Ненормируемая плотность распределения вероятности

[Scholium]

Ненормируемая плотность распределения вероятности и стохастическое обоснование квантовой механики

При изучении квантовой механики буквально с ходу начинаешь сталкиваться с ненормируемыми плотностями распределения вероятностей (ПРВ). Известно, что ПРВ местоположения квантовой частицы или ансамбля частиц $\rho=\rho(x,y,z,t)$ вычисляется из квантового уравнения Шредингера (УрШ) :

$\hbar^2\triangle\Psi/(2m)+i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=U\Psi$

по формуле $\rho=|\Psi|^2=\Psi\Psi^*$, где $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$ - некая комплекснозначная функция – решение УрШ.

Однако легко видеть, что вычисляемая таким образом ПРВ может быть ненормируемая, если мы рассматриваем безконечную область пространства, т.е. возможна ситуация, когда

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x,y,z,t)dxdydz$$=\infty$.

Естественно, безконечность может быть и для одномерного случая.

Расходимость ПРВ начинается уже для простейшего случая плоской волны Де Бройля $\Psi=exp(i(Et-pr)/\hbar)/(2\pi\hbar)^3^/^2$, являющейся решением УрШ для свободной частицы, послужившей отправной точкой для принятия Де Бройлем гипотезы о наличии волновых свойств у корпускулярной материи (и наоборот, корпускулярных свойств у волновой материи или полей). Понятно, что модуль мнимой экспоненты всегда равен единице, а интегрирование любой константы, не равной нулю, на безконечности равно безконечности. Но физиков это безпокоит мало. Вот что пишет Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц в своем третьем томе теоретической физики «Квантовая механика. Нерелятивистская теория»:

«В таких случаях $|\Psi|^2$ не определяет, конечно, абсолютные значения вероятности координат, но отношение квадратов $|\Psi|^2$ в двух различных точках конфигурационного пространства определяет относительную вероятность соответствующих значений координат.

Вот так, физики подразумевают ПРВ как некоторые обобщенные функции, а мы об этом «ни сном, ни духом» :) . По крайней мере, в Интернете, информацию на эту тему я не нашел.

Естественно, что безконечная неопределенность координаты местоположения квантовой частицы вызвана соотношением неопределенности Гейзенберга, которое для нулевой неопределенности импульса требует безконечной неопределенности координат. Кстати, рассмотрение волнового пакета плоских волн, импульс $p$ которых непрерывно изменяется в узком диапазоне $[p_0-\triangle p, p_0+\triangle p]$ имеет общую волновую функцию, которая уже дает классическую ПРВ, интегрируемую на безконечности. Так что микрочастицы это скорее волновые пакеты плоских волн, а не отдельные волны Де Бройля.

Что может вызывать вопросы относительно ненормируемых ПРВ? Для меня это, прежде всего, существование реализации последовательности случайных точек в пространстве, подчиняющихся данной ненормируемой плотности распределения вероятности. Очевидно, что никакая конечная последовательность таких случайных точек не может претендовать на аппроксимацию ненормируемого распределения. Для примера возьмем случай плоской волны Де Бройля. Ее ПРВ это

$\rho(x,y,z,t)=1/(2\pi\hbar)^3^/^2$,

определенная для всего пространства и времени. В принципе, это может быть любое конечное значение большее нуля. С точки зрения физиков это равномерное распределение, так как относительная вероятность для любых конечных областей пространства равна единице, т.е. частица может находиться где угодно в пространстве, в данной точке времени. А поскольку она имеет конечный импульс, то не «стоит» на месте, а «перемещается» по пространству, вероятно, скачкообразно, по типу случайного блуждания броуновской частицы или в общем случае, по некоторому стохастическому закону.

Похоже, что точка приложения импульса «отвязана» от квантовой частицы. Типа, импульс сам по себе, а частица сама по себе.

Вопрос, а какова частота скачков квантовой частицы за единицу времени в пространстве, подчиняющейся волновой функции Де Бройля? Хотя бы конечно их количество или безконечно?

Мне кажется, что конечным множеством случайных точек нельзя равномерно заполнить безконечное пространство. Иначе, ПРВ была бы нормируемой за любое конечное время. Вероятно таких скачков безконечно.

Но как можно построить конечную реализацию равномерного распределения безконечной области?

Вот здесь мы подходим к идее, которая если и известна, то только не мне :) . Поэтому ее приходится переоткрывать. Хотя есть статья В.Ю. Подлипчук. «Стохастическая модель квантовой механики», в которой он вводит понятие квазивероятности, но это не совсем то, чтобы нам хотелось. Ограничимся одномерным случаем, больше размерности «обрабатываются» аналогично.

1. Мы задаем конечную реализацию равномерного распределения на сколько угодно большом, но конечном отрезке $[0, X]$, скажем $N$ точками, которое также сколь угодно большое, но конечное натуральное число.

2. Затем мы периодически распространяем наш отрезок влево и вправо, так чтобы он плотно покрывал всю вещественную ось. Для корректности вместо замкнутого отрезка можно рассматривать полузамкнутый. Получаем некоторое равномерное приближение на безконечности (безконечной области).

3. Если нам необходимо получить распределение отличное от равномерного, то вполне можно подобрать такое отображение, которое переведет наше безконечное множество случайных точек равномерно заполняющих безконечную область, в другое безконечное множество случайных точек, подчиняющееся заданной ненормируемой плотности распределения вероятностей. Это уже вопрос математической техники.

4. Мы сколь угодно можем повышать точность нашей реализации ненормируемой ПРВ, увеличивая $N$ и $X$ до любых сколь угодно больших, но конечных значений.

Вопрос к участникам форума. Насколько корректен такой подход к определению ненормируемых ПРВ?

Попутно возникает вопрос о возможности стохастической интерпретации поведения свободной квантовой частицы в конечной или безконечной области пространства и времени.

Вот что пишет Х. Намсрай, в своей статье «Стохастическая механика»:

«Самым интересным, с математической точки зрения, среди полученных результатов следует, по-видимому, считать тот факт, что динамические уравнения стохастической механики – это нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, которые допускают линеаризацию, при этом полученные линейные уравнения формально совпадают с уравнением Шредингера, если положить коэффициент диффузии $D$ равным $\hbar/(2m)$.»

Другой автор, С.В. Ганцевич, в свой статье с длинным названием: «Диаграммы, резольвента, вероятность. Пуассоновский процесс и интеграл по путям» тоже рассматривает УрШ, со стохастической точки зрения и даже получает его нетривиальное решение, для одномерного, нестационарного случая, при равенстве потенциала $U=U(x,y,z.t)$ тождественному нулю. Т.е. для уравнения

$\hbar\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}/(2m)+i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=0$

он находит решение, которое не есть произведение функций только от координат и только от времени, предлагаемое во всех учебниках по квантовой механике, а именно

$\Psi(x,t)=\sqrt{m/(2\pi\hbar t)} exp(imx^2/(2\hbar t))$.

У нее тоже будет ненормируемая ПРВ, причем зависящая от времени, что тоже требует осмысления.

$\rho(x,t)=m/(2\pi\hbar t)$.

Еще одна интересная статья, обосновывающая дифракцию с вероятностной точки зрения – В.И. Пунегов. «Статистическая динамическая теория дифракции на сверхрешетке».

Таким образом, тема ненормируемых ПРВ в квантовой механике, плавно перерастает в тему стохастического обоснования этой самой квантовой механики :) .

[paha]

я, честно говоря, все буквы не прочел...

но помню, что ландифшиц и классики нормируют в случае расходимостей на дельта-функцию

-- Сб апр 03, 2010 23:53:17 --

(Оффтоп)

Scholium в сообщении #306169 писал(а):

плавно перерастает

плавность - "внешнее" свойство

см.

Профессор Снэйп в сообщении #301739 писал(а):

и обсуждение далее

[Padawan]

(Оффтоп)

Ув. Scholium
приставки без- пишется в случае, если после неё идет гласная или звонкая согласная; а если идет глухая или шипящая согласная, то пишется бес-: бесконечность, беспокоит, ...

[ewert]

Scholium в сообщении #306169 писал(а):

Расходимость ПРВ начинается уже для простейшего случая плоской волны Де Бройля

Это потому, что плоская волна не является состоянием -- это лишь идеализация, к которой можно сколь угодно точно приблизиться по обычным, нормируемым волновым пакетам.

А нормируемой плоская волна не могла бы быть в принципе. Тогда она была бы собственной функцией оператора энергии свободной частицы. Но у этого оператора в принципе нет ни одной собственной функции -- его спектр чисто непрерывен.

[Scholium]

paha писал(а):

помню, что ландифшиц и классики нормируют в случае расходимостей на дельта-функцию

Наверное это не относится к плотностям распределения вероятностей на неограниченных областях ибо в этом не очень много смысла.

-- Вс апр 04, 2010 18:56:45 --

Padawan писал(а):

(Оффтоп)

Ув. Scholium
приставки без- пишется в случае, если после неё идет гласная или звонкая согласная; а если идет глухая или шипящая согласная, то пишется бес-: бесконечность, беспокоит, ...

(Оффтоп)

Ув. Padawan
Очень рад, что здесь квалифицированное отношение к языку также :) . Только я писал частицу «без» вполне сознательно, так как слово «бес» меня лично коробит, тем более, что в двухтомном «Корнеслове русского языка» от 1842 года, составленного Федором Шимкевичем, и разрешенным к печати цензором П. Корсаковым в типографии Императорской Академии Наук, корнеслова «бес-» нет вовсе, только «без-». Впрочем бесконечные реформы русского языка, продолжающиеся по сей день, не всегда делались исключительно из любви к «великому и могучему». Из уважения к Вам я могу писать, как требуют современные нормы, без особого, правда, желания.

[Scholium]

ewert писал(а):

Scholium писал(а):

Расходимость ПРВ начинается уже для простейшего случая плоской волны Де Бройля

Это потому, что плоская волна не является состоянием -- это лишь идеализация, к которой можно сколь угодно точно приблизиться по обычным, нормируемым волновым пакетам.

А нормируемой плоская волна не могла бы быть в принципе. Тогда она была бы собственной функцией оператора энергии свободной частицы. Но у этого оператора в принципе нет ни одной собственной функции -- его спектр чисто непрерывен.

Это естественно, я об этом также веду речь, что плоская волна Де Бройля не нормируемая. Только разговор здесь о другом, о том, чтобы расширить класс функций являющихся плотностями распределения вероятностей (ПРВ) на случай, когда они не нормируемы, т.е. интеграл от них на бесконечной области расходится. И я предлагаю процедуру построения случайной реализации от такой ненормируемой ПРВ.

Что касается волны Де Бройля, то лично мне не очень нравиться, как физики говорят о ней. Ландау и Лифшиц в своей «Квантовой механике» пишут:

«. . . в квантовой механике не существует понятия скорости частицы в классическом смысле этого слова, т.е. как предела, к которому стремиться разность координат в два момента времени, деленная на интервал $\triangle t$ между этими моментами. Однако в дальнейшем мы увидим, что в квантовой механике тем не менее может быть дано разумное определение скорости частицы в данный момент времени, которая при переходе к классической механике переходит в классическую скорость.»

Вот так! Мгновенная скорость не существует, но, тем не менее, в каком то смысле существует. Понимай, как хочешь. Похоже, здесь речь идет о скорости волнового пакета микрочастицы, которая в классическом пределе переходит в скорость самой частицы в определенный момент времени. Однако волна Де Бройля не волновой пакет и соответственно к мгновенной скорости частицы отношения не имеет. Тем не менее, в ее формулировке представлен определенный импульс или мгновенная скорость. Вопрос только чего? Частицы или комплекснозначной «волны», которая сама по себе соответствует непонятно чему? Как мы уже убедились, в квантовом мире частицы существуют сами по себе, а их скорости или импульсы сами по себе. Хорошая аналогия – случайное мерцание точек на экране монитора компьютера, генерируемое некой программой по произвольному алгоритму. Само это мерцающее облако вполне может перемещаться по некоторой виртуальной траектории по экрану, но говорить о мгновенной скорости «движения» частицы не приходится. Так что, я бы «забился» на волну Де Бройля и просто решал бы уравнение Шредингера (УрШ), при определенных ограничениях. Тогда было бы ясно, из какой частной формы УрШ следует сама эта волна и почему только в своем частном виде. Ибо та же форма УрШ дает и нетривиальное решение. А почему мы его не анализируем? И не привязывал бы импульс или скорость к микрочастице, ибо мгновенной скорости и импульса у нее действительно не существует. А соотношение неопределенности нужно писать для разницы усредненных значений импульсов.

Вот такие «мелочи», а отношение к квантовой частице уже не как частице-волне, а как просто частице, стохастически «перемещающейся» в пространстве, т.е. в одной точке она «исчезает», а в другой, произвольной (согласно ее ПРВ), «возникает». Тогда не надо ни мгновенных скоростей для нее, ни импульсов, только ПРВ, пусть даже и не нормируемое.

[ewert]

Scholium в сообщении #306357 писал(а):

Однако волна Де Бройля не волновой пакет и соответственно к мгновенной скорости частицы отношения не имеет. Тем не менее, в ее формулировке представлен определенный импульс или мгновенная скорость.

Естественно, представлен. Это тот самый импульс, который получается в предельном переходе от дельтообразных волновых функций в импульсном представлении к чистой дельта-функции. И, соответственно, в координатном представлении -- от волновых пакетов к чисто гармонической волне.

Ваше же предложение вроде как сводится к навешиванию на изначальную стохастичность квантовомеханической аксиоматики ещё одной стохастичности. Потом -- ещё одной. Потом -- ещё одной. И т.д.

[Scholium]

ewert писал(а):

Scholium писал(а):

Однако волна Де Бройля не волновой пакет и соответственно к мгновенной скорости частицы отношения не имеет. Тем не менее, в ее формулировке представлен определенный импульс или мгновенная скорость.

Естественно, представлен. Это тот самый импульс, который получается в предельном переходе от дельтообразных волновых функций в импульсном представлении к чистой дельта-функции. И, соответственно, в координатном представлении -- от волновых пакетов к чисто гармонической волне.

Ваше же предложение вроде как сводится к навешиванию на изначальную стохастичность квантовомеханической аксиоматики ещё одной стохастичности. Потом -- ещё одной. Потом -- ещё одной. И т.д.

Существенный вопрос, а что первично? «Волновой пакет» или «чисто гармоническая волна»? Можно постулировать первое и от него идти ко второму, а можно наоборот. Лично я не против постулировать волновой пакет и получать из него монохроматическую волну указанным Вами способом. По крайней мере, волновой пакет имеет нормируемую плотность распределения на всем пространстве. Однако исторически первичной была плоская волна Де Бройля, взятой им из квантовой теории света и распространенной на всякую свободно движущуюся частицу. Насколько я знаю, и уравнение Шредингера подбиралось так, чтобы моноволна была его решением. Но, по большому счету это не важно, Коль скоро постулировано уравнение Шредингера (УрШ) и определено гильбертово пространство $\mathcal{H}$, на котором действуют самосопряженные линейные операторы, отождествленные с наблюдаемыми физической системы, причем состояния физической системы отождествлены на $\mathcal{H}$ матрицами плотности, т.е. самосопряженными положительными линейными операторами с единичным следом, то давайте исследовать решения этого квантового уравнения для различных частных случаев и уже из этого делать далеко идущие выводы.

Одномерная плоская волна де Бройля является решением нестационарного случая УрШ, при равенстве потенциала $U=U(x,y,z.t)$ тождественному нулю. Т.е. если для уравнения

$\hbar\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}/(2m)+i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=0$ (*)

мы будем искать решение в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция времени, а другая координат, то получаем решение

$\Psi(x,t)=(C_1exp(sqrt(\alpha)x+C_2exp(-sqrt(\alpha)x)C_3exp(-i\hbar\alpha t/(2m))$.

Если приравнять константу $C_2=0$ и обозначить $C=C_1C_3$, $\hbar\alpha/(2m)=-E/\hbar$, откуда $\alpha=-2mE/\hbar^2$, то получим частное решение

$\Psi(x,t)=Cexp(-i(Et-sqrt(2mE)x)/\hbar)$. (**)

Отсюда мы получаем нашу плоскую волну Де Бройля, если, согласно Ландау и Лифшица, узнаем, что $E=p^2/2m$ - кинетическая энергия частицы, откуда получаем выражение $sqrt(2mE)=p$ для импульса частицы. Таким образом, окончательно

$\Psi(x,t)=Cexp(-i(Et-px)/\hbar)$.

Вот она наша любимая волна Де Бройля, полученная безо всяких предельных переходов и дельта функций! Трехмерный случай разбирается аналогично.

Мы видим, что $p$ присваивается смысл мгновенного импульса частицы, а не волны. Однако, мгновенного импульса у квантовой частицы не существует, поэтому моноволна Де Бройля вырождена по сути. Больше смысла имеет выражение (**), если не пытаться из энергии $E$ получить скорость или импульс частицы, так как энергия у квантовой частицы может быть, а мгновенная скорость или импульс нет.

Мы уже указывали, что уравнение (*) имеет также частное решение, не представимое в виде произведения функций только от координат и времени:

$\Psi(x,t)=\sqrt{m/(2\pi\hbar t)} exp(imx^2/(2\hbar t))$,

которое имеет ненормируемую ПРВ, причем зависящую от времени:

$\rho(x,t)=m/(2\pi\hbar t)$.

Однако Ландау и Лифшиц и другие корифеи квантовой механики предпочитают не рассматривать этот случай.

[ewert]

Scholium в сообщении #306441 писал(а):

так как энергия у квантовой частицы может быть, а мгновенная скорость или импульс нет.

Это не так. Мгновенного значения энергии у свободной частицы не может быть ровно в том же смысле, что и импульса. Поскольку энергия -- это всё-таки (с точностью до множителя) квадрат импульса.

Scholium в сообщении #306441 писал(а):

Однако Ландау и Лифшиц и другие корифеи квантовой механики предпочитают не рассматривать этот случай.

А зачем им его рассматривать?...

Плоская волна интересна тем, что разложение по таким волнам (собственно, преобразование Фурье) диагонализует операторы энергии и импульса, причём одновременно. А это-то решение зачем?

[Scholium]

ewert писал(а):

Scholium писал(а):

так как энергия у квантовой частицы может быть, а мгновенная скорость или импульс нет.

Это не так. Мгновенного значения энергии у свободной частицы не может быть ровно в том же смысле, что и импульса. Поскольку энергия -- это всё-таки (с точностью до множителя) квадрат импульса.

В интерпретации Ландау и Лифшица речь идет о полной энергии, только пренебрегают множителем энергии покоя частицы, а потенциальная энергия равна нулю по определению. То, что остается можно считать кинетической энергией, только она не обязана в микромире быть пропорциональной квадрату импульса и вообще быть связанной со скоростью частицы. Вообще-то, данное решение предполагает некую константу $\alpha$, интерпретация которой это уже другой вопрос. У меня нет оснований не доверять Ландафшицу, что она связана с энергией. Тут я противоречия не вижу, однако связывать $E$ с импульсом или скоростью квантовой частицы я совершенно не намерен. Скорее соглашусь приравнять ее нулю, тогда вся наша плоская волна выродиться в произвольную константу. Но реализацию равномерного распределения на бесконечности мы уже продемонстрировали. Таким образом, если резюмировать сухой остаток для свободной микрочастицы в пространстве, в отсутствии потенциальных сил, то в любом случае получаем ее равномерное распределение на бесконечности. Причем энергия и масса ее значения не имеют. Если физическое пространство имеет бесконечный объем, то тогда время безгранично делимое, т.е. не квантуется, иначе за квант времени возможно была бы только одна единственная случайная реализация местоположения частицы в пространстве, а за конечное время только конечное их число, что противоречит возможности построения ненормируемого равномерного распределения на бесконечности. Следовательно, утверждение о возможности квантования времени влечет за собой ограниченность физического пространства. Итак, свободная частица, согласно уравнения Шредингера, бесконечное число раз за любой промежуток времени равномерным образом возникает и исчезает во всем бесконечном пространстве. Такой вот получается крамольный вывод, если отбросить лукавство авторов учебников по квантовой механики. Но, лично мне, этот вывод вполне импонирует :) .

ewert писал(а):

Scholium писал(а):

Однако Ландау и Лифшиц и другие корифеи квантовой механики предпочитают не рассматривать этот случай.

А зачем им его рассматривать?...

Плоская волна интересна тем, что разложение по таким волнам (собственно, преобразование Фурье) диагонализует операторы энергии и импульса, причём одновременно. А это-то решение зачем?

Как мы видим, использование плоской волны, в общепринятой интерпретации не вполне обосновано. Об импульсе если и приходится говорить, то только в усредненном смысле, за достаточно большой промежуток времени. Боюсь, что для случая свободной частицы в бесконечном пространстве, такой промежуток времени должен быть равен бесконечности и тогда его среднее значение, скорее всего, было бы равным нулю. Так что применение понятия импульса для волны Де Бройля под большим вопросом.

Математики вообще-то стараются рассматривать все решения какого-либо уравнения и уже затем обосновывают «паразитность» того решения, которое им не нравиться. А просто «засовывать голову в песок», чтобы не видеть неприятных решений, это удел не для добросовестных ученых :) .

ПРВ для этого решения

$\rho(x,t)=m/(2\pi\hbar t)$

не просто не нормируемо в пространстве, а к тому же бесконечно во всем пространстве в начальный момент времени. Это предполагает расширить понятие ненормируемых ПРВ на случай равенства их всюду бесконечности. Не знаю, переварят ли такую «наглость» математики? Наверняка, тем не менее, можно придумать какую-нибудь процедуру предельного перехода. Но все же хотелось бы остаться в рамках физического смысла. Я могу выдвинуть предположение (гипотезу), что подобная ситуёвина хороша была бы для некоторого примитивного варианта «большого взрыва». Т.е., допустим, в момент времени $t=0$ физическое пространство было ограниченным и для того, чтобы потребовать реализацию бесконечного количества случайных «возникновений» и «исчезновений» заданной микрочастицы на ограниченном пространстве в нулевой момент времени, мы потребуем равенства бесконечности всюду на этом пространстве ПРВ этой квантовой частицы. Иначе говоря, получаем некоторую физическую аномалию для частицы в момент «большого взрыва» (а кому тогда было легко? :) ). После «взрыва», ПРВ становиться конечным, а пространство бесконечным и далее, в бесконечном времени, все процессы затухают до нуля. Вполне интересный сценарий и зависимость ПРВ от времени не оказалась помехой. Впрочем, пока это только недоказанные предположения, показывающие, что незачем боятся «неприятных» решений :) .

[ewert]

Scholium в сообщении #306537 писал(а):

незачем боятся «неприятных» решений :)

Бояться неприятных не нужно, следует лишь игнорировать бесполезные. Зачем нужны плоские волны -- понятно. А какой прок для сельского хозяйства от этого решения?... кроме как, конечно, возможности заполнять странички сочетаниями типа

Scholium в сообщении #306537 писал(а):

и для того, чтобы потребовать реализацию бесконечного количества случайных «возникновений» и «исчезновений» заданной микрочастицы на ограниченном пространстве в нулевой момент времени, мы потребуем равенства бесконечности всюду на этом пространстве ПРВ этой квантовой частицы.

[AD]

Scholium, математики обычно воспринимают квантовую механику в свете теории оснащенных гильбертовых пространств. Математические ответы на Ваши более-менее-математические вопросы (а другие мы в этом разделе и не обсуждаем ;)) даёт именно эта теория. В частности, там формально излагается, что такое ненормируемые состояния и т. п.

Это я так, на всякий случай, если кто не в курсе. Хотя, наверное, не совсем "впопад".

[Scholium]

AD писал(а):

Scholium, математики обычно воспринимают квантовую механику в свете теории оснащенных гильбертовых пространств. Математические ответы на Ваши более-менее-математические вопросы (а другие мы в этом разделе и не обсуждаем ;)) даёт именно эта теория. В частности, там формально излагается, что такое ненормируемые состояния и т. п.

В книге И.М. Гельфанд, Н.Я. Виленкин. «Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства» идет речь об обобщенных случайных функциях определенных на пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций. Но это правда, не совсем то, что нам нужно. Словосочетания «ненормируемые состояния» я там не нашел, как и самого слова «ненормируемые» (в разных падежах). Вообще-то это достаточно редкое словосочетание в Интернете. Так Google находит всего три источника, где встречаются слова «ненормируемые состояния».

1. Б.В. Медведев «Начала теоретической физики». Вот все, что об этом там сказано:
«Как мы увидим, нам придется включить в рассмотрение и ненормируемые состояния, которым отвечают векторы с бесконечной нормой. Это движение в высокой степени тривиально, поэтому естественно вовсе исключить его из рассмотрения.»

2. М.Г. Иванов. «Как понимать квантовую механику». Вот, что там говориться:
«С точки зрения физики ненормируемые состояния не могут быть реализованы, поскольку суммарная вероятность всех исходов не должна превышать единицу.»

3. Sigal I. Matematicheskie problemy reljativistskoj fiziki. «Общая структура полей Бозе — Эйнштейна». Здесь информации побольше:

«Ненормируемые состояния известны также и в элементарной квантовой механике в связи с непрерывным спектром. Если $T$ – самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве и $\lambda$ – точка непрерывного спектра, то существует (в совершенно строгом смысле) состояние системы всех ограниченных операторов, в котором $T$ имеет точное значение $\lambda$, но это состояние ненормируемо. Известно, что его можно эвристически представить некоторым ненормируемым собственным вектором, отвечающим собственному значению $\lambda$. Известно также, что такие ненормируемые состояния иногда удобны для интуитивного физического подхода, и с ними можно обходиться с помощью пакетов собственных векторов. В нашем случае ненормируемость не имеет такой связи с непрерывным спектром какого-либо оператора, и пакеты не могут быть полезны в этой ситуации (оператор энергии, собственным вектором которого в символическом смысле является $\psi_0'$, имеет дискретный спектр). Однако состояние по фон Нейману (линейный функционал) оказывается очень эффективным понятием, и для бесконечного числа степеней свободы даже в большей мере, чем для конечного. Хотя рассмотренное нами состояние физического вакуума $E'$ и не нормируемо в представлении без взаимодействия, оно «регулярно», т. е. сравнительно гладко с математической точки зрения. В частности, $E'(e^{iR(z)})$ будет непрерывной функцией от $z$ на всяком конечномерном подпространстве классического фазового пространства. В противоположность этому состояния, возникающие из непрерывного спектра в случае конечного числа степеней свободы, не обладают свойствами регулярности, и $E'(e^{iR(z)})$ не будет в этом случае непрерывной функцией от $z$. Вследствие уже отмечавшегося взаимно однозначного соответствия между состояниями и представлениями $C^*$-алгебры состояние физического вакуума $E'$ определяет гильбертово пространство $\mathcal{K'}$, конкретное множество самосопряженных канонических переменных на классическом фазовом пространстве $\mathcal{M}$ и другие элементы структуры, в частности такой вектор состояния $\psi_0'$, что

$E'(X)=(X'\psi_0', \psi_0');$

здесь $X'$ обозначает конкретный оператор на $\mathcal{K'}$, соответствующий элементу $X$ алгебры наблюдаемых поля. Конечно, этот вектор состояния нормируем, но он не входит в гильбертово пространство $\mathcal{K}$. Пространства $\mathcal{K}$ и $\mathcal{K'}$ совершенно различны – не существует сохраняющего основные структуры изоморфизма этих пространств, что вытекает из ненормируемости $E'$ в представлении без взаимодействия. Математически бессмысленный символический оператор $H_0+H_1$ можно истолковать как самосопряженный оператор на $\mathcal{K'}$. Он возникает как малый оператор однопараметрической унитарной группы в $\mathcal{K'}$, которая индуцируется однопараметрической группой автоморфизмов наблюдаемых поля, получаемой из свободной динамики при преобразовании $\gamma_0$.

Это довольно длинное отступление должно было показать значение вакуума без взаимодействия и соответствующего представления даже при рассмотрении взаимодействующих полей. Мы хотели также показать, что некоторые взаимодействующие поля, расходящиеся с точки зрения традиционного подхода, можно исследовать совершенно безукоризненно в математическом отношении на пути, который представляется и более прямым физически. Теперь уместно перейти к математически строгой и инвариантной трактовке свободного вакуума.»

Прошу прощения за длинную цитату, но это практически всё, что я нашел в Интернете про «ненормируемые состояния». А про ненормируемые плотности распределения вероятностей (ПРВ) практически вообще ничего нет. Мы же предлагаем собственный алгоритм реализации равномерно распределенных случайных последовательностей на бесконечном пространстве, ПРВ которых равна положительной константе. Причем сама константа характеризует предельную локальную плотность распределения последовательности реализаций случайных величин на единичном объеме пространства, так что при константе, стремящейся к нулю имеем вырожденное распределение, с локальной плотностью реализаций равных нулю, а при константе, стремящейся к бесконечности, соответственно локальную плотность реализации, стремящуюся к бесконечности. Ненормируемые неравномерные распределения строятся на базе бесконечных равномерных распределений. Конечно, о строгости формулировок говорить пока рано, ибо это еще не окончательная статья, а всего лишь предварительные обсуждения.

Я понимаю, почему ewert’у не нравится стохастическая интерпретация квантового движения микрочастицы. Действительно, трудно поверить, что для нее «движения нет», а есть только операции «возникновений» и «исчезновений» (или «рождения» и «гибели») частиц. Иначе, при реальном (а не виртуальном) движении, микрочастица должна обладать инерцией, иметь мгновенные скорости и импульсы и вообще быть похожей на свой классический аналог. Пока что мы можем говорить об импульсе только как о случайной реализации некоторой величины, естественно связанной со случайной реализацией местоположения (координат) данной частицы (соответствующим преобразованием Фурье?). Таким образом, ПРВ координат определяет ПРВ импульсов и наоборот. На основе одной реализации, мы можем построить другую реализацию. Например, для частицы с единичной массой за единицу времени (сколь угодно малую) в ограниченном объеме ее случайным координатам $r_1, r_2, r_n, r_{n+1}$ будут соответствовать случайные импульсы $p_1, p _2, p _n$, где $p_n=r_{n+1}-r_n$. Плоская волна Де Бройля нам, в таком случае, особо не нужна, ибо она утверждает всего лишь факт равномерного распределения квантовой частицы в ограниченном или неограниченном пространстве. Вот и вся ее ценность. А волновые пакеты должны получаться из уравнения Шредингера, а не из произвольной комбинации моноволн Де Бройля с разными частотами.

[ewert]

Scholium в сообщении #306822 писал(а):

«Ненормируемые состояния известны также и в элементарной квантовой механике в связи с непрерывным спектром. Если – самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве и – точка непрерывного спектра, то существует (в совершенно строгом смысле) состояние системы всех ограниченных операторов, в котором имеет точное значение , но это состояние ненормируемо.

Тыр-дар-дар (да уж) пыр. Букафф -- много, толку -- ноль. Что в точности означает "состояние системы", да истчо и всех якобы операторов? (я уж не говорю об их как бы ограниченности, с какой стати-то).

Ну бред, конечно, так по этому разряду и проведём.

[AD]

Цитата:

В книге И.М. Гельфанд, Н.Я. Виленкин. «Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства» идет речь об обобщенных случайных функциях определенных на пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций. Но это правда, не совсем то, что нам нужно. Словосочетания «ненормируемые состояния» я там не нашел, как и самого слова «ненормируемые» (в разных падежах). Вообще-то это достаточно редкое словосочетание в Интернете. Так Google находит всего три источника, где встречаются слова «ненормируемые состояния».

Ну Вы поняли, что такое оснащение? Это такое пространство, более широкое, чем исходное, причем построенное достаточно специальным образом. Вот те векторы, которые добавились - это по определению они и есть, "ненормируемые", в отличие от тех, что изначально в нашем гильбертовом пространстве были, и для которых определена "норма" $\|x\|=\sqrt{(x,x)}$. Обобщенные функции, известные из анализа, являются типичным примером оснащения. Если у оператора нет собственных векторов в самом пространстве, то нередко бывает так, что есть "обобщенные", или, что то же самое, "ненормируемые" собственные векторы из более широкого оснащенного пространства.

P.S. А если так?