Парадоксы Зенона и другие.

[Alexey1]

Всем известна история про Ахиллеса и черепаху. Если расстояние между Ахиллесом и черепахой равно 1м, то для того, чтобы ему дойти до черепахи нужно пройти половину пути, т.е. $\frac{1}{2}$м, затем половину половины пути т.е. $\frac{1}{4}$м, и т.д. Парадокс был разрешён когда нашли сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \Big(\frac{1}{2}\Big)^n=1$ и получилось, что если на половину пути он затрачивает половину минуты, то он дойдет до черепахи за 1 минуту (хотя изначально считалось невозможным пройти бесконечное количество отрезков за конечное время). После того, как этот парадокс был разрешён придумали другой парадокс.
Имеется лампа во включенном состоянии. Через $\frac{1}{2}$ минуты, она выключается, затем, через $\frac{1}{4}$ минуты она опять включается и т.д. В каком состоянии будет лампа через 1 минуту? Парадокс заключается в том, что задача похожа на поиск предела $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (-1)^n$ (лампа выключается $-1$, лампа включается $1$) которого не существует. Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать (эксперимент будет длиться только одну минуту). Разрешён ли данный парадокс?

[ewert]

Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):

В каком состоянии будет лампа через 1 минуту?

Ни в каком.
(не считая того, что фактически, конечно, в перегоревшем)

Это разные "парадоксы". У Зенона фактически никакого парадокса не было, а был просто недостаток математического аппарата. В случае же с лампой -- вопрос поставлен некорректно. Принципиальная разница: в первом случае есть некоторый непрерывный процесс (и не хватало на тот момент лишь формальных средств для его описания), во втором же случае такого процесса нет.

[AD]

Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):

Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать

Почему это?

Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):

эксперимент будет длиться только одну минуту

Мало ли что там длится одну минуту ... В природе бывают разрывные функции времени, примеры общеизвестны, Вы построили еще один, ну-ну.

[age]

AD прав. Хоть он и будет длиться одну минуту, но за эту минуту пройдет целая вечность. Лампа мигнет бесконечное количество раз. Но все же, я полагаю, ответ может существовать. Только не с нашими умами его искать.

[ewert]

age в сообщении #310026 писал(а):

Но все же, я полагаю, ответ может существовать.

Не может. Нельзя найти ответ на непоставленный вопрос.

[age]

ewert
Я тоже так думал, когда попытался построить график функции $y=(-2)^x$. Все, что находится в целых точках - понятно. Вопросов нет. Но вот как ведет себя функция в рациональных и близких к ним точках - совершенно непонятно. Например, в точке $0,5$ получаем $y=\sqrt{-2}$.
На самом же деле, $0,5$ можно представить как $\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{2x}{2x+1}}$. Т.е. $0,5\sim\dfrac{500}{1001}$. А для последнего числа $(-2)^{\frac{500}{1001}}=\sqrt[1001]{2^{500}}\sim\sqrt2$.
Точно так же строятся все точки кривой.
При этом если учесть, что выколотых точек очень мало в сравнении с невыколотыми, то кривая принимает вполне осмысленный вид на всей числовой оси.
В результате получаем нечто такое:

Т.е. закрашенная область между $y=2^x$ и $y=-(2^x)$
Знаю, но мы не привыкли, чтобы целая область задавалась обычной функцией.

[Alexey1]

ewert в сообщении #309712 писал(а):

В случае же с лампой -- вопрос поставлен некорректно.

Что Вы имеете ввиду под некорректностью? Какая-то логическая ошибка?

AD в сообщении #309958 писал(а):

Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):

Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать

Почему это?

Ну как почему. Эксперимент длится конечное время, лампа может находиться только в одном состоянии в каждый момент времени. В том то и состоит парадокс. Минута прошла, лампа должна находиться в каком-то состоянии.

AD в сообщении #309958 писал(а):

Мало ли что там длится одну минуту ... В природе бывают разрывные функции времени, примеры общеизвестны, Вы построили еще один, ну-ну.

О каких примерах Вы говорите? Кстати, повторюсь, этот пример построил не я.

[AD]

Alexey1 в сообщении #310083 писал(а):

Минута прошла, лампа должна находиться в каком-то состоянии.

Да, лампа всегда находится в каком-то состоянии. Но зависимость этого состояния от времени не непрерывна (и не может таковой быть, потому что величина принимает только два значения, а время связно).

Чтобы было совсем понятно, давайте такой парадокс придумаю. До полудня лампочка была выключена, а ровно в полдень Alexey1 пришел и включил её. Но ведь до полудня она всё время была выключена, значит и в полдень тоже должна быть выключена, потому что $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^1=-1$. Таким образом, Вы, Alexey1, не можете включить лампочку.

Alexey1 в сообщении #310083 писал(а):

О каких примерах Вы говорите?

Кстати, проблема с черепахой тоже не только в суммировании геометрической прогрессии. А еще как раз в этом - в разрывности величины "направление вектора от Ахиллеса к черепахе".

А еще есть ударная волна, скажем, которая тоже так и гуляет - давление было 1, а вдруг стало 2, ну или как-то так. Ну в физике я не силен, но из разных волновых уравнений это получается.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #310083 писал(а):

Эксперимент длится конечное время, лампа может находиться только в одном состоянии в каждый момент времени. В том то и состоит парадокс. Минута прошла, лампа должна находиться в каком-то состоянии.

Она и будет находиться -- в перегоревшем. Лампочка имеет определённую вероятность перегорания в момент включения/выключения, и после бесконечного количества таких циклов вероятность её неперегорания окажется равной нулю.

И если Вам кажется, что это лишь шутка, то напрасно. Этот процесс не реализуем, и не только физически. Не только потому, что пальчики устанут. А просто потому, что не определено его состояние в конечный момент времени и следующие за ним моменты. Что происходит в каждый из предшествующих моментов -- условиями задачи задано, а вот потом -- нет. Ну на нет и суда нет.

В случае с черепахой ситуация совсем другая. Там Ахилл догонит-таки ту черепаху, и обгонит, и во вполне определённый момент. А кажущаяся недостижимость этого момента (при нарочито неадекватной интерпретации понятия "достижимость") обусловлена исключительно несовершенством математического аппарата. И связанной с этим недостаточной формализованностью понятия "никогда".

[Лукомор]

ewert в сообщении #310131 писал(а):

Там Ахилл догонит-таки ту черепаху, и обгонит, и во вполне определённый момент.

Догонит - да,
Обгонит - нет!

[Xey]

Бытовая логика говорит не , не догонит.

ewert в сообщении #310131 писал(а):

А кажущаяся недостижимость этого момента (при нарочито неадекватной интерпретации понятия "достижимость") обусловлена исключительно несовершенством математического аппарата.

Как бы без вычитания скоростей (на пальцах) объяснить , что перегонит?

[Lyosha]

Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):

Имеется лампа во включенном состоянии. Через $\frac{1}{2}$ минуты, она выключается, затем, через $\frac{1}{4}$ минуты она опять включается и т.д. В каком состоянии будет лампа через 1 минуту? Парадокс заключается в том, что задача похожа на поиск предела $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (-1)^n$ (лампа выключается $-1$, лампа включается $1$) которого не существует. Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать (эксперимент будет длиться только одну минуту). Разрешён ли данный парадокс?

Ну и в чем тут парадокс?!Пусть меня поправят если я не прав,но здесь по сути дела задана схема аксиом,описывающая состояния лампы в полуинтервале времени[0мин;1мин).Из нее не видно что будет с лампой в момент времени 1 минута.

Представьте себе такую ситуацию.Последовательность маятников,период колебаний каждого последующего вдвое меньше предыдущего,каждый маятник совершает ровно одно колебание,последующий начинает колебание сразу как только остановится предыдущий,период колебаний первого маятника пол-минуты и он начинает движение в момент времени 0 мин.Вопрос:какой маятник будет двигаться в момент времени 1 минута?Ответ:все будут покоиться.

Не примите за насмешку,но мне вспомнилась такая задача.Летят два крокодила:один - зеленый,а другой,наоборот, - в Африку.Зачем мне холодильник,если я не курю?

[eLectric]

Давайте разделим физическое и математическое.
1-физическое: лампа перегорит. Это да. Однако мы разбираем логический парадокс. Если уж согласились на возможность такой частоты переключений, то можно согласиться с тем, что лампочка "крепкая".
2-физическое: переходные процессы занимают какое-то время. При включении лампы нить не сразу нагревается. а при выключении не сразу остывает. И в итоге будет находиться в некоем полунагретом состоянии.
3-физическое: При высокой частоте тока нить вообще не будет нагреваться, а вся энергия будет уходить на излучение. (Воплощенная мечта о высоком КПД лампы)

А в логическом смысле интересно не состояние нити, нагрета она или нет, а включена ли она, т.е. подано ли на неё напряжение. Какое именно событие происходит через минуту?
Может по другому сформулировать. Есть мультивибратор с переменной длительностью импульса. Каждая следующая длительность вдвое меньше предыдущей. Какой потенциал будет на выходе через минуту? При этом, в угоду математики, мы должны абстрагироваться от длительности фронтов.
Математически условия сформулированы так, что в течении минуты происходит бесконечное число событий и вопрос в том, наступит ли физический конец этой минуты?
В этом виде и встает старый вопрос: континуально ли время? Если да, то за минуту возможно пройдет бесконечное число событий. За эту минуту может родиться и помереть вселенная.
А возможно есть физическое ограничение - рекуррентный процесс, смена состояния системы на противоположное не может совершаться за бесконечно малый промежуток времени.

[age]

AD в сообщении #310119 писал(а):

Чтобы было совсем понятно, давайте такой парадокс придумаю. До полудня лампочка была выключена, а ровно в полдень Alexey1 пришел и включил её. Но ведь до полудня она всё время была выключена, значит и в полдень тоже должна быть выключена, потому что $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^1=-1$. Таким образом, Вы, Alexey1, не можете включить лампочку.

Искренне поржал! Спасибо!

[Alexey1]

ewert в сообщении #310131 писал(а):

А просто потому, что не определено его состояние в конечный момент времени и следующие за ним моменты.

Но ведь тогда и парадокс с черепахой разрешим только в том случае, если под "догонит" понимать то, что Ахиллес сможет приблизиться к черепахе сколь угодно близко, или другими словами, пройдёт расстояние равное расстоянию между ним и черепахой. Если же под "догонит" понимать, то что он и черепаха будут в одной точке на числовой прямой (в этом случае, слово "перегонит" имеет смысл), то тогда этот парадокс не разрешим, так как $[0;1)=\cup\limits_{n=1}^{\infty} \Big[ \frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}};\frac{2^n-1}{2^n} \Big]$ объединение отрезков которые проходит Ахиллес.