2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение15.04.2010, 00:55 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Всем известна история про Ахиллеса и черепаху. Если расстояние между Ахиллесом и черепахой равно 1м, то для того, чтобы ему дойти до черепахи нужно пройти половину пути, т.е. $\frac{1}{2}$м, затем половину половины пути т.е. $\frac{1}{4}$м, и т.д. Парадокс был разрешён когда нашли сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \Big(\frac{1}{2}\Big)^n=1$ и получилось, что если на половину пути он затрачивает половину минуты, то он дойдет до черепахи за 1 минуту (хотя изначально считалось невозможным пройти бесконечное количество отрезков за конечное время). После того, как этот парадокс был разрешён придумали другой парадокс.
Имеется лампа во включенном состоянии. Через $\frac{1}{2}$ минуты, она выключается, затем, через $\frac{1}{4}$ минуты она опять включается и т.д. В каком состоянии будет лампа через 1 минуту? Парадокс заключается в том, что задача похожа на поиск предела $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (-1)^n$ (лампа выключается $-1$, лампа включается $1$) которого не существует. Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать (эксперимент будет длиться только одну минуту). Разрешён ли данный парадокс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение15.04.2010, 07:18 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):
В каком состоянии будет лампа через 1 минуту?

Ни в каком.
(не считая того, что фактически, конечно, в перегоревшем)

Это разные "парадоксы". У Зенона фактически никакого парадокса не было, а был просто недостаток математического аппарата. В случае же с лампой -- вопрос поставлен некорректно. Принципиальная разница: в первом случае есть некоторый непрерывный процесс (и не хватало на тот момент лишь формальных средств для его описания), во втором же случае такого процесса нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение15.04.2010, 18:29 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):
Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать
Почему это?
Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):
эксперимент будет длиться только одну минуту
Мало ли что там длится одну минуту ... В природе бывают разрывные функции времени, примеры общеизвестны, Вы построили еще один, ну-ну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение15.04.2010, 20:43 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
AD прав. Хоть он и будет длиться одну минуту, но за эту минуту пройдет целая вечность. Лампа мигнет бесконечное количество раз. Но все же, я полагаю, ответ может существовать. Только не с нашими умами его искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение15.04.2010, 22:39 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
age в сообщении #310026 писал(а):
Но все же, я полагаю, ответ может существовать.

Не может. Нельзя найти ответ на непоставленный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение15.04.2010, 22:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
ewert
Я тоже так думал, когда попытался построить график функции $y=(-2)^x$. Все, что находится в целых точках - понятно. Вопросов нет. Но вот как ведет себя функция в рациональных и близких к ним точках - совершенно непонятно. Например, в точке $0,5$ получаем $y=\sqrt{-2}$.
На самом же деле, $0,5$ можно представить как $\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{2x}{2x+1}}$. Т.е. $0,5\sim\dfrac{500}{1001}$. А для последнего числа $(-2)^{\frac{500}{1001}}=\sqrt[1001]{2^{500}}\sim\sqrt2$.
Точно так же строятся все точки кривой.
При этом если учесть, что выколотых точек очень мало в сравнении с невыколотыми, то кривая принимает вполне осмысленный вид на всей числовой оси.
В результате получаем нечто такое:
Изображение
Т.е. закрашенная область между $y=2^x$ и $y=-(2^x)$
Знаю, но мы не привыкли, чтобы целая область задавалась обычной функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение15.04.2010, 22:58 
Заслуженный участник


08/09/07
841
ewert в сообщении #309712 писал(а):
В случае же с лампой -- вопрос поставлен некорректно.
Что Вы имеете ввиду под некорректностью? Какая-то логическая ошибка?
AD в сообщении #309958 писал(а):
Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):
Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать
Почему это?
Ну как почему. Эксперимент длится конечное время, лампа может находиться только в одном состоянии в каждый момент времени. В том то и состоит парадокс. Минута прошла, лампа должна находиться в каком-то состоянии.
AD в сообщении #309958 писал(а):
Мало ли что там длится одну минуту ... В природе бывают разрывные функции времени, примеры общеизвестны, Вы построили еще один, ну-ну.
О каких примерах Вы говорите? Кстати, повторюсь, этот пример построил не я.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение16.04.2010, 05:19 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Alexey1 в сообщении #310083 писал(а):
Минута прошла, лампа должна находиться в каком-то состоянии.
Да, лампа всегда находится в каком-то состоянии. Но зависимость этого состояния от времени не непрерывна (и не может таковой быть, потому что величина принимает только два значения, а время связно).

Чтобы было совсем понятно, давайте такой парадокс придумаю. До полудня лампочка была выключена, а ровно в полдень Alexey1 пришел и включил её. Но ведь до полудня она всё время была выключена, значит и в полдень тоже должна быть выключена, потому что $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^1=-1$. Таким образом, Вы, Alexey1, не можете включить лампочку.

Alexey1 в сообщении #310083 писал(а):
О каких примерах Вы говорите?

Кстати, проблема с черепахой тоже не только в суммировании геометрической прогрессии. А еще как раз в этом - в разрывности величины "направление вектора от Ахиллеса к черепахе".

А еще есть ударная волна, скажем, которая тоже так и гуляет - давление было 1, а вдруг стало 2, ну или как-то так. Ну в физике я не силен, но из разных волновых уравнений это получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение16.04.2010, 07:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Alexey1 в сообщении #310083 писал(а):
Эксперимент длится конечное время, лампа может находиться только в одном состоянии в каждый момент времени. В том то и состоит парадокс. Минута прошла, лампа должна находиться в каком-то состоянии.

Она и будет находиться -- в перегоревшем. Лампочка имеет определённую вероятность перегорания в момент включения/выключения, и после бесконечного количества таких циклов вероятность её неперегорания окажется равной нулю.

И если Вам кажется, что это лишь шутка, то напрасно. Этот процесс не реализуем, и не только физически. Не только потому, что пальчики устанут. А просто потому, что не определено его состояние в конечный момент времени и следующие за ним моменты. Что происходит в каждый из предшествующих моментов -- условиями задачи задано, а вот потом -- нет. Ну на нет и суда нет.

В случае с черепахой ситуация совсем другая. Там Ахилл догонит-таки ту черепаху, и обгонит, и во вполне определённый момент. А кажущаяся недостижимость этого момента (при нарочито неадекватной интерпретации понятия "достижимость") обусловлена исключительно несовершенством математического аппарата. И связанной с этим недостаточной формализованностью понятия "никогда".

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение16.04.2010, 16:28 
Аватара пользователя


22/07/08
1035
Одесса
ewert в сообщении #310131 писал(а):
Там Ахилл догонит-таки ту черепаху, и обгонит, и во вполне определённый момент.

Догонит - да,
Обгонит - нет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение16.04.2010, 16:45 
Заслуженный участник


07/07/09
5304
Бытовая логика говорит не , не догонит.

ewert в сообщении #310131 писал(а):
А кажущаяся недостижимость этого момента (при нарочито неадекватной интерпретации понятия "достижимость") обусловлена исключительно несовершенством математического аппарата.

Как бы без вычитания скоростей (на пальцах) объяснить , что перегонит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение16.04.2010, 22:32 


22/10/09
404
Alexey1 в сообщении #309673 писал(а):

Имеется лампа во включенном состоянии. Через $\frac{1}{2}$ минуты, она выключается, затем, через $\frac{1}{4}$ минуты она опять включается и т.д. В каком состоянии будет лампа через 1 минуту? Парадокс заключается в том, что задача похожа на поиск предела $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (-1)^n$ (лампа выключается $-1$, лампа включается $1$) которого не существует. Хотя из постановки задачи этот предел должен существовать (эксперимент будет длиться только одну минуту). Разрешён ли данный парадокс?

Ну и в чем тут парадокс?!Пусть меня поправят если я не прав,но здесь по сути дела задана схема аксиом,описывающая состояния лампы в полуинтервале времени[0мин;1мин).Из нее не видно что будет с лампой в момент времени 1 минута.

Представьте себе такую ситуацию.Последовательность маятников,период колебаний каждого последующего вдвое меньше предыдущего,каждый маятник совершает ровно одно колебание,последующий начинает колебание сразу как только остановится предыдущий,период колебаний первого маятника пол-минуты и он начинает движение в момент времени 0 мин.Вопрос:какой маятник будет двигаться в момент времени 1 минута?Ответ:все будут покоиться.

Не примите за насмешку,но мне вспомнилась такая задача.Летят два крокодила:один - зеленый,а другой,наоборот, - в Африку.Зачем мне холодильник,если я не курю? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение16.04.2010, 22:50 


06/04/09
392
Давайте разделим физическое и математическое.
1-физическое: лампа перегорит. Это да. Однако мы разбираем логический парадокс. Если уж согласились на возможность такой частоты переключений, то можно согласиться с тем, что лампочка "крепкая".
2-физическое: переходные процессы занимают какое-то время. При включении лампы нить не сразу нагревается. а при выключении не сразу остывает. И в итоге будет находиться в некоем полунагретом состоянии.
3-физическое: При высокой частоте тока нить вообще не будет нагреваться, а вся энергия будет уходить на излучение. (Воплощенная мечта о высоком КПД лампы)

А в логическом смысле интересно не состояние нити, нагрета она или нет, а включена ли она, т.е. подано ли на неё напряжение. Какое именно событие происходит через минуту?
Может по другому сформулировать. Есть мультивибратор с переменной длительностью импульса. Каждая следующая длительность вдвое меньше предыдущей. Какой потенциал будет на выходе через минуту? При этом, в угоду математики, мы должны абстрагироваться от длительности фронтов.
Математически условия сформулированы так, что в течении минуты происходит бесконечное число событий и вопрос в том, наступит ли физический конец этой минуты?
В этом виде и встает старый вопрос: континуально ли время? Если да, то за минуту возможно пройдет бесконечное число событий. За эту минуту может родиться и помереть вселенная.
А возможно есть физическое ограничение - рекуррентный процесс, смена состояния системы на противоположное не может совершаться за бесконечно малый промежуток времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение17.04.2010, 00:40 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
AD в сообщении #310119 писал(а):
Чтобы было совсем понятно, давайте такой парадокс придумаю. До полудня лампочка была выключена, а ровно в полдень Alexey1 пришел и включил её. Но ведь до полудня она всё время была выключена, значит и в полдень тоже должна быть выключена, потому что $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^1=-1$. Таким образом, Вы, Alexey1, не можете включить лампочку.

Искренне поржал! Спасибо! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы Зенона и другие.
Сообщение17.04.2010, 01:02 
Заслуженный участник


08/09/07
841
ewert в сообщении #310131 писал(а):
А просто потому, что не определено его состояние в конечный момент времени и следующие за ним моменты.
Но ведь тогда и парадокс с черепахой разрешим только в том случае, если под "догонит" понимать то, что Ахиллес сможет приблизиться к черепахе сколь угодно близко, или другими словами, пройдёт расстояние равное расстоянию между ним и черепахой. Если же под "догонит" понимать, то что он и черепаха будут в одной точке на числовой прямой (в этом случае, слово "перегонит" имеет смысл), то тогда этот парадокс не разрешим, так как $[0;1)=\cup\limits_{n=1}^{\infty} \Big[ \frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}};\frac{2^n-1}{2^n} \Big]$ объединение отрезков которые проходит Ахиллес.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 131 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group