Определение ряда: что такое ряд и с чем его едят

[незваный гость]

незваный гость:

я готов отделить. Желательно, если кто-нибудь еще поддержит.

[Highwind]

Ну мне бы тоже было интересно определиться, но, в общем-то, своё видение вопроса я уже изложил и мало что могу добавить...

[незваный гость]

Someone писал(а):

Хм. Заглянул в учебник Л.Д.Кудрявцева. Он определяет числовой ряд как пару последовательностей чисел $\{u_n:n\in\mathbb N\}$ и $\{s_n:n\in\mathbb N\}$, причём, вторая - это, естественно, последовательность частичных сумм, и вводит для этой пары в качестве обозначения обычную запись ряда.

Вообще говоря, мне неясно, зачем нужна пара последовательностей, если каждая последовательность однозначно восстанавливается по другой, а в обозначении ряда участвует только одна…

Я думаю, это понадобилось К. для того, чтобы подчеркнуть, что ряд это не исходная последовательность, и не последовательность частичных сумм, а некоторый новый объект.

Someone писал(а):

…Также неясно, чем это лучше определения числового ряда как формальной суммы бесконечной последовательности чисел или (мне где-то такой вариант попадался) как "числовой последовательности, записанной в виде $u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots$".

Тем, что и пара, и последовательность суть математические объекты, а обозначение («формальная сумма») — нет. Обозначение или символ лишь указывают на некоторый объект, либо построенный (ряд), либо определяемый аксиоматически. Граница между построением и аксиоматикой, впрочем, смутна: вещественные числа можно строить аксиоматически, а можно — при помощи сечений Дедекинда. Во втором случае $1.5$ — это удобное обозначение соответствующего сечения.

Someone писал(а):

Можно попробовать определить числовой ряд как отображение из множества последовательностей чисел в множество последовательностей частичных сумм (понимая последовательность в обобщённом смысле, как индексированную элементами направленного множества, чтобы учесть всякие разновидности рядов: кратные ряды, ряды Лорана, и что там ещё есть). Что-то такое у Кудрявцева "между строчек" можно усмотреть.

Любопытно. Чем-то напоминает неопределенный интеграл. И опять-таки, обратите внимание: Ваше определение — это вполне четкая конструкция (отображение) хотя и не определенная до конца (id est, допускающая разные ряды), а не символ (как у Фихтенгольца).

~~~~~~~~

В английском варианте Rudin W. — Principles of Mathematical Analysis, p. 58 совершенно ясно, что он использует символ $\sum\limits^\infty$ для обозначения последовательности частичных сумм. Но уже в русском переводе Рудин У. — Основы математического анализа, с. 68 это потеряно. Увы!

[dmd]

незваный гость писал(а):

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

Категорически не согласен. Вне зависимости от того, как и при помощи чего мы определяем ряды, они, эти ряды, существовали и будут существовать в природе. Если человечество, как носитель информации о пределах, завтра исчезнет, то ряды ни куда не денутся, потому что они - объективная реальность природы, независимая от наших определений. И это ни сколько ни разу не философский вопрос. Это вопрос корректности изложения. Ряд можно определить стопроцентно полно и корректно без использования понятия предела. "Без предела нет и ряда" - для меня звучит ужасно, как какой-то религиозный шаблон. Что есть предел? Это - логический оператор, на выходе которого - число. Пределом можно определить сходимость ряда, но только не сам ряд.

Вот, кстати, в этом же топике возможно будет интересен ответ на такой вопрос: для чего мы ищем сходимость/расходимость рядов. Если ряд сходится, то что? Если он расходится, то что тогда? Признаки сходимости/расходимости - в каждом учебнике, но зачем и для чего конкретно можно применить эту информацию - ?

[незваный гость]

dmd писал(а):

незваный гость писал(а):

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

Категорически не согласен.

Да с этим никто не согласен. Я в том числе. К сожалению, в спешке и в запале пропустил «сумма» дважды. Должно быть

Надо начать еще раньше — что такое сумма ряда. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и суммы ряда.

dmd писал(а):

Вне зависимости от того, как и при помощи чего мы определяем ряды, они, эти ряды, существовали и будут существовать в природе. Если человечество, как носитель информации о пределах, завтра исчезнет, то ряды ни куда не денутся, потому что они - объективная реальность природы, независимая от наших определений.

Пределы — тоже останутся. Они той же природы, что и ряды.

[juna]

Вот в коментариях Эйлера вычитал:

Цитата:

...можно различать две трактовки - арифметическую и алгебраическую. При арифметической члены ряда являются числами и мы требуем сходимости ряда, тогда как при алгебраической трактовке знаки + и - являются только символами объединения и сходимость не играет никакой роли. Подобную трактовку мы имеем, например, в теориии групп, где складываются "элементы", равно как в теории множеств и в формальной логике. Как раз такая трактовка больше всего и занимает Эйлера.

Поэтому не вижу ничего не строгого у Фихтенгольца, определяющего:

Цитата:

Пусть задана некоторая последовательность чисел $a_1, a_2, ...$. Составленный из этих чисел символ $a_1+a_2+a_3+...$ называется бесконечным рядом, а сами числа членами ряда.

до определения сходимости. Это более общий подход, применимый и к расходящимся рядам.

[Руст]

Раз мы говорим ряд сходящий или ряд расходящий, то в определении ряда не должны присутствовать частичные суммы. Ряд это просто отображение структрированного множества в абелеву группу и символ суммы указывает на операцию в группе. Если отображение в мультипликативную группу, где операция обозначается *, то это даст произведение. Если структура конечная, то всегда имеет смысл суммы ряда. В случае, когда структрированное множество счётно и имеется непрерывная структура на группе, то это в соответствующих условиях, определяет некоторый элемент, называемый суммой ряда.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Поэтому не вижу ничего не строгого у Фихтенгольца, определяющего:
Цитата:
Пусть задана некоторая последовательность чисел $a_1, a_2, ...$. Составленный из этих чисел символ $a_1+a_2+a_3+...$ называется бесконечным рядом, а сами числа членами ряда.

до определения сходимости. Это более общий подход, применимый и к расходящимся рядам.

У меня с этим определением только одна проблема — что такое «символ»? Множество знаю, функция, отображение знаю, последовательность знаю. А «символ» мне непонятен. Рудин (в оригинале) куда более честен:

Цитата:

With $\{a_n\}$ we associate a sequence $\{s_n\}$, where

$$s_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k.$$

For $\{s_n\}$ we also use symbolic expression

$$a_1+a_2+a_3+…$$

, or, more concisely,

$$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k.$$

Перевод (читайте и дивитесь):

Цитата:

Последовательности $\{a_n\}$ мы сопоставим последовательность $\{s_n\}$, где

$$s_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k.$$

Символ

$$a_1+a_2+a_3+…$$

, или, короче,

$$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$$

мы будем называть бесконечным рядом или просто рядом. Числа $s_n$ называются частными суммами этого ряда.

Переводчик полностью потерял связь символа (обозначения) с исходной и производной последовательностью.

Заметьте, что определение ряда как последовательности частичных сумм столь же универсально (применимо, например, к произвольной групповой операции) и не связано со сходимостью.

[dmd]

незваный гость писал(а):

Пределы — тоже останутся. Они той же природы, что и ряды.

Хмм.. С этим тоже не могу согласиться. Пределы - инструмент для описания, ряды и их суммы - элементы описания.

[juna]

Руст писал(а):

Раз мы говорим ряд сходящий или ряд расходящий, то в определении ряда не должны присутствовать частичные суммы. Ряд это просто отображение структрированного множества в абелеву группу и символ суммы указывает на операцию в группе. Если отображение в мультипликативную группу, где операция обозначается *, то это даст произведение. Если структура конечная, то всегда имеет смысл суммы ряда. В случае, когда структрированное множество счётно и имеется непрерывная структура на группе, то это в соответствующих условиях, определяет некоторый элемент, называемый суммой ряда.

А что конкретно полезного могут дать эти обобщения?
Для незванного гостя - символ здесь первоначальное неопределимое понятие.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

А что конкретно полезного могут дать эти обобщения?
Для незванного гостя - символ здесь первоначальное неопределимое понятие.

Это проясняет суть "символ" в определении Фихтенгольца. Ряд это не просто подмножество элементов, занумированных структрированным множеством (как для последовательности), но учитывает, так же операцию, определённую на этом множестве. Символ указывает на эту совокупность элементов и операцию, определённую на этом множестве.

[juna]

Мне просто интересно, получено ли что-нибудь конструктивно полезное на пути этих обобщений - например, обобщенную сумму приписывать расходящимся рядам как то более универсально и т.п.

[Руст]

На обобщённую сумму можно смотреть как на линейный (желательно непрерывный) функционал на множестве последовательностей, состоящих из членов ряда. Однако, когда не существует настоящей суммы, то продолжение на большее множество возможных рядов неодназначно. Некоторый интерес для приближений имеют изученные обобщённые суммы типа Чезаро, или предела при х стремящемся к 1 от $\sum_n a_nx^n$.

[Brukvalub]

А по-моему, ряды настолько глубоко проросли в тело математики, что впору вообще открыть новую ветку форума, назвав ее, скажем: феномен понятия ряда в математике. А еще неплохо бы по примеру книги "В. В. Прасолов. Многочлены" написать аналогичную энциклопедию по применению рядов в математике.
Если говорить о числовых рядах, то после того или иного определения ряда, всегда сразу же встает вопрос о его сумме (опять же в том или ином смысле, а не только как предела последовательности частичных сумм). Поэтому можно считать, что числовой ряд - это удобный способ изучения предела числовой последовательности, а различные признаки сходимости рядов (в классическом смысле)- это признаки существования предела специальным образом записанной числовой последовательности. Польза же записи пределов последовательностей в виде рядов становится неоспоримой после появления функциональных рядов - и как способ вычисления функций, и как источник появления новых функций и даже целых классов функций (аналитические функции в Т.Ф.К.П.) А еще есть теория формальных рядов как самостоятельных объектов, с которыми производятся действия без приписывания им сумм. Все это наталкивает меня на мысль, что одним определением ряда в настоящее время, по-видимому уже не обойтись, и нужно давать такое его определение, которое подходит "локально" для той или иной части математики.

[juna]

Мне вообще кажется, что изучение дискретного анализа - с квантовыми производными, формальными рядами должно предшествовать математическому анализу, распостраняющего эти операции на непрерывную структуру. А приписывание формальному ряду некоторого замкнутого выражения до конца не проработано.