Есть ли синтаксис в математике?

[Maslov]

errnough в сообщении #309149 писал(а):

Мне интересно, есть ли у Вас свое объяснение, почему в исходном примере из 1 не следует 2?

Потому, что 1 и 2 -- это независимые посылки.

errnough в сообщении #309149 писал(а):

Цитата:
Другими словами, вывод
$(\forall x) (S(x) \to H(x)), \neg H(a) \vdash \neg S(a)$
построить не можете?

Что оно означает словами, и что над конкретными данными?

В интерпретации означает ровно то, что я писал:
Предикат $S(x)$ означает, что $x$ -- звезда,
Предикат $H(x)$ означает, что $x$ -- горячий объект,
$(\forall x) (S(x) \to H(x))$ означает, что все звезды горячие,
$a$ -- это конкретный $x$ (Луна),
$\neg H(a)$ означает, что Луна не горячая,
$\neg S(a)$ означает, что Луна -- не звезда.

errnough в сообщении #309149 писал(а):

Maslov в сообщении #309009 писал(а):
Все звезды горячие
Ни одна луна не горячая
----------------------------
Ни одна луна не является звездой

Заключение неверное, по тем же причинам.

Я думаю, на этой оптимистической ноте обсуждение лучше закончить: Вы отрицаете всю логику, начиная с Аристотеля; при такой разнице во взглядах шансов до чего-нибудь договориться или хотя бы что-нибудь друг другу объяснить практически нет.

[errnough]

Maslov в сообщении #309175 писал(а):

Вы отрицаете всю логику, начиная с Аристотеля;

Конечно, это не так :) Просто продемонстрирую Вашу логику, но уже без объяснений.

1. Все самолеты летают.
2. Ни один крот не летает.
3. Крот не самолет.

Возражений нет. Все посылки истинные, и, как Вы выразились, независимые.

1. Все самолеты летают.
2. Ни один крот не летает.
3. Следовательно, крот не самолет.

Следовательно? Хороший метод умозаключений, далеко заведет...

[man]

А я бы продолжил, меня вот это заинтересовало:

errnough в сообщении #309149 писал(а):

Вместо многих «утверждений» мной предполагается возможность использования одной обобщенной «процедуры».

Не могли бы Вы ее набросать, хотя бы в общих чертах.

Maslov в сообщении #309175 писал(а):

Предикат $S(x)$ означает, что $x$ -- звезда,
Предикат $H(x)$ означает, что $x$ -- горячий объект,
$(\forall x) (S(x) \to H(x))$ означает, что все звезды горячие,
$a$ -- это конкретный $x$ (Луна)...

Вот и скрытая посылка о сравнимости (которую errnough не считает общезначимой), в математике без этого никак, а вне ее - пожалуйста.

[errnough]

2 man:

errnough в сообщении #303020 писал(а):

Пусть $\psi$ начальное высказывание. Тогда уточняющее высказывание $\phi$ (истина-ложь) запишется как $\phi(\psi)$. Уточняющее на метаязыке высказывание $\theta$ о высказывании $\psi$ запишется как $\psi(\theta)$.

Если мы будем за один шаг итерации считать два уточнения в обе стороны, то для первых трех шагов получим:

$\begin{matrix} \phi(\psi(\theta))\\ \phi_1(\phi(\psi(\theta(\theta_1))))\\ \phi_2(\phi_1(\phi(\psi(\theta(\theta_1(\theta_2)))))) \end{matrix}$

В основе логика (Аристотеля) противоречий. К этому несколько правил, еще не отшлифованных. Например, внутри основного алгоритма рекурсивно работают:
а) подпроцедура построения объекта (правило: не построено -- не существует).
б) подпроцедура выявления признаков (отношений) работает над тремя построенными объектами (правило кучи).
в) ...

[Xaositect]

errnough в сообщении #309217 писал(а):

Следовательно? Хороший метод умозаключений, далеко заведет...

Пока не заводит никуда. Две посылки истинны, и следствие тоже истинно.
И это именно потому, что заключение соответствует одному из правильных модусов силлогизма (Camestres). Если мы подставим вместо кротов, самолетов и способности к полету любые другие термины так, что две посылки истинны, следствие тоже будет истинным. Если Вы это отрицаете, то приведите пример Camestres с истинными посылками и ложным заключением.

[Maslov]

errnough в сообщении #309217 писал(а):

1. Все самолеты летают.
2. Ни один крот не летает.
3. Следовательно, крот не самолет.

Следовательно? Хороший метод умозаключений, далеко заведет...

И тем не менее, это один из типов силлогизма (правил построения заключения из посылок), сформулированных Аристотелем (тем самым, из чьей Вы эпохи)

И называется этот тип Camestres:

$ \begin{tabular}{ll} PaM~~&\text{все}~P~\text{есть}~M \\ SeM &\text{ни один}~S~\text{не есть}~M \\ ------- &\text{следовательно} \\ SeP & \text{ни один}~S \text{не есть}~P\\ \end{tabular} $

[errnough]

Еще ни разу в этой теме не появлялись аристотелевские силлогизмы. Никто не видел у Аристотеля вот таких конструкций:

Всякое А есть Б;
Ни одно В не есть Б
---------------------------
Ни одно В не есть А

Это поделка сегодняшней логики, называется импликация. Чтобы перейти к аристотелевской логике, нужно использовать термины и конструкции оригинала. При этом, конечно, придется столкнуться с фразами Аристотеля, вроде: если же [...], то нельзя построить никакого силлогизма. Переходим в контекст Аристотеля:

Если (быть горячим) присуще всякой звезде
и (быть горячим) не присуще ни одной луне,
то ....

Что то...?
Если у вас не получилось закончить предложение, не сделав его глупостью, то вы пользуетесь логикой Аристотеля. Если же вы сделаете вывод, что "луна не присуща ни одной звезде", то такая логика вас далеко заведет... и Аристотель будет не при чем.

[man]

errnough в сообщении #309228 писал(а):

2 man:

errnough в сообщении #303020 писал(а):

Пусть $\psi$ начальное высказывание. Тогда уточняющее высказывание $\phi$ (истина-ложь) запишется как $\phi(\psi)$. Уточняющее на метаязыке высказывание $\theta$ о высказывании $\psi$ запишется как $\psi(\theta)$.
Если мы будем за один шаг итерации считать два уточнения в обе стороны, то для первых трех шагов получим:
$\begin{matrix} \phi(\psi(\theta))\\ \phi_1(\phi(\psi(\theta(\theta_1))))\\ \phi_2(\phi_1(\phi(\psi(\theta(\theta_1(\theta_2)))))) \end{matrix}$

В основе логика (Аристотеля) противоречий. К этому несколько правил, еще не отшлифованных. Например, внутри основного алгоритма рекурсивно работают:
а) подпроцедура построения объекта (правило: не построено -- не существует).
б) подпроцедура выявления признаков (отношений) работает над тремя построенными объектами (правило кучи).
в) ...

Понятно. Доказательств не прошу, просто мнение, Вы как считаете, процедура хотя бы конечна, не говоря уже о счетности ? и второе, какой объект будете строить первым и как переходить к следующему ?
На всякий случай, что Вы думаете об этих утверждениях (чтобы лучше понять Вашу точку зрения):
противоречия эквивалентны;
не существует противоречивой импликации;
существует отображение из пустого множества в пустое;
пустые множества равны;

[Xaositect]

Ни одной луне не присуще быть звездой.

Глава "Аналитики" о второй фигуре достаточно лаконична, и не содержит полной записи силлогизма, только тройки терминов в качестве примеров неверных силлогизмов.
Однако во второй главе (об обращении) он говорит "Суждение о присущем, если оно общеотрицательное, необдимо допускает обращение в отношении своих терминов" и в качестве примера приводит: "если никакое удовольствие не есть благо, то никакое благо не есть удовольствие". То есть с помощью глагола "быть" выражается суждение о присущем: никакому удовольствию не присуще [быть благом], никакому благу не присуще [быть удовольствием].
Кроме того, в главе 36 Аристотель пишет "Но сколько значений имеет слово "быть" и "нечто правильно говорится", столько значений должно иметь <выражение> "быть присущим"". То есть присущность одного термина другому может быть разная и выражаться различными словами.

-- Ср апр 14, 2010 12:55:45 --

Цитаты приведены по переводу Фохта.

[Maslov]

Ну и уж если мы добрались до первоисточников, еще оттуда же (Аристотель. Аналитики первая и вторая. В переводе Б.А. Фохта. М., 1952. Стр. 116.) по поводу истинного следствия из ложных посылок:

Цитата:

Дело может обстоять так, что посылки, из которых строится силлогизм, будут <обе> истинными или <обе> ложными, или одна <из> них будет истинной, а другая -- ложной, но заключение будет необходимо или истинным, или ложным. Итак, из истинных посылок нельзя выводить ложное заключение, из ложных же посылок можно выводить истинное <заключение>, только не <видно>, почему <оно истинно>, а <видно> лишь, что <оно истинно>. Ибо из ложных посылок нельзя доказать, почему <заключение истинно>, а по какой причине -- будет сказано в последующем.

-- Ср апр 14, 2010 15:10:51 --

(Оффтоп)

А вообще, конечно, довольно забавно в 2010 г. н. э. ссылаться на Аристотеля как на истину в последней инстанции :)

[errnough]

man в сообщении #309357 писал(а):

процедура хотя бы конечна, не говоря уже о счетности ?

Это не конечный автомат. Главный (первый) цикл — бесконечный. Счетность для него не имеет смысла. Все внутренние циклы конечные, при обнаружении зацикливания определение бракуется. Катастрофичности в ошибке "сходится/не сходится" нет, поскольку эта ошибка покажет себя в дальнейшем. Какой объект брать первым? Не знаю, для алгоритма порядок безразличен, по аналогии, при выращивании кристалла поваренной соли безразлично, какой кристаллик выбрать в качестве затравки. Наверное, наименьший и правильный кристалл, и именно того рода (а не сахара), но это не критерий упорядоченности.

Противоречия эквивалентны? Не знаю, в каком контексте задан вопрос. Предложите пример, из трех различных конкретных противоречий, тогда на них можно будет рассмотреть свойство эквивалентности.

Противоречивые импликации существуют, и их нужно специально отыскивать и пытаться построить, — основное время проверок в алгоритме будет тратится на их поиск.

Пустое множество не существует в том смысле, что его определение противоречиво. Что-то вроде "неопределяемого понятия" или "сухой воды"... IMHO.

Xaositect в сообщении #309365 писал(а):

Ни одной луне не присуще быть звездой.

Из большинства импликаций не построить аристотелевских силлогизмов. Вы утверждаете, что из этого, конкретного, построили. Тогда главный вопрос, это возможен силлогизм или невозможен. Позвольте уточняющий вопрос:

Если (быть горячим) присуще всякой звезде
и (быть горячим) не присуще ни одной луне,
то ни одной луне не присуще быть звездой.

Какой из терминов в этом силлогизме больший, средний, меньший?

[Maslov]

errnough в сообщении #309434 писал(а):

Если (быть горячим) присуще всякой звезде
и (быть горячим) не присуще ни одной луне,
то ни одной луне не присуще быть звездой.

Какой из терминов в этом силлогизме больший, средний, меньший?

На мой взгляд, так:
Быть горячим -- средний
Быть звездой -- больший крайний (ближе к среднему)
Быть луной -- меньший крайний (дальше от среднего)

[Xaositect]

errnough в сообщении #309434 писал(а):

Какой из терминов в этом силлогизме больший, средний, меньший?

Средний - горячее
Больший - звезда
Меньший - луна

[man]

errnough в сообщении #309434 писал(а):

Это не конечный автомат. Главный (первый) цикл — бесконечный. ...Все внутренние циклы конечные, при обнаружении зацикливания определение бракуется... Какой объект брать первым? Не знаю, для алгоритма порядок безразличен...

Возьмите в качестве первого объекта сам текст алгоритма.
Или хотя бы приведите конкретный пример в несколько итераций.
Истинность присваивается или на каждом такте алгоритм выдает истины ?

errnough в сообщении #309434 писал(а):

Противоречия эквивалентны? Не знаю, в каком контексте задан вопрос. Предложите пример, из трех различных конкретных противоречий, тогда на них можно будет рассмотреть свойство эквивалентности.

Эквивалентность - это конъюнкция импликаций $(a \rightarrow b) \land (b \rightarrow a)$
Приводить примеры смысла нет, т.к. :

errnough в сообщении #309434 писал(а):

Противоречивые импликации существуют...

...

errnough в сообщении #309434 писал(а):

Пустое множество не существует в том смысле, что его определение противоречиво. Что-то вроде "неопределяемого понятия" или "сухой воды"... IMHO.

Что противоречивого в утверждении: существует множество, не содержащее ($\notin$) множеств ? А как насчет определения натурального нуля (существует натуральное число которому не предшествуют другие натуральные числа) ?

errnough в сообщении #309434 писал(а):

...но это не критерий упорядоченности

Поэтому и вопрос, если алгоритму все равно с чего начинать, то имея пару таких алгоритмов и разные начала получим кучу противоречивых "истин" и несравнимых "чисел".

errnough в сообщении #309434 писал(а):

...Наверное, наименьший и правильный кристалл...

И какой же самый наименьший и правильный ?

[errnough]

То, что здесь вообще можно найти три необходимых термина для силлогизма, вызвало у меня улыбку. Хотя я сам не признаю аргументом ссылку на авторитет, но сошлюсь на важнейший момент в тексте Аристотеля.

1. «Совершенным силлогизм по этой фигуре не может быть никоим образом.» (пер.Фохте, стр 18)

Теперь бежим назад и смотрим, что есть несовершенный силлогизм у Аристотеля.

2. «Несовершенным я называю такой, который хотя и является необходимым благодаря положенным в основание <данного силлогизма> терминам, но нуждается в одном или нескольких <суждениях>, которых нет в посылках.» (пер.Фохте, стр 11)

Что означает на сегодняшнем языке: формально может быть истинно, но в действительности недоказуемо и невыводимо без скрытых посылок. Умница Аристотель. Принимать недоказуемое за логический вывод, не обращая внимания на неявные, но существующие посылки (аксиоматика), — это, несомненно, достижение сегодняшней логики. Я же прочитал Аристотеля по-своему: формальная истинность с недоказуемостью в действительности — ничтожна.

Конечно, цитирование не является сильным аргументом. Но и у вас нет ничего в защиту того, что это несущественно в логике.

------------------------

man в сообщении #309501 писал(а):

приведите конкретный пример

Пример с "вектор суть стрелка" уже был приведен.

Вы, наверное, недостаточно точно понимаете смысл термина "конкретное", поэтому предложили в качестве ответа на мою просьбу уточнить, алгебраическую бессмысленную запись. Можно было просто написать "не знаю, не могу, не буду" :)

Также очевидно, что Вы используете недопустимый прием в дискуссии. Сначала спрашиваете мнение об определении "пустого множества", а оценку в дальнейшем хотите получить про "множество, не содержащее множеств". Хотелось бы думать, что подмена тезиса произошла ненароком. О натуральном ноле... Ноль бывает двух видов, натуральный/не натуральный? Мне не интересно это, на фоне разговора о логике, синтаксисе, и пр. в этой теме, извините... Что-то поосмысленнее бы.