Определение ряда: что такое ряд и с чем его едят

[незваный гость]

незваный гость:

Тема выделена из Определение числа e

Highwind писал(а):

Если так писать, то надо доказать, что ряд в правой части сходится.

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

[Highwind]

незваный гость писал(а):

:evil:

Highwind писал(а):

Если так писать, то надо доказать, что ряд в правой части сходится.

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

Разве? Мне всегда казалось, что ряд это лишь формальная запись бесконечной суммы. А частичная сумма - енто конечная сумма. А предел - енто вообще число. Значит ряд - енто число?
А то, что вы определили, обычно называется суммой ряда, а не самим рядом. Впрочем, может быть, это не так уж и важно Ряд ведь должен иметь сумму. Конечную или бесконечную.

[незваный гость]

Highwind писал(а):

Разве? Мне всегда казалось, что ряд это лишь формальная запись бесконечной суммы.

Рискуя опростоволоситься, отвечу вопросом на вопрос: а что такое бесконечная сумма? Насколько я знаю, это определяется через предел.

Ряд, кстати, никому и ничего не должен. Он может иметь конечную или бесконечную сумму. Пример ряда, таковой не имеющей — $\sum_k (-1)^k$.

[Highwind]

незваный гость писал(а):

:evil:

Highwind писал(а):

Разве? Мне всегда казалось, что ряд это лишь формальная запись бесконечной суммы.

Рискуя опростоволоситься, отвечу вопросом на вопрос: а что такое бесконечная сумма? Насколько я знаю, это определяется через предел.

Ряд, кстати, никому и ничего не должен. Он может иметь конечную или бесконечную сумму. Пример ряда, таковой не имеющей — $\sum_k (-1)^k$.

Насчет суммы это я погорячился, вы правы, конечно.
Насчет остального может вы тоже правы, но смотрите. Возьмем ваш же пример $\sum_k (-1)^k$. Здесь предел как ни бери, его нет. Значит и ряда тоже нет?

[Sasha2]

Ну ряд то ведь это особым образом определенная последовательность. Так, что и в этом случае есть последовательность частичных сумм. Хотя это вопрос философский. Ну так можно сказать вообще, нет предела последовательности нет и ее самой.

[Highwind]

Sasha2 писал(а):

Ну ряд то ведь это особым образом определенная последовательность. Так, что и в этом случае есть последовательность частичных сумм. Хотя это вопрос философский. Ну так можно сказать вообще, нет предела последовательности нет и ее самой.

Да, верно. Об этом я и говорю. То есть я хочу сказать, что ряд - это формальная запись бесконечной суммы, о чем я уже говорил. С ударением на слово "формальная".

[незваный гость]

незваный гость писал(а):

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

XpeH писал(а):

Предел пос-ти частичных сумм - это сумма ряда

"Удивительное — рядом, но оно запрещено." Я обалдел, когда открыл Фихтенгольца, т. 2, с. 257. Ряд — это символ!!! Пришлось мести пол, чтобы найти упавшую челюсть. От Ф. я такого не ожидал. Я ожидал ряд как последовательность частичных сумм.

Но Вы, несомненно, правы. Предел последовательности частичных сумм — это сумма ряда, буде таковой предел существует. Тут я погорячился в погоне за краткостью .

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:

незваный гость писал(а):

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

Ряд — это символ!!! Пришлось мести пол, чтобы найти упавшую челюсть. От Ф. я такого не ожидал. Я ожидал ряд как последовательность частичных сумм.

На самом деле обалдеть можно от первого (вашего ) определения.
Любое математическое понятие является именем некоторого объекта, а имя объекта другими словами и есть символ.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Любое математическое понятие является именем некоторого объекта, а имя объекта другими словами и есть символ.

Не поленитесь залезть в Ф., Вы, уверен, поймете, о чем я говорю. Ф. не приводит объекта.

[juna]

А как быть с рядами:
1-1+1-1+1-1+...
1-3+5-7+9-11+...
Л.Эйлер приписал значение 1/2 первому, а второму 0.
Фихтенгольц вводит главы по расходящимся рядам вот и действует аккуратно. А в целом, наверное, за ними большое будущее.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

А как быть с рядами:
1-1+1-1+1-1+...
1-3+5-7+9-11+...
Л.Эйлер приписал значение 1/2 первому, а второму 0.

Поскольку для любой сходящейся последовательности $a_n$ ${\bar a}_n = \frac1n \sum\limits_{k=1}^n a_n$ имеет тот же предел, мы имеем право рассматривать предел второй как обобщение «предела» первой. В этом смысле можно получить эйлеровские результаты. В целом это «интегральное» определение.

[juna]

Суммирование по Чезаро(если Вы это имеете ввиду) не всегда дает результаты. Возможно кардинальной мерой является несколько иное упорядочение чисел.

[Someone]

незваный гость писал(а):

:evil:

Руст писал(а):

Любое математическое понятие является именем некоторого объекта, а имя объекта другими словами и есть символ.

Не поленитесь залезть в Ф., Вы, уверен, поймете, о чем я говорю. Ф. не приводит объекта.

Объектом и является сам символ - формальная сумма бесконечной последовательности чисел. Я так студентам и объясняю. Подчёркиваю, что сумма именно формальная, поскольку в арифметике определены суммы только конечных последовательностей чисел. В связи с чем требуется специальное определение, чтобы придать этому символу смысл. Далее объясняю, что придать смысл этой формальной сумме можно различными способами. Простейший и наиболее естественный("на пальцах"): складывать последовательно всё больше и больше элементов последовательности и проследить, к какому пределу эти суммы стремятся. Потом формализую это известным способом (частичные суммы и их предел). В качестве другого способа показываю метод средних арифметических.

[незваный гость]

На пальцах — это хорошо. А без? Я склонен был определять ряд как последовательность частичных сум (в цитированной моей фразе сумма пропущена дважды), которая обозначается символом. Но Ф. и Вы меня озадачили. Символ без объекта?! Можно, конечно, рассмотреть семейство произвольных подсум… (и это работает для абсолютно сходящихся рядов).

Не откажите в любезности, приведите строгое формальное опредение ряда (я не иронизирую, но Ф. — это явно что-то нестрогое).

Между прочим, разные определения суммы ряда в чем-то сродни разным интегралам (тоже обозначаемым одним и тем же символом).

Приведу для сравнения: $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}U_k$ называется множество $X = \{u: \exists k: u \in U_k\}$.

[Someone]

Хм. Заглянул в учебник Л.Д.Кудрявцева. Он определяет числовой ряд как пару последовательностей чисел $\{u_n:n\in\mathbb N\}$ и $\{s_n:n\in\mathbb N\}$, причём, вторая - это, естественно, последовательность частичных сумм, и вводит для этой пары в качестве обозначения обычную запись ряда.

Вообще говоря, мне неясно, зачем нужна пара последовательностей, если каждая последовательность однозначно восстанавливается по другой, а в обозначении ряда участвует только одна. Также неясно, чем это лучше определения числового ряда как формальной суммы бесконечной последовательности чисел или (мне где-то такой вариант попадался) как "числовой последовательности, записанной в виде $u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots$".

Может быть, попросить модераторов выделить обсуждение определения ряда в отдельную тему и поговорить об этом? Но у меня мыслей на эту тему немного. Я как-то "с детства" привык к тому определению, о котором говорил раньше (не помню точно, но, по-моему, И.А.Вайнштейн, который читал нам лекции по математическому анализу, определял ряд по Фихтенгольцу).

Можно попробовать определить числовой ряд как отображение из множества последовательностей чисел в множество последовательностей частичных сумм (понимая последовательность в обобщённом смысле, как индексированную элементами направленного множества, чтобы учесть всякие разновидности рядов: кратные ряды, ряды Лорана, и что там ещё есть). Что-то такое у Кудрявцева "между строчек" можно усмотреть.

Однако моим студентам такое определение будет не по зубам.