Доказательство теоремы в 4 строчки.

[12d3]

Gem в сообщении #316114 писал(а):

Итак: если тремя корнями кубического уравнения могут быть натуральные числа, оно обязательно имеет вид
$x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+dc)x-abc=0$

Вам же толкуют, что для любого кубического уравнения можно подобрать a, b и с, чтобы оно имело такой вид. Независимо от того, натуральные корни, рациональные, или комплексные.

[migmit]

Gem в сообщении #316114 писал(а):

Итак: если тремя корнями кубического уравнения могут быть натуральные числа

Не понял, что это значит. У некоторых кубических уравнений корни натуральные. У некоторых - нет. Никакого "могут быть" в данном случае не бывает.

[kahey]

У меня пока не выходит

-- Чт май 06, 2010 14:45:52 --

$c^3=a^3+b^3$ -c чётное.
=> (a+b) делиться на 8, $a^2+b^2$ делиться на 2, (b-a) делиться на 2.
$(a+b)c^3=ab(a^2+b^2)+a^4+b^4$
Далее:
$(a^2+b^2)(a+b)c^3=ab(a^2+b^2)^2+(ab)^2(a^2+b^2)+a^6+b^6$
или
$(a^2+b^2)(a+b)c^3=ab(a-b)^4+(ab)^2(a+b)^2+(a^3+b^3)^2$
Если ничего не напутал, то из последнего выражения следует, что (a-b) делиться на 4.

[migmit]

kahey в сообщении #316132 писал(а):

У меня пока не выходит

Нефиг было засовывать.

kahey в сообщении #316132 писал(а):

(a+b) делиться на 8

Почему?

kahey в сообщении #316132 писал(а):

Если ничего не напутал, то из последнего выражения следует, что (a-b) делиться на 4.

<grammar-nazi>делится</grammar-nazi>
Последнее выражение само по себе какое-то сомнительное, но это не так важно. Важно другое: что вообще этот поток сознания должен означать?

[Gem]

12d3 в сообщении #316118 писал(а):

Вам же толкуют, что для любого кубического уравнения можно подобрать a, b и с, чтобы оно имело такой вид. Независимо от того, натуральные корни, рациональные, или комплексные.

Не подберёте любой пример вместо толкования?
И я объясню Вам, в чём Вы ошибаетесь.

-- Чт май 06, 2010 15:25:59 --

migmit в сообщении #316119 писал(а):

Не понял, что это значит. У некоторых кубических уравнений корни натуральные. У некоторых - нет. Никакого "могут быть" в данном случае не бывает.

Я полагаю, Вы просто не представляете, чего я добиваюсь.
Я хочу показать, что уравнение вида
$t^3-(3h-3d-3f)t^2+(-3h^2+3d^2+3f^2)t-(h^3-d^3-f^3)=0$
в принципе не может иметь три натуральных корня.
Ибо не приводимо к виду, который мы обсуждаем.

[migmit]

Gem в сообщении #316151 писал(а):

Не подберёте любой пример вместо толкования?

Зачем?

Gem в сообщении #316151 писал(а):

Я хочу показать, что уравнение вида
$t^3-(3h-3d-3f)t^2+(-3h^2+3d^2+3f^2)t-(h^3-d^3-f^3)=0$
в принципе не может иметь три натуральных корня.
Ибо не приводимо к виду, который мы обсуждаем.

Который раз вам повторить, что ЛЮБОЕ кубическое уравнение приводимо к такому виду? Вне зависимости от того, натуральные у него корни или нет.

[Gem]

migmit в сообщении #316159 писал(а):

Который раз вам повторить, что ЛЮБОЕ кубическое уравнение приводимо к такому виду? Вне зависимости от того, натуральные у него корни или нет.

А я говорю Вам, что уравнение этого вида в принципе не может иметь все корни натуральными.
Доказать?

[migmit]

Gem в сообщении #316171 писал(а):

А я говорю Вам, что уравнение этого вида в принципе не может иметь все корни натуральными.

Так, стоп. А при чём тут тогда указанный вид уравнения?

[kahey]

migmit в сообщении #316145 писал(а):

.

kahey в сообщении #316132 писал(а):

(a+b) делиться на 8

Почему?

Это очевидно.
$c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab)$
с - чётрое число, значит (a+b) - чётное число.
$c^3$ делится на 8, значит (a+b) делится на 8.

-- Чт май 06, 2010 16:57:21 --

Цитата:

$c^3=a^3+b^3$ -c чётное.
=> (a+b) делиться на 8, $a^2+b^2$ делиться на 2, (b-a) делиться на 2.
$(a+b)c^3=ab(a^2+b^2)+a^4+b^4$
Далее:
$(a^2+b^2)(a+b)c^3=ab(a^2+b^2)^2+(ab)^2(a^2+b^2)+a^6+b^6$
или
$(a^2+b^2)(a+b)c^3=ab(a-b)^4+(ab)^2(a+b)^2+(a^3+b^3)^2$
Если ничего не напутал, то из последнего выражения следует, что (a-b) делиться на 4.

[12d3]

Gem в сообщении #316151 писал(а):

Не подберёте любой пример вместо толкования?
И я объясню Вам, в чём Вы ошибаетесь.

$d=f=h=-1$
$a=b=c=1$
Где я ошибаюсь?

[Gem]

migmit в сообщении #316176 писал(а):

Так, стоп. А при чём тут тогда указанный вид уравнения?

Пока только в том, что указанный вид уравнения в принципе не может иметь все корни натуральными.

12d3 в сообщении #316189 писал(а):

Где я ошибаюсь?

Ошибаетесь только в том, что подбираете частные решения, разные для указанных уравнений.
Повторяю: первое уравнение может иметь три разных натуральных корня.
Для второго Вы три разныхнатуральных корней обеспечите)

[migmit]

Gem в сообщении #316222 писал(а):

указанный вид уравнения в принципе не может иметь все корни натуральными.

Что такое "корни вида уравнения"?

Gem в сообщении #316222 писал(а):

первое уравнение может иметь три разных натуральных корня.
Для второго Вы три разныхнатуральных корней обеспечите

Что такое "первое уравнение" и "второе уравнение"?

[Gem]

migmit в сообщении #316225 писал(а):

Что такое "корни вида уравнения"?

Корни уравнения вида
$x^3+(3a+3b-3c)x^2+(3a^2+3b^2-3c^2)x+a^3+b^3-c^3=0$
одновременно не могут быть натуральными.
Разумеется, при условии, что эти корни взаимно просты.

migmit в сообщении #316225 писал(а):

Что такое "первое уравнение" и "второе уравнение"?

Первое уравнение имеет вид
$x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc=0$
Второе имеет вид несколько иной
$x^3+(3a+3b-3c)x^2+(3a^2+3b^2-3c^2)x+a^3+b^3-c^3=0$

[migmit]

Gem в сообщении #316235 писал(а):

Корни уравнения вида
$x^3+(3a+3b-3c)x^2+(3a^2+3b^2-3c^2)x+a^3+b^3-c^3=0$
одновременно не могут быть натуральными.

Вам уже привели контрпример. Рассмотрим случай $a=b=c=-1$. Уравнение превращается в $x^3-3x^2+3x-1=0$. Все его корни равны $1$, то есть 1) натуральны, 2) взаимно просты.

Gem в сообщении #316235 писал(а):

Первое уравнение имеет вид
$x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc=0$
Второе имеет вид несколько иной
$x^3+(3a+3b-3c)x^2+(3a^2+3b^2-3c^2)x+a^3+b^3-c^3=0$

Так всё-таки: при чём тут вообще первое из них?

[Gem]

migmit в сообщении #316238 писал(а):

Вам уже привели контрпример. Рассмотрим случай . Уравнение превращается в . Все его корни равны , то есть 1) натуральны, 2) взаимно просты.

Я вроде бы поставил условие:эти корни должны быть разными.
То есть не равны.
Это раз.
И второе пояснение:таких разных взаимнопростых корней не может быть бесчисленное множество.

migmit в сообщении #316238 писал(а):

Так всё-таки: при чём тут вообще первое из них?

При том, что оно допускает бесчисленное множество решений, в том числе натуральных.

Второе не имеет решения в натуральных разных числах.
Я хочу сказать, что один корень вполне может быть натуральным.
Вторые два в этом случае натуральными в принципе быть не могут.
На мой взгляд, весьма существенное различие.