Парадоксы Зенона и другие.

[Лукомор]

Padawan в сообщении #311499 писал(а):

В каком скажете, в таком и будет.

Я бы сказал так:"С вероятностью $p=0.5$ лампа в полдень будет в выключенном состоянии, и с вероятностью $p=0.5$ во включенном состоянии"...


-- Ср апр 21, 2010 10:36:02 --

eLectric в сообщении #310398 писал(а):

А в логическом смысле интересно не состояние нити, нагрета она или нет, а включена ли она, т.е. подано ли на неё напряжение. Какое именно событие происходит через минуту?

Вот этот вопрос гораздо точнее...
Моё мнение:"В полдень напряжение на лампе будет равно половине напряжения источника."

-- Ср апр 21, 2010 10:38:54 --

AD в сообщении #311495 писал(а):

Хмм. А кому он представляется очевидным? Здесь есть такие?

Мне представляется очевидным, что за конечный промежуток времени можно побывать в бесконечном числе точек.

-- Ср апр 21, 2010 10:42:29 --

Lyosha в сообщении #311402 писал(а):

Опыт показывает,что Ахиллес довольно быстро догонит черепаху

Довольно быстро догонит, а ещё быстрее не догонит!
Опыт показывает, что за 5 секунд Ахиллес не догонит черепаху!

[Xey]

Лукомор в сообщении #311656 писал(а):

Мне представляется очевидным, что за конечный промежуток времени можно побывать в бесконечном числе точек.

По бытовой логике был - зто когда время пребывания не равно 0.
А если равно 0 , то был или не был ?

[eLectric]

А если не равно 0, а стремится к нему?

-- Ср апр 21, 2010 13:28:17 --

Ещё вопрос из того-же разряда: В каком состоянии будет лампочка через минуту и одну секунду?

[Lyosha]

Лукомор в сообщении #311656 писал(а):

Опыт показывает, что за 5 секунд Ахиллес не догонит черепаху!

Опыт - сын ошибок трудных...И для 5 секунд можно подобрать начальные условия таким образом,что даже и перегонит!

[Лукомор]

Итак, проведя 100 опытов, выяснили, что в 25 случаях Ахилес обогнал черепаху, в 50 случаях - догнал, и в 25 случаях не догнал.
Какой напрашивается вывод???

-- Ср апр 21, 2010 13:26:08 --

Xey в сообщении #311691 писал(а):

По бытовой логике был - зто когда время пребывания не равно 0.
А если равно 0 , то был или не был ?

По бытовой логике - не был, но проследовал через...

[Xey]

eLectric в сообщении #311702 писал(а):

А если не равно 0, а стремится к нему?

Тут не стремление, а точный ноль .
Например, перемещаемся по числовой оси от 0 до1 за секунду.
Точки непрерывно, на каждом бесконечно малом отрезке их бесконечно много. Т.е. точек в бесконечное число раз больше бесконечности.
Поэтому , время пребывания в каждой точке не то что ноль, а даже меньше.

[tolstopuz]

Xey в сообщении #311737 писал(а):

Точки непрерывно, на каждом бесконечно малом отрезке их бесконечно много. Т.е. точек в бесконечное число раз больше бесконечности.
Поэтому , время пребывания в каждой точке не то что ноль, а даже меньше.

На каждом бесконечно малом отрезке каждого бесконечно малого отрезка их точно так же бесконечно много, так что их в бесконечно бесконечное число раз больше бесконечности, и время пребывания в каждой точке даже не меньше нуля, а еще меньше.

[eLectric]

А ежели он ещё и поторопится и не будет так долго рассусоливать в каждой точке...

[Lyosha]

Лукомор в сообщении #311730 писал(а):

Итак, проведя 100 опытов, выяснили, что в 25 случаях Ахилес обогнал черепаху, в 50 случаях - догнал, и в 25 случаях не догнал.
Какой напрашивается вывод???

Удивительно точно подмечена последовательность результатов состязаний:сначала обогнал,потом догнал,и наконец не догнал!А вывод простой:устал Ахиллес.Причем $101$-й опыт не состоялся по причине смерти испытуемого(еще бы - столько пробежать на максимальной скорости)

[Лукомор]

Xey в сообщении #311737 писал(а):

Поэтому , время пребывания в каждой точке не то что ноль, а даже меньше.

Меньше нуля??!
Минус одна секунда?!

-- Ср апр 21, 2010 15:07:16 --

Lyosha в сообщении #311766 писал(а):

Удивительно точно подмечена последовательность результатов состязаний

Это не последовательность результатов, а статистическая обработка последовательности результатов!

[arseniiv]

Почему же люди не спрашивают, какое значение имеет $\sin\frac1x$ в $0$? А ведь почти то же...

[lel0lel]

По-моему здесь несколько искажён смысл апорий Зенона. Апория сводится к тому, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди на некотором расстоянии от него. Когда Ахиллес занимает место в котором недавно была черепаха, она к этому времени успевает отползти пусть на бесконечно малое (в пределе), но расстояние. И я сильно сомневаюсь, чтобы Зенон не понимал, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \Big(\frac{1}{2}\Big)^n=1$, да и не наблюдал в жизни, как человек догоняет черепаху.
Время за которое Ахиллес добежит до черепашьего старта $\Delta t _{1}=\frac{L}{u},$ черепаха отползёт на $\Delta s _{2}=\frac{L}{u}*v,$ достигнуть этого пункта Ахиллесу удастся через $\Delta t _{2}=\frac{L}{u^2}*v,$ тогда $\Delta t _{n}=\frac{L}{u^n}*v^{n-1}$ и учитывая что $v<u$ получим $t=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{L}{u} \Big(\frac{v}{u}\Big)^{n-1}=\frac{L}{u-v}.$ Осмелюсь предположить, что и этот результат если не был известен Зенону, то по крайней мере на интуитивном уровне им понимался. Но и теперь суть парадокса не раскрыта, и уж тем более нельзя эту математическую модель считать доказательством как многие полагают.
В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому нельзя ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий. Если пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени, тогда парадоксы больше ими не являются. Например аналогом такого кванта пространства для частицы массой $m$ является её комптоновская длина волны $\lambda =\frac{\hbar}{mc}$.
Второй парадокс можно переложить на "пространственный язык", если представить, что вдоль шоссе расставлены столбы, горящие через один, а мы едем с постоянной скоростью на мопеде), но так как расстояние между столбами не может делиться до бесконечности, то из ограниченности скорости мы приходим, что и время проезда между двумя соседними столбами ограниченно снизу.

[eLectric]

Трудно сказать, что именно понимал Зенон. Апорий он придумал много, а мы знаем только несколько в пересказе Аристотеля.
Надо учесть, что Зенон Элейский жил во времена старших софистов, а это ещё сотня лет до аристотелевской логики. А софисты, знаете ли, ради красного словца не пожалеют и отца. Один из этих старших софистов - Горгий похвалялся тем, что может доказать любой тезис и сразу-же после этого - антитезис. Слово "доказать" не означало какие-то правильные умозаключения. Чтобы говорить убедительно, надо было говорить красиво.
В те времена логико-математический аппарат ещё не осознавался, как инструмент мышления. Зенон не мог сомневаться в применимости формальной логики, когда её не было. Было убедительное рассуждение, вывод которого противоречил очевидному. Мастера такого жанра весьма ценились при демократии.

Дискретно пространство или нет, это вопрос научный, физический, на него не ответит логика или философия. Тут я совершенно с вами согласен.
А про столбы я чего-то не понял.

[Лукомор]

lel0lel в сообщении #311887 писал(а):

Если пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени, тогда парадоксы больше ими не являются.

Вот и изложите, что произойдёт после того момента, когда расстояние между А. и Ч. уменьшится до 10 минимальных порций (квантов) пространства?

lel0lel в сообщении #311887 писал(а):

Но и теперь суть парадокса не раскрыта

Ответьте на мой вопрос выше, и суть парадокса будет раскрыта.

-- Чт апр 22, 2010 08:29:32 --

Lyosha в сообщении #311710 писал(а):

И для 5 секунд можно подобрать начальные условия таким образом,что даже и перегонит!

Можно подобрать, да!
Это хорошее замечание.

Для сравнения возьмём теорему косинусов:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos(\alpha)$

Можно подобрать начальные условия таким образом, что будет выполнено:
либо неравенство
$a^2 > b^2 + c^2 $

либо неравенство
$a^2 < b^2 + c^2 $

либо равенство
$a^2 = b^2 + c^2 $
последнее равенство также соответствует теореме Пифагора.

Аналогично, если обозначить путь, пройденный Ахиллесом $S_1$,
путь пройденный Черепахом $S_2$,
и исходное расстояние между ними в момент начала гонки $d$,
то расстояние между А и Ч на финише может быть:
либо $S_1 - (S_2+d)>0$

либо $S_1 - (S_2+d)>0$

либо $S_1 - (S_2+d)=0$
последнее равенство соответствует задаче Зенона.

[lel0lel]

Лукомор в сообщении #311989 писал(а):

Вот и изложите, что произойдёт после того момента, когда расстояние между А. и Ч. уменьшится до 10 минимальных порций (квантов) пространства?

Если А. и Ч. бегут друг за другом, то на таких расстояниях тело А. и Ч. будут взаимодействовать друг с другом. Если А. и Ч. бегут по разным дорожкам, то разность их координат этого направления уменьшиться затем до 5 квантов, а затем и до двух, когда дело дойдет до одного кванта, то не имеет смысла говорить о половине пути или о его трети, переход может быть осуществлён лишь в следующее дискретное состояние пространства, этот переход будет длиться конечное время в соответствии начальным данным задачи, ровно как и время пробежки последних 10 порций. Безусловно тут утрированы многие моменты, но более чёткого объяснения покамест дать не могу.
eLectric, я с утра прочитав, что написал вечером и сам не всё понял. Видимо, так сильно хотелось попасть в детство и вновь покататься на мопеде). Одним словом, это не самый удачный пример, а точнее совсем не удачный.