Определение ряда: что такое ряд и с чем его едят

[Руст]

Суть формального ряда как раз в придании смысла как можно большему количеству возможных последовательностей из его членов сумму ряда, что означает продолжение линейного функционала на множестве $\{a_n\}$, определённого как $\sum_n a_n$ в случае, когда все члены за исключением конечного числа нули, на более общие последовательности. Тут возникает вопрос, насколько однозначно и до каких именно, и не нарушая каких условий можно продолжить этот линейный функционал. Вопрос содержательный и связан с непрерывной структурой.

[juna]

А можно ли об этом где-нибудь почитать более подробно?

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Для незванного гостя - символ здесь первоначальное неопределимое понятие.

Тогда три вопроса:
1) как он связан с исходной последовательностью;
2) как им пльзоваться, им манипулировать;
3) (я уже писал) понятия обычно вводятся либо аксиоматически, либо построением. Почему вдруг для ряда сделано исключение?

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

А можно ли об этом где-нибудь почитать более подробно?

В этом вопросе я неграмотен. Видел книжку (но не купил) Харди "Расходящиеся ряды", может быть там что то есть.
Можно пока рассуждать вслух. Определим группу S всех перестановок членов ряда. Инвариантной относительно этой группы сумму имеют только абсолютно сходящиеся ряды. Определим подгруппу S0 таких перестановок f, что дефект |f(n)-n| ограничено (для каждой элемента f этой подгруппы своим числом a(f)). Достаточно естественным является требование инвариантности относительно этой подгруппы. Все известные обобщённые суммирования инвариантны относительно этого.
Один из способов определить обобщённое суммирование заключается в выборе функций f(n,x) и вычислить сумму

$$\sum_n a_nf(n,x)$$

и вычислить предел при х стремящимся к 1, при условии, что при этом f(n.x) стремится к 1.

[juna]

Для незванного гостя: често говоря, я не знаю что Вам ответить. Исходное понятие введено вполне аксиоматически, как определение понятия точки у Евклида.
Для Руста: я тоже просто интересуюсь, и безграммотен более Вас, а Харди у меня есть. Пусть будет и у Вас http://slil.ru/0
Из классиков с расходящимися рядами еще Пуанкаре имел дело. Но хотелось бы ознакомиться с современным состоянием дел.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Для незванного гостя: често говоря, я не знаю что Вам ответить. Исходное понятие введено вполне аксиоматически, как определение понятия точки у Евклида.

Почему бы не последовать примеру дальше: приведите, пожалуйста, аксиомы. Я их как-то не встретил нигде.

Заметьте, что в отличии от точек, ряд (во всех определениях) суть производная исходной последовательности. В известном смысле сумма ряда есть дискретный интеграл. Но я никогда не слышал об аксиоматическом введении интеграла.

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Пусть будет и у Вас http://slil.ru/0

Ссылочку не найдете возможным поправить?

[juna]

Извиняюсь, какой-то глюк на slil.ru, исправил ссылку http://webfile.ru/1084015

[Руст]

Когда множество индексов имеет структуру локально компактной группы, то сумма ряда из естественных аксиоматических построений получится интегралом Хаара. На самом деле, слегка изменяя аксиомы суммирования, можно распространить теорию интеграла Хаара и на локально компактные полугруппы, каким является множество неотрицательных целых чисел, т.е. сумма ряда есть интеграл Хаара. Думаю обобщённое суммирование так же имеет конструкцию предела при у стремящимся к 1 (по допольнительному переменному) от интеграла Хаара по х. Если есть интерес, я могу это развить до более менее чёткой теории.

[Brukvalub]

По свидетельству очевидцев, в конце 60-х - начале 70-х годов один из лекторов на мех-мате излагал теорию рядов как частный случай ранее изложенной им общей теории интеграла по мере. Как мне рассказывали, было очень трудно потом принимать экзамен у студентов этого потока. Фамилии лектора и рассказчика не называю, так как сам свидетелем случившегося не был, да и быть им по возрасту не мог, и вообще - сейчас это уже предания былых времен...

[Руст]

Разница только в том, что под "суммой" на компактах принимать.

[juna]

Руст писал(а):

Когда множество индексов имеет структуру локально компактной группы, то сумма ряда из естественных аксиоматических построений получится интегралом Хаара. На самом деле, слегка изменяя аксиомы суммирования, можно распространить теорию интеграла Хаара и на локально компактные полугруппы, каким является множество неотрицательных целых чисел, т.е. сумма ряда есть интеграл Хаара. Думаю обобщённое суммирование так же имеет конструкцию предела при у стремящимся к 1 (по допольнительному переменному) от интеграла Хаара по х. Если есть интерес, я могу это развить до более менее чёткой теории.

С радостью продолжил бы этот диалог, только чувствую, что он превратится в Ваш монолог. Поэтому, ищу книгу по интегралам Хаара. Как прикладнику, было бы очень интересно поюзать готовый продукт.

[OZH]

незваный гость писал(а):

Я ожидал ряд как последовательность частичных сумм.

Если быть предельно точным, то ряд --- это упорядоченная пара последовательностей: \{a_n\}_{n=1}^{\infty} (члены ряда) и \{s_N\}_{N=1}^{\infty} (частичные суммы ряда). По определению частичные суммы представляют собой правила суммирования первых членов ряда. Таким образом, можно положить s_N=(1/N)\sum_{n=1}^Na_n, что соответствует последовательности средних арифметических. Другими словами, вид частичных сумм определяет правила расстановки скобок при суммировании членов ряда. Возьмите знакопеременную последовательность единиц: каждое правило расстановки скобок порождает свой числовой ряд. (Насколько я понимаю суть вопроса...)

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Поэтому, ищу книгу по интегралам Хаара. Как прикладнику, было бы очень интересно поюзать готовый продукт.

Можно читать по Бурбаки. Хорошо изложено и в Понтрягине "Непрерывные группы", только там устаревшая терминология - бикомпакты и прочие.

[OZH]

А нельзя ли здесь на ходу сформулировать определение локально компактной группы?

[незваный гость]

OZH писал(а):

ряд --- это упорядоченная пара последовательностей

Об этом уже писал Someone, цитируя учебник Кудрявцева. В Вашем определении (без иронии, но Вы не приводите источник, так что по иному сослаться трудно. Я понимаю, что оно скорее всего достаточно общепринято) есть то достоинство, что последовательность частичных сумм не определена жестко, поэтому есть определенная свобода суммирования. Но возникает вопрос: если ряд — это пара из последовательности и последовательности частичных сумм, то абсолютная сходимость — это, по сути, утверждение не о ряде, а о семействе рядов (отличающихся порядком членов). Можно, конечно, и так, но странновато. Впрочем, та же проблема возникает и с определением по Рудину.

У меня возникает тихое ощущение, что может быть, ряд и последовательность — просто синонимы, и о ряде говорят, когда говорят об определении бесконечной суммы последовательности. В чем я не прав?