Есть ли синтаксис в математике?

[Xaositect]

К сожалению, у меня сейчас слишком мало врмени, чтобы продолжать, но это все можно прочитать в любом учебнике логики, например, в том же Клини или Черче.

errnough в сообщении #307656 писал(а):

2 Xaositect:

Однако, если Вы неявно принимаете за предположительно истинное высказывание, на основании которого собираетесь строить дальнейшие логические рассуждения, следующую аксиому:

«Если $F$ — истинное высказывание, то $(\neg F)$ — ложное высказывание»,

Да, я собирался его вводить при определении интерпретации. А что Вам в нем не нравится? Если с обратным следствием есть некоторые терки, то ж это-то вряд ли кто-то будет оспаривать.

Цитата:

тогда я отрицаю допустимость вот этого выражения: $\neg B\rightarrow$.
В натуральном языке это звучит так: «Из ложного высказывания ничего не следует.» (Запрет операции "следует" для ложного высказывания.)

Не понял?

Цитата:

Именно на это утверждение опираются те, кто считает, что в основе любой аксиоматической теории находятся предположительно истинные высказывания. (От себя добавлю уточнение: отсюда следует запрет на неопределенные, в истинностном значении, высказывания. Иными словами, ставится требование однозначности, непротиворечивости высказывания, если оно — посылка.)

------

У меня готов пример из математики. Чаще всего конструкцию проще пояснить на примере. Могу показать, что операция вычитания векторов неопределена (противоречива, незаконна). Сегодня редко встретишь человека, который следует логике и доверяет ей проверку высказываний. Надеюсь, кажущаяся невероятность утверждения из примера не заставит Вас отказаться от исследования логики вывода.

Определения не бывают противоречивыми, только некорректными.
Определение вычитания векторов: $z = x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.
Вы хотите показать его некорректность?

[Maslov]

errnough в сообщении #307656 писал(а):

Однако, если Вы неявно принимаете за предположительно истинное высказывание, на основании которого собираетесь строить дальнейшие логические рассуждения, следующую аксиому:

«Если $F$ — истинное высказывание, то $(\neg F)$ — ложное высказывание»,

тогда я отрицаю допустимость вот этого выражения: $\neg B\to$
В натуральном языке это звучит так: «Из ложного высказывания ничего не следует.» (Запрет операции "следует" для ложного высказывания.)

В формальном (аксиоматическом) исчислении высказываний, построенном до сих пор, нет понятий истинности и ложности; есть только понятие выводимости. Истинность и ложность -- это понятия алгебры высказываний, которая является одной из интерпретаций исчисления высказываний.

Поэтому аксиому

$F$ истинно $\to \neg F$ ложно

пока сформулировать просто не удастся. Однако в исчислении высказываний выводимы формулы $F \to \neg \neg F$ и $\neg \neg F \to F$, которые могут быть проинтерпретированы как "отрицание лжи есть истина".

Ну и кроме этого, доказывается теорема о непротиворечивости аксиоматического исчисления высказываний, утверждающая, что формулы $F$ и $\neg F$ не могут одновременно быть выводимыми.

Если же Вы отказываетесь от формулы $\neg B \to ...$, то от формулы $B \to ...$ тоже придется отказаться: в импликации $\neg B \to ...$ формула $\neg B$ может быть быть выводима (т.е., интерпретироваться как истинная), а в импликации $B \to ...$ формула $B$, наоборот, может интерпретироваться как ложная.


Ну и еще один (уже менее формальный) аргумент в пользу того, что из лжи следует все что угодно (из алгебры предикатов).

Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

При подстановке любого значения аргумента истинный предикат превращается в истинное высказывание, поэтому
$(6 > 5) \to (6 > 3) ~~~~ (T \to T)$
$(4 > 5) \to (4 > 3) ~~~~ (F \to T)$
$(2 > 5) \to (2 > 3) ~~~~ (F \to F)$

[errnough]

Xaositect,
можно не обсуждать посылку «Если $F$ — истинное высказывание, то $(\neg F)$ — ложное высказывание», принять ее за истинную, и посмотреть, что из этого следует.

А следует вот что. По Вашему примеру, «2. Схема аксиом $(A\to B)\to(\neg B\to \neg A)$.», предполагая, что

1. Действия выполняются слева направо;
2. Скобки указывают на порядок действий;

как только для $B$ построено отрицание, а $(\neg B)$ получает значение "ложь", и учитывая, что в Вашей системе разрешено без ограничений записать $(\neg B \to ...)$, то это равносильно, что из ложной посылки в Вашей системе допустимо выводить заключение (теорему). Мне кажется очевидным, что последнее противоречит логической структуре дедуктивных наук, где все умозаключения (теоремы) выводятся из предположительно истинных высказываний. В такой системе формализовать дедуктивно полученные знания не удастся. Если же пойти на ухищрения и формализовать существующее, то это будет аналог телефонного справочника по критерию эвристической ценности.

Как раз на примере от М.Маслова хорошо видна проблема попытки вывести заключение из ложной посылки:

Maslov в сообщении #307927 писал(а):

нет понятий истинности и ложности; есть только понятие выводимости.
...
Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

Что означает "тождественно истинный", не совсем понятно, по-видимому, самому себе.

Если при подстановке я могу представить, откуда следует вот это:
$(6 > 5) \to (6 > 3) ~~~~ (T \to T)$,
и могу эту истинность $P(x)$ разными путями (известный прием проверки), достаточно убедительно показать, то следующая подстановка лично меня ставит в тупик:
$(4 > 5) \to (4 > 3) ~~~~ (F \to T)$.
Вы можете набросать ход своих рассуждений, и показать, что действительно из первой скобки следует вторая? Интересно увидеть определение для термина "следует", обозначенного символом "$\to$".

Для формализации этого примера я бы взял хорошо знакомые из математики термин и определение "функция", и не изобретал бы "логический" велосипед. По моему мнению, $P(x)$ это простая функция с областью своих значений $\left \{ T,F \right \}$, и областью значений аргумента $x$. Если мы для удобства вычисления (так делают в программировании) символы $\left \{ T,F \right \}$ заменим на символы $\left \{ 1,-1 \right \}$, то вообще переходим к хорошо исследованной области анализа. Осталось воспользоваться определением функции до конца, и указать область допустимых значений аргумента. Мой запрет операции "следует" из ложного высказывания жесткий, и похож на запрет операции деления на ноль. Поэтому для $x \leq 5$ функция не определена.
Отсюда:
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$, — определена на $x > 5$;
$P(x) = (x > 5)$, — определена на $x \in R$;
$P(x) = x$, — всюду на $x$ неопределена (функция не задана).

Xaositect в сообщении #307891 писал(а):

Определение вычитания векторов: $z = x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.
Вы хотите показать его некорректность?

Да, конечно. Вы предложили один из возможных путей для определения вычитания векторов. Суть примера не в его значении, оно побочный эффект, а в том, как мог бы работать алгоритм. С векторами и противоречием всё просто. Вычитание векторов ничему не соответствует в физической действительности. С этого момента мы и пойдем назад, от противоречия.

Однако сначала покажу именно для Вашего определения его противоречивость.

Примем за истинные посылки:
1. Можно задать декартову систему координат (СК).
2. В СК по пункту 1 можно задать отрезок.
3. В СК по пункту 2 можно задать два различных отрезка.
4. По определению из геометрии, если точки совпадают координатами, это одна и та же точка.
5. Двумя различными отрезками будут считаться такие, для которых можно указать хотя бы одну точку одного отрезка, координаты которой не совпадают с какой-либо точкой второго.
6. По определению вектора, обозначив концы отрезка разными символами (буквами, треугольничками, координатами, и т.п.), мы задаем порядок для точек отрезка.
7. Продемонстрируем пункт 1-6 графически, (рис. 1):

8. Пункт 5 продемонстрируем следующим примером: (рис 2).
Векторы $A$ и $B$ различные векторы.

9. Операция "сумма" над векторами определена для двух разных (пункт 5) векторов, $A$ и $B$, если у этих векторов совпадают пары координат: либо начало-начало, либо конец-начало. Для остальных пар операция сумма не определена. (рис. 3):
а) все векторы разные.
б) сложить можно пары (A,B), (A,A'), (A',B) и (D,E). Для остальных пар операция "сумма" не определена.


Далее возьмем для примера [Н. Бухгольц, Основной курс теоретической механики. ч.1. Кинематика, статика, динамика материальной точки., М.: Наука, 1965. стр. 26]:



Опустим неформализуемую на язык логики игру слов из этой цитаты, что якобы разность есть сложение. Просто проследим за тем, что происходит. Следуя тому, что Вы написали:
«Определение вычитания векторов: $z = x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.»
Запишем аналогично для приведенной цитаты:
$d=a-b$, если $d+b=a$

Если по пунктам 1-9 возражений нет, то из них с необходимостью следует, что векторы $d$ и $b$ сложить нельзя. Отсюда заключаем, что Ваше определение противоречиво (некорректно).

-----------
Движение по алгоритму напоминает игру. Правила простые, им сто лет в обед. Их всего два.
1. Запрет противоречий, как окончательного результата.
2. Рассуждения ведутся по правилам логики (из предположительно истинных высказываний).
Ближняя цель — получить противоречие (с определением, аксиомой, теоремой, или с другим рассуждением на тех же посылках). Да, вот такая странная ближняя цель. Идем к противоречию (или неопределенности в операции), как к первой цели, потому что оно означает, что с этого шага алгоритм разворачивается на рекурсию. Идти постепенно к противоречию хорошо при каких-то частных задачах, но у нас есть свой интеллект, и поэтому в эту игру лучше вступать с уже обнаруженного противоречия.

Но на самом деле, линейный порядок чтения приведенных выше пунктов от 1 к 9, не отображает алгоритма работы, он как иголка швейной машины, рекурсивный. Это просто причесанная, окончательная картина.

Реконструкция.

Ограничимся для простоты примера, что определение у термина короткое, по возможности, в одно слово, исключая из счета связку "суть" и служебные слова из грамматики, например, предлоги, союзы и пр. Тогда термин "вектор" имеет определение: "суть стрелка". На десятом шаге-итерации определение должно вырасти линейно до $2^{10}=1024$ слов. Это если не будет найдено противоречий. Уверяю, что если работать над конкретным текстом из математики, то без противоречий не обойдется, а десятый шаг в определении может появиться очень нескоро... Образное представление: получается не база знаний предсуществующих знаний, вложенная в заранее продуманную структуру, а запись новых образований: связей терминов, и новых рассуждений. Структура вырастет сама, автоматически, так, как это получается у семени растения. Или у морозной снежинки на стекле. Есть предположение (мое), что начав с любого понятия в существующей математике, работающий алгоритм отрисует одну и ту же, новую, и незнакомую до этого структуру для всей математики. Но это гипотеза, конечно...

Читаем в таком порядке: 0, –1, ...

Процедура (A): Даем произвольное определение вектора.

-3. (Что такое "отрезок"?) множество точек; (Что такое "разные концы"?) точка-начало, точка-конец.
-2. (что такое "стрелка"?) суть отрезок с разными концами.
-1. вектор суть стрелка.
=0======= Противоречие ===========

Определение вектора закончено. Переход на процедуру (B) построения объекта, который получил определение в (A).

Пояснение. В отрицательную сторону мы строим высказывание, уточняющее начальное, назовем его "seed". Например, "$1/3$ суть число." или "Вектор суть стрелка." Высказывание простое, типа заголовка, просто точка входа в алгоритм. В положительную сторону строятся умозаключения из уточняющих высказываний. Умозаключения могут быть сложнее, чем в два слова.

Процедура (B): Построение Точки-начала.
=0. Можно построить точку-начало.
+1. Из 0. следует, что "точка-начало" отличается от остальных "просто-точек". В определении не задано отношение к другим точкам. Неопределенность. Возврат к задаче определения (A).

Процедура (A): уточнение.
-5. вектор суть множество точек линии, кратчайшей между двумя точками с заданными координатами в декартовой системе с указанными началом-концом.
-4. вектор суть множество точек прямой; точки: "начало", "конец" — их координаты.

Определение закончено. Переход к задаче построения объекта, (B).

...

На этом прервусь, слишком много для одного раза. Шаги алгоритма утрированы, строгость принесена в жертву читаемости.

[Xaositect]

errnough в сообщении #308039 писал(а):

Xaositect,
можно не обсуждать посылку «Если $F$ — истинное высказывание, то $(\neg F)$ — ложное высказывание», принять ее за истинную, и посмотреть, что из этого следует.

А следует вот что. По Вашему примеру, «2. Схема аксиом $(A\to B)\to(\neg B\to \neg A)$.», предполагая, что

1. Действия выполняются слева направо;
2. Скобки указывают на порядок действий;

как только для $B$ построено отрицание, а $(\neg B)$ получает значение "ложь", и учитывая, что в Вашей системе разрешено без ограничений записать $(\neg B \to ...)$, то это равносильно, что из ложной посылки в Вашей системе допустимо выводить заключение (теорему). Мне кажется очевидным, что последнее противоречит логической структуре дедуктивных наук, где все умозаключения (теоремы) выводятся из предположительно истинных высказываний. В такой системе формализовать дедуктивно полученные знания не удастся. Если же пойти на ухищрения и формализовать существующее, то это будет аналог телефонного справочника по критерию эвристической ценности.

Ну я же объяснял про $\to$ и $\vdash$. Не до конца, правда. Почитайте, пожалуйста, Клини или Черча по поводу вывода из гипотез и теоремы о дедукции, у меня нет времени это переписывать сюда своими словами.

Цитата:

Как раз на примере от М.Маслова хорошо видна проблема попытки вывести заключение из ложной посылки:

Maslov в сообщении #307927 писал(а):

нет понятий истинности и ложности; есть только понятие выводимости.
...
Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

Что означает "тождественно истинный", не совсем понятно, по-видимому, самому себе.

Значит, что он истинен при любом $x$.

Цитата:

Для формализации этого примера я бы взял хорошо знакомые из математики термин и определение "функция", и не изобретал бы "логический" велосипед. По моему мнению, $P(x)$ это простая функция с областью своих значений $\left \{ T,F \right \}$, и областью значений аргумента $x$. Если мы для удобства вычисления (так делают в программировании) символы $\left \{ T,F \right \}$ заменим на символы $\left \{ 1,-1 \right \}$, то вообще переходим к хорошо исследованной области анализа. Осталось воспользоваться определением функции до конца, и указать область допустимых значений аргумента. Мой запрет операции "следует" из ложного высказывания жесткий, и похож на запрет операции деления на ноль. Поэтому для $x \leq 5$ функция не определена.
Отсюда:
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$, — определена на $x > 5$;
$P(x) = (x > 5)$, — определена на $x \in R$;
$P(x) = x$, — всюду на $x$ неопределена (функция не задана).

То есть Вы считаете, что $F\to T$ не определено?
Ну значит вы рассматриваете неклассическую логику.

Цитата:

Xaositect в сообщении #307891 писал(а):

Определение вычитания векторов: $z = x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.
Вы хотите показать его некорректность?

Да, конечно.
... (длинный текст про векторы)

Замечательно. Сначала Вы говорите про связанные векторы (направленные отрезки), а потом приводите цитату из учебника, который написан в терминах свободных векторов. Понятно, что так вылезут некорректности.

Еще раз повторю определения. (1) $z=x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.
Рассмотрим связанные векторы. В этом случае (2) складывать $a$ и $b$ можно только если $a = \vec{AB}$, $b = \vec{BC}$, и результат будет $\vec{AC}$.
Исходя из этих двух определений, дадим конструкцию вычитания: вычесть $y$ из $x$ можно только если $x = \vec{AB}$, $y=\vec{AC}$, и результат $z = x-y = \vec{CB}$.
Можете легко проверить , что так определенное вычитание подходит под определение (1) и корректно определено.

В случае свободных векторов их можно складывать всегда, и вычитать тоже.

[errnough]

Xaositect,
об остальном чуть позже, а пока просто реплика.

Фактически, Вы подвергаете сомнению (или отрицаете) истинность пункта 9. Тогда да, с Вашей точки зрения, мое заключение автоматически получает статус неопределенного.

Однако в обоснование этого Вы привели свое, частное определение суммы векторов, специальное для "вычитания". А где же общность рассмотрения? Вы считаете, что можно выкинуть из рассмотрения пару векторов (D,E) как такую, для которой операция "сумма" определена? На каком основании? Для этой пары, следовательно, не существует и разности векторов. Очень близко к противоречию...

[Xaositect]

А, извиняюсь, просмотрел. У Вас какое-то нестандартное определение сложения векторов, откуда Вы его взяли?
Оно у вас неассоциативно:
$\xymatrix{ & &C\\A\ar[r]&B\ar[ur]\ar[dr]&\\ & &D}$
$\vec{AB}+(\vec{BC}+\vec{BD})$ определено, а $(\vec{AB}+\vec{BC})+\vec{BD}$ нет.
Не дела.

[Maslov]

errnough в сообщении #308039 писал(а):

Интересно увидеть определение для термина "следует", обозначенного символом "$\to$".

Определение связки $\to$ в аксиоматической теории дается самими аксиомами через спецификацию правил выводимости с использованием этой связки. Если Вам нужно определение в алгебре высказываний (т.е., в интерпретации аксиоматического исчисления высказываний), то ее можно определить значениями истинности (1, 1, 0, 1).

Но на самом деле, $F \to F$ -- это просто на уровне житейского здравого смысла. Фразу типа "Если ты хороший художник, то я -- китайский император" слышали когда-нибудь? :)

[errnough]

2 Xaositect
Вы предлагаете взять уже тройку векторов для операции сумма, вместо пары, и мы сразу перескакиваем в другой контекст через целый кусок рассуждений. Поэтому стало и непонятно. Пропускать куски опасно.

Ваша схема для суммирования, назову ее цепочечная, имеет тот "недостаток", что члены оказались без свойства коммутативности и ассоциативности. Эта схема уже не работает при трех векторах.
$\xymatrix@=10pt{& & B\ar[drrr]^2 & & & &\\& & & & & C\ar[dddd]^3 &\\& & & & & & &\\A\ar[uuurr]^1\ar@{-->}[uurrrrr]_{1+2}\ar@{-->}[ddrrrrr]_{1+2+3} & & & & & &\\& & & & & & &\\& & & & & D &\\& & & & & & &\\}$
Нельзя сложить 1+3+2, откуда и ассоциативность не работает. Ваш способ определения суммы называется правило векторного многоугольника, или суммирование по замкнутому контуру. И правило это настолько сильное, что фактически, это аксиома, причем неявно используемая.

В девятом пункте была совершена операция, которая осталась без внимания, поскольку для пары векторов значения не имела. Эта операция разделяет множество векторов по признаку "сумма: определена/не определена" на два подмножества (класса). Но сделано это было на глазок, по нарисованному, не через процедуру. Можно указать правило суммирования вместе с процедурой построения подмножества, где оно определено, и где коммутативность и ассоциативность выполняется.

10. Пропуская некоторые рассуждения при рассмотрении суммирования... можно прийти к выводу, что если каждая точка задает начало для континиума радиус-векторов, то эти радиус-вектора аддитивны, с свойством коммутативности и ассоциативности.

Все радиус-вектора из точки $O$ могут быть просуммированы в любом порядке. При этом продукт суммы снова радиус-вектор. Первое же вычитание (если бы оно могло без противоречий быть введенным) дает продукт, уже не находящийся в множестве этих радиус-векторов. В свою очередь, если каждый из этих радиус-векторов своим концом задает снова радиус-векторы, то для пары векторов с общей точкой также можно ввести правило суммирования, и на построенном таким образом множестве и определена операция суммирование векторов.

Здесь два замечательных момента. Грассман втаскивал вектора в математику из физики. Некоммутативность это вовсе не недостаток. Это математический критерий, прошедший проверку в физической действительности. Если мы рассмотрим сумму перемещения частицы (цепочечная схема), то частица движется последовательно, $1\to 2\to 3$. Потребовать здесь коммутативность, это значит разрешить частице мгновенно прыгать в пространстве. Суммирование радиус-векторов тоже подсмотрено в физической действительности. Лебедь, рак и щука, тянущие воз, прикладывают сумму сил, которая очень точно соответствует перемещению воза, если ввести правило суммирования радиус-векторов. И свойство коммутативности и ассоциативности также соответствует физической действительности. Если же рассмотреть распад при столкновении частиц, то получим как раз модель с полным правилом суммирования.

Maslov в сообщении #308143 писал(а):

на самом деле, $F \to F$ -- это просто на уровне житейского здравого смысла.

Вот даже на уровне здравого смысла не придумывается логичное рассуждение, как из ложной посылки выводится следствие: $(4 > 5) \to (4 > 3) ~~~~ (F \to T)$. Если это не получается, почему не сделать правилом запрет на такое действие?

Цитата:

Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

Цитата:

Что означает "тождественно истинный"

Xaositect в сообщении #308048 писал(а):

Значит, что он истинен при любом $x$.

Но это же не работает. Подставим $x=4$, получим теорему, доказать которую невозможно, по меньшей мере. Причина же в другом, без области определения для $P(x)$ мы получаем противоречие для $x=4$, то есть, мы пытаемся доказать противоречие. Еще Аристотель ввел правило, правильность :) которого до сих пор никем не опровергнута: запрет противоречий (как посылки).

Если же мы применим хорошо знакомое понятие из другой области математики, то существенно упростим коммуникацию. Всякий, встретив в логике термин "функция", с полным правом будет считать, что каждому значению аргумента соответствует определенное значение функции. И ситуация, когда из $x=4$ следует любое из $\left \{ T,F \right \}$, автоматически исключается.

Можно, конечно, такую логику назвать неклассической. Но на мой взгляд, мы говорим о логике алгоритма. Сама же логика остается в неприкосновенности, и всегда классическая.

[Maslov]

errnough в сообщении #308198 писал(а):

Вот даже на уровне здравого смысла не придумывается логичное рассуждение, как из ложной посылки выводится следствие: $(4 > 5) \to (4 > 3) ~~~~ (F \to T)$. Если это не получается, почему не сделать правилом запрет на такое действие?

На уровне здравого смысла связка $\to$ означает, что правая часть "не менее истинна", чем левая.

[Xaositect]

errnough в сообщении #308198 писал(а):

Вы предлагаете взять уже тройку векторов для операции сумма, вместо пары, и мы сразу перескакиваем в другой контекст через целый кусок рассуждений. Поэтому стало и непонятно. Пропускать куски опасно.

Приведите определение сложения векторов. Вот Вы там ссылку на учебник давали, вот из него и возьмите. Там, правда, не то, что у Вас, там свободные векторы.

-- Сб апр 10, 2010 14:11:35 --

errnough в сообщении #308198 писал(а):

Здесь два замечательных момента. Грассман втаскивал вектора в математику из физики. Некоммутативность это вовсе не недостаток. Это математический критерий, прошедший проверку в физической действительности. Если мы рассмотрим сумму перемещения частицы (цепочечная схема), то частица движется последовательно, . Потребовать здесь коммутативность, это значит разрешить частице мгновенно прыгать в пространстве. Суммирование радиус-векторов тоже подсмотрено в физической действительности. Лебедь, рак и щука, тянущие воз, прикладывают сумму сил, которая очень точно соответствует перемещению воза, если ввести правило суммирования радиус-векторов. И свойство коммутативности и ассоциативности также соответствует физической действительности. Если же рассмотреть распад при столкновении частиц, то получим как раз модель с полным правилом суммирования.

Если воз большой, то у лебедя, рака и щуки силы, вообще говоря, силы к разным точкам приложены. Силы это скользящие векторы, их складывать можно, если линии действия сил пересекаются. И можно доказать теорему, что любая система сил эквивалентна равнодействующей + паре сил, которая дает вращение, если оно есть.

[errnough]

Вот книга целиком.

Вот определение суммы векторов.


------------------
Я кстати, согласился, что рассматриваю конкретный математический объект: закрепленный (связанный, неподвижный) вектор и множество из этих элементов. Мне очень интересно увидеть, по возможности строгое, определение объекта "свободный вектор".

[errnough]

Maslov в сообщении #307927 писал(а):

Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

Отмечу следующее обстоятельство. Мы неявно делаем проверку на истинность (IF) в голове. Но никак не отображаем эту операцию в записи функции $P(x)$.

Однако реальность заставит нас всё прописать побуквенно. Давайте попробуем сделать что-то реальное, используя те же проверки, $(x > 5)$ и $(x > 3)$. Пусть $P(x)$ это функция управления чем-нибудь. Пусть это гидравлический затвор на атомной станции. Мы опрашиваем с временным интервалом датчик. Величина датчика это $x$. Мы делим ситуацию на два режима, аварийный и рабочий. Естественно, сначала проверяется самое опасное условие — аварийное $(x > 5)$, а иначе просто регулируем в рабочем режиме $(x > 3)$, или ничего не делаем.

Используется синтаксис FreeBasic

01. start
    IF 
      x>5 Then 
      GoTo 20
    Else IF 
      x>3 Then 
      GoTo 10
    End IF
      GoTo 01
10. Процедура: регулируем в рабочем режиме.
...
      GoTo 01
20. Процедура: регулируем в аварийном режиме.
...
 

Что здесь происходит? Если $x\leq 5$, то никакой определенности, что делать автомату, нет, и нужна еще одна проверка (развилка). Если $x\leq 3$, то ни одна процедура не будет выполнена. Вот эта неопределенность (алгоритмически, развилка) и видна теперь невооруженным глазом.

[Xaositect]

Ну в том определении, которое вы приводите, написано как у меня: вектор $b$ отложен от конца вектора $a$.

Сторогое определение свободного вектора на плоскости:
Свободным вектором называется класс эквивалентности множества связанных векторов по отношению равенства.
Скажем, на той картинке, что в последнем посте, все связанные векторы, помеченные буквой $a$, равны. Они представляют один и тот же свободный вектор $a$.

[errnough]

Свободные вектора, получается, есть на самом деле бесчисленное множество векторов, заданное по определенной процедуре. Тогда объект "свободный вектор", в единственном числе, есть элемент этого множества. Придется уточнять процедуру выбора координат, проекций и всего прочего, связанного с системой координат, для элемента, и процедуру выбора элемента из множества.

Элементы из множества "свободные вектора" равны в смысле равенства длин и коллинеарности, но как же ввели длину без системы координат, проекций и прочего?

Хорошая подсказка видится в том, что ни в одном источнике при таком способе введения суммы векторов никто в здравом уме не нарисует все рассматриваемые вектора в системе координат. Все учебники предлагают рисунки на белом куске поверхности, без осей координат. Иначе придется объяснять, почему вектор AB позволено таскать в пространстве, совмещая с вектором DC, хотя ни одной точкой они не совпадают, и их координаты для такого переноса нуждаются в хорошо известной процедуре пересчета-трансляции, и опять-таки, всё в той же системе координат...

А на рис.10, который приведен выше, даже трудно смотреть, читая определение: всё время двоится в глазах, о какой паре векторов $a, b$ там идет речь? :)

[Xaositect]

errnough в сообщении #308318 писал(а):

Элементы из множества "свободные вектора" равны в смысле равенства длин и коллинеарности, но как же ввели длину без системы координат, проекций и прочего?

Обычно длина вводится где-то в районе аксиом плоской геометрии.