2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Определение ряда: что такое ряд и с чем его едят
Сообщение28.08.2006, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
 !  незваный гость:
Тема выделена из Определение числа e


:evil:
Highwind писал(а):
Если так писать, то надо доказать, что ряд в правой части сходится.

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 00:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


04/09/05

410
Москва
незваный гость писал(а):
:evil:
Highwind писал(а):
Если так писать, то надо доказать, что ряд в правой части сходится.

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

:evil: Разве? Мне всегда казалось, что ряд это лишь формальная запись бесконечной суммы. А частичная сумма - енто конечная сумма. А предел - енто вообще число. Значит ряд - енто число?
А то, что вы определили, обычно называется суммой ряда, а не самим рядом. Впрочем, может быть, это не так уж и важно :?: Ряд ведь должен иметь сумму. Конечную или бесконечную.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 03:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Highwind писал(а):
Разве? Мне всегда казалось, что ряд это лишь формальная запись бесконечной суммы.

Рискуя опростоволоситься, отвечу вопросом на вопрос: а что такое бесконечная сумма? Насколько я знаю, это определяется через предел.

Ряд, кстати, никому и ничего не должен. Он может иметь конечную или бесконечную сумму. Пример ряда, таковой не имеющей — $\sum_k (-1)^k$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 21:20 
Заблокирован
Аватара пользователя


04/09/05

410
Москва
незваный гость писал(а):
:evil:
Highwind писал(а):
Разве? Мне всегда казалось, что ряд это лишь формальная запись бесконечной суммы.

Рискуя опростоволоситься, отвечу вопросом на вопрос: а что такое бесконечная сумма? Насколько я знаю, это определяется через предел.

Ряд, кстати, никому и ничего не должен. Он может иметь конечную или бесконечную сумму. Пример ряда, таковой не имеющей — $\sum_k (-1)^k$.

Насчет суммы это я погорячился, вы правы, конечно.
Насчет остального может вы тоже правы, но смотрите. Возьмем ваш же пример $\sum_k (-1)^k$. Здесь предел как ни бери, его нет. Значит и ряда тоже нет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 22:00 


21/06/06
1721
Ну ряд то ведь это особым образом определенная последовательность. Так, что и в этом случае есть последовательность частичных сумм. Хотя это вопрос философский. Ну так можно сказать вообще, нет предела последовательности нет и ее самой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 22:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


04/09/05

410
Москва
Sasha2 писал(а):
Ну ряд то ведь это особым образом определенная последовательность. Так, что и в этом случае есть последовательность частичных сумм. Хотя это вопрос философский. Ну так можно сказать вообще, нет предела последовательности нет и ее самой.

Да, верно. Об этом я и говорю. То есть я хочу сказать, что ряд - это формальная запись бесконечной суммы, о чем я уже говорил. С ударением на слово "формальная".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 05:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
незваный гость писал(а):
Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

XpeH писал(а):
Предел пос-ти частичных сумм - это сумма ряда

"Удивительное — рядом, но оно запрещено." :wink: Я обалдел, когда открыл Фихтенгольца, т. 2, с. 257. Ряд — это символ!!! Пришлось мести пол, чтобы найти упавшую челюсть. От Ф. я такого не ожидал. Я ожидал ряд как последовательность частичных сумм.

Но Вы, несомненно, правы. Предел последовательности частичных сумм — это сумма ряда, буде таковой предел существует. Тут я погорячился в погоне за краткостью :oops:.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 06:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
незваный гость писал(а):
:evil:
незваный гость писал(а):
Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

Ряд — это символ!!! Пришлось мести пол, чтобы найти упавшую челюсть. От Ф. я такого не ожидал. Я ожидал ряд как последовательность частичных сумм.

На самом деле обалдеть можно от первого (вашего ) определения.
Любое математическое понятие является именем некоторого объекта, а имя объекта другими словами и есть символ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Руст писал(а):
Любое математическое понятие является именем некоторого объекта, а имя объекта другими словами и есть символ.

Не поленитесь залезть в Ф., Вы, уверен, поймете, о чем я говорю. Ф. не приводит объекта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
А как быть с рядами:
1-1+1-1+1-1+...
1-3+5-7+9-11+...
Л.Эйлер приписал значение 1/2 первому, а второму 0.
Фихтенгольц вводит главы по расходящимся рядам вот и действует аккуратно. А в целом, наверное, за ними большое будущее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Артамонов Ю.Н. писал(а):
А как быть с рядами:
1-1+1-1+1-1+...
1-3+5-7+9-11+...
Л.Эйлер приписал значение 1/2 первому, а второму 0.

Поскольку для любой сходящейся последовательности $a_n$ ${\bar a}_n = \frac1n \sum\limits_{k=1}^n a_n$ имеет тот же предел, мы имеем право рассматривать предел второй как обобщение «предела» первой. В этом смысле можно получить эйлеровские результаты. В целом это «интегральное» определение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Суммирование по Чезаро(если Вы это имеете ввиду) не всегда дает результаты. Возможно кардинальной мерой является несколько иное упорядочение чисел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
незваный гость писал(а):
:evil:
Руст писал(а):
Любое математическое понятие является именем некоторого объекта, а имя объекта другими словами и есть символ.

Не поленитесь залезть в Ф., Вы, уверен, поймете, о чем я говорю. Ф. не приводит объекта.


Объектом и является сам символ - формальная сумма бесконечной последовательности чисел. Я так студентам и объясняю. Подчёркиваю, что сумма именно формальная, поскольку в арифметике определены суммы только конечных последовательностей чисел. В связи с чем требуется специальное определение, чтобы придать этому символу смысл. Далее объясняю, что придать смысл этой формальной сумме можно различными способами. Простейший и наиболее естественный("на пальцах"): складывать последовательно всё больше и больше элементов последовательности и проследить, к какому пределу эти суммы стремятся. Потом формализую это известным способом (частичные суммы и их предел). В качестве другого способа показываю метод средних арифметических.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
На пальцах — это хорошо. А без? Я склонен был определять ряд как последовательность частичных сум (в цитированной моей фразе сумма пропущена дважды), которая обозначается символом. Но Ф. и Вы меня озадачили. Символ без объекта?! Можно, конечно, рассмотреть семейство произвольных подсум… (и это работает для абсолютно сходящихся рядов).

Не откажите в любезности, приведите строгое формальное опредение ряда (я не иронизирую, но Ф. — это явно что-то нестрогое).

Между прочим, разные определения суммы ряда в чем-то сродни разным интегралам (тоже обозначаемым одним и тем же символом).

Приведу для сравнения: $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}U_k$ называется множество $X = \{u: \exists k: u \in U_k\}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Хм. Заглянул в учебник Л.Д.Кудрявцева. Он определяет числовой ряд как пару последовательностей чисел $\{u_n:n\in\mathbb N\}$ и $\{s_n:n\in\mathbb N\}$, причём, вторая - это, естественно, последовательность частичных сумм, и вводит для этой пары в качестве обозначения обычную запись ряда.

Вообще говоря, мне неясно, зачем нужна пара последовательностей, если каждая последовательность однозначно восстанавливается по другой, а в обозначении ряда участвует только одна. Также неясно, чем это лучше определения числового ряда как формальной суммы бесконечной последовательности чисел или (мне где-то такой вариант попадался) как "числовой последовательности, записанной в виде $u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots$".

Может быть, попросить модераторов выделить обсуждение определения ряда в отдельную тему и поговорить об этом? Но у меня мыслей на эту тему немного. Я как-то "с детства" привык к тому определению, о котором говорил раньше (не помню точно, но, по-моему, И.А.Вайнштейн, который читал нам лекции по математическому анализу, определял ряд по Фихтенгольцу).

Можно попробовать определить числовой ряд как отображение из множества последовательностей чисел в множество последовательностей частичных сумм (понимая последовательность в обобщённом смысле, как индексированную элементами направленного множества, чтобы учесть всякие разновидности рядов: кратные ряды, ряды Лорана, и что там ещё есть). Что-то такое у Кудрявцева "между строчек" можно усмотреть.

Однако моим студентам такое определение будет не по зубам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group