя разметка синеньким в общей записи уравнения $F ({\color{blue} x}) = \Phi({\color{blue} x})$

[AD]

errnough в сообщении #319401 писал(а):

Итак, Виноградов:

-----------------
Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ и каждому
элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент
$y\in Y$, к-рый обозначен через $f(x)$.
--------------------

Снова размахивание руками, не имеющее с общепринятым сейчас (последние ~100 лет) в математике определением ничего общего.
Если у Вас в голове нет ничего лучше этого "определения", то Вы никогда не получите ответы на свои вопросы (впрочем, Вы ведь и не стремитесь вроде, да?)
Не жалею, что снёс тему в флейм. Ну ни капельки не жалею.

[errnough]

paha в сообщении #319400 писал(а):

К нам в институт приходят письма с выводом пятой аксиомы Евклида из остальных... А отвечать надо, ибо институт академический... номер входящего... Пишут примерно то же самое, что и топистартер

:))) А отвечает институт в Вашей же манере? :) Типа, вы... ваще, тролли поганые ... Или это только подразумевается? Я давно уже говорю своему сыну, студенту 3 курса университета:

Что у трезвых преподавателей на уме, то у анонимных в интернете на языке :)))

-- Пт май 14, 2010 22:06:57 --

AD в сообщении #319415 писал(а):

не имеющее с общепринятым сейчас (последние ~100 лет) в математике определением ничего общего.

Дайте, пожалуйста ссылку на такое определение. Только проверяйте, что ссылки доступны, а то прошлая Ваша дохлая.

[Xaositect]

errnough
Ответьте прямо, Вы считаете, что сопоставляя каждому элементу $x\in A$ один и тот же элемент $3\in Y$, мы не получаем функцию?

[errnough]

Xaositect в сообщении #319442 писал(а):

сопоставляя каждому элементу $x\in A$ один и тот же элемент $3\in Y$, мы не получаем функцию?

Это функция.