что такое случайность?

[Кардановский]

Черный Евгений: Классический пример случайности,пример с которого по-сути и началась теория вероятностей - подброшенная монета ,которая затем падает либо орлом либо решкой кверху, строго говоря,не есть пример случайного! Действительно,если мы строго определим все физические параметры (например,скорость вертикального подбрасывания монеты,угловую скорость ее вращения,высоту от пола,с которой монета поброшена,параметры воздуха,аэродинамические параметры монеты,упругость пола и монеты,неровность и шероховатость пола и монеты ,ну и еще некоторые параметры,то,таким образом, достаточно точно можно будет заранее определить как ляжет монета после броска -орлом или решкой! Процесс выявления достаточно исчерпывающего перечня факторов физической природы, влияющих на падение монеты трудоемок,но,все же, конечен и реален в осуществлении! То же можно сказать и о рассчетах -они трудоемки,но реально выполнимы! Для какой то,хотя бы качественной иллюстрации вышесказанного, могу с определенной долей уверенности утверждать,что частота выпадения орлом ввверх,при подбрасывании российских монет, будет несколько отличаться от частоты выпадения решкой! Это обуславливается, хотя бы, очевидными различиями аэродинамиких свойств сторон монеты...

[Черный Евгений]

Кардановскому: Есть вещи которые нельзя решить строго в принципе. Например, целочисленно разделить 10 на 3. Строго нельзя определить и аэродинамическое сопротивление монеты, поскольку оно определяется еще и хаотическим тепловым движением частиц воздуха. И дело не в сложности вычислений, а в том, что после каждого столкновения 2-х частиц неизбежны случайные отклонения, мы не можем их пред угадать, но если бы их не было, то не было бы ни хаотичности, ни распределения Больцмана.

[iig]

Случайность - это степень неуправления ситуацией.
Нормальный мужик не станет снимать кого попало, рискуя нарваться на мужа в два раза сильнее.
А вот делая эксперимент можно получить неожиданность - обнаружить интересные позиции или точки.
Но это нельзя назвать случайностью, так как подготовлен.
Настоящая случайность у меня была в Крыму в советское время, когда дочка нашла на дороге 5 рублей, чего всем желаю.

[eLectric]

Случайность понятие неопределенное. Об этом писал PAV Ср сен 05, 2007 13:18:11. "Слово случайность употребляется в различных смыслах, от бытовых до научных".
В философском смысле случайность противоположна необходимости.
В физическом смысле случайность, скорее всего, противоположна причинности.
Математического смысла случайности я в Вики не обнаружил.
Теория вероятности, имхо, случайность не рассматривает, а разбирает статистическую закономерность. Попробую обосновать.
Типичная задача ТВ = из вероятности исходной величины х вычислить вероятность зависимой величины у.
Однако, Если задано, что х - случайна, то вероятность у совершенно неопределённа.
Зачастую же, под случайным имеют ввиду равновероятное распределение. Но не думаю, что это синонимы. Если математика моделирует физическую случайность - не-причинность, то, как в орле/решке получим равновероятное распределение.
Однако, равновероятное распределение, это какое-то определенное распределение. Т.е., если я скажу, что из 1000 бросков монеты, вряд-ли будет менее 10 орлов, то я буду прав и это моё утверждение отражает не случайность, а статистическую закономерность.

Однако, все эти броски монет - аппеляция к физике.
Для математики можно предложить следущее: случайность, это функция, которую нельзя выразить. Т.е. возьмем два множества и функцию - взаимнооднозначное соответствие между их элементами. Или же отображение множества на самого себя.
Если невозможно выразить зависимость у от х, то у - случайна.
Ещё раз, по другому: у есть случайное значение от х, когда между значениями х и у есть взаимнооднозначное соответствие и при этом, зная N значений у=f(х), невозможно предсказать N+1 значение.

[EvgenyGR]

eLectric в сообщении #305478 писал(а):

Однако, все эти броски монет - аппеляция к физике.
Для математики можно предложить следущее: случайность, это функция, которую нельзя выразить. Т.е. возьмем два множества и функцию - взаимнооднозначное соответствие между их элементами. Или же отображение множества на самого себя.

Так давайте «свяжем» математику и физику. Какую бы модель реальности мы не взяли все так или иначе сведется к некому пространству параметров. Например, модель точечных масс сведется к фазовому пространству координат и импульсов. Как описать развитие такой системы во времени? Можно с помощью соответствующих траекторий в фазовом пространстве, этот путь приведет нас к описанию движения через дифференциальные уравнения и к детерминизму. Но можно пойти по-другому.

Возьмем конкретную физическую систему, выберем ее модель как модель множества точечных масс, рассмотрим фазовое пространство этого множества в какой-то момент времени t1 и в момент времени t2. Рассмотрим произвольную точку из фазового пространства в момент времени t1 и соответствующую ей точку в момент времени t2 (соответствующую в том смысле что в нее в момент времени t2 перейдет точка выбранная в момент времени t1). Тем самым мы построим некоторое соответствие фазового пространства (в общем случае параметрического пространства) самому себе.

Если построенное соответствие является отображением (одному элементу прообраза соответствует не более чем один элемент образа) мы получим детерминизм, если построенное соответствие является не просто отображением, а оно еще и биекция, то мы получим не просто детерминизм но еще и обратимый детерминизм.

Если построенное соответствие это отображение и тем более если оно биекция, то нам ничего уже больше и не надо чтобы достаточно подробно описать поведение системы. Действительно выберем любые начальные условия в момент времени t1, применим наше отображение и получим точку в момент времени t2. Применим еще раз наше отображение и получим точку в момент времени t1+2*Dt, где Dt= t2-t1, нуи так далее. Да мы получим информацию о состоянии физического объекта не для любого момента времени, а для некоторых значений времени с шагом Dt= t2-t1, но разве в реальности это не происходит именинно так?

Ну а теперь возвращаясь к случайности. Если построенное выше соответствие является отображением, никакой реальной случайности быть не может. Но если соответствие не отображение, т.е. одной точки в момент времени t1 может соответствовать (быть допустимой) более чем одна точка в момент времени t2. То в рамках нашей модели (с выбранным параметрическим пространством), переход из такой точки (в момент времени t1) в какую либо допустимую точку в момент времени t2, может быть только случайным (произвольным).

Иными словами случайность это то, что в математике называют произвольный. Просто в физике этот произвол уже состоялся, а в математике (в которой нет времени) он просто предполагается.

[Черный Евгений]

Фон Нейман любил повторять (по памяти): "Настоящее случайное только в природе. Тот, кто ищет его с помощью математики - без сомнения, грешен".

Это когда пытаются найти случайное с помощью прямого алгоритма. Например генератор случ. чисел. Однако в математике есть идеальные образцы случайного, это последовательность цифр любого иррационального числа. Нужно только понять, что искать идеальное случайное нужно как побочный продукт от совершенно детерминированного процесса (вычисления числа Пи, например).

Точно так же случайное обнаруживается и в природе - это всегда побочный продукт. Например, падение монеты, или наблюдаемые Гауссом погрешности. К главному наблюдению, что-то примешивается, это и есть случайное. Причина случайных отклонений предполагалась со времен Эпикура, когда он критиковал Демокрита за отсутствие у него "спонтанных отклонений от прямолинейного движения". Был ли у него убедительный опыт? Нет, но интуиция и логика были.

Теперь есть опытные данные, например, принцип неопределенности микромира.
Математика бессильна перед случайным в том смысле, что она не понимает какую из альтернатив выбрать (выше об этом упоминалось в пространном сообщении об отображениях). Природа легко это делает, но механизм нам недоступен. Наши разногласия связаны в основном с тем, что мы взращены на непрерывном мире и его следствии - абсолютном детерминизме. Поэтому ситуация, когда одна и таже причина может рождать разные следствия, приводит нас к почти панике. Однако будем помнить о том, что наша задача состоит в том, чтобы понять природу, а не творца.

[ewert]

Черный Евгений в сообщении #305587 писал(а):

Однако в математике есть идеальные образцы случайного, это последовательность цифр любого иррационального числа.

Нет ничего подобного ( в смысле идеального). Последовательность цифр любого конкретного иррационального числа -- вовсе не случайна. Хотя и может показаться таковой, посредством каких-либо тестов, и это даже и практически может оказаться полезным; но случайностью в полном смысле слова -- тут и не пахнет.

Математика просто в принципе не может исследовать случайность как некую абсолютную сущность. Она просто для этого не предназначена. Она может лишь принять к сведению тот чисто физический факт, что некоторые вещи представляются нам случайными (а опыт показывает именно это) -- и навести на это некоторую аксиоматику -- и потом сделать из этого некие формальные выводы.

[age]

ewert
Я задался целью ответить на вопрос, существует ли внутри числа $\pi$ последовательность из 100 нулей?
Для этой цели я провел 3 вычисления числа $\pi$:
с точностью до 4 млн.знаков
с точностью до 8 млн.знаков
с точностью до 16 млн.знаков

В результате были получены следующие данные по распределению последовательностей внутри числа $\pi$:
с точностью до 4 млн.знаков:
00000 - 27 раз
000000 - 2 раза
0000000 - 1 раз

с точностью до 8 млн.знаков:
00000 - 50 раз
000000 - 2 раза
0000000 - 1 раз (т.е. частоты шести и семи нулей не изменились)

с точностью до 16 млн.знаков:
00000 - 106 раз
000000 - 9 раза
0000000 - 1 раз

Как видно из полученных результатов, увеличение встречаемости последовательностей происходит практически линейно от количества разрядов.
Но самый интересный факт! Если исходить из случайности распределения, то расчетная встречаемость 0000000 в 16 млн.знаках $\pi$ будет равна:
$16 000 000\cdot10^{-7}=1,6$ - раза. Реальная - 1 раз.
Аналогично 000000:
расчетная - в десять раз чаще или 16 раз. Реально - 9 раз.
0000000 - расчет 160, реально 106 раз.

И еще 106 почти в десять раз больше девяти, а девять - почти в десять раз больше единицы:
$106\sim10\cdot9\sim10^2\cdot1$
Что говорит об очень добротной случайности распределения.
Причины отклонений факта от расчета вниз установить так и не удалось. Зато в числе $\pi$ последовательности 888888 и 999999 - встречаются аж 17 раз. С чем это связано я не понял.
И даже по-моему, нашлась одна последовательность 99999999, которой в 16 млн.-значном числе быть по идее не должно.

В результате я вывел, что последовательность из СТА НУЛЕЙ (равно как и любая другая) может быть найдена в числе $\pi$, если взять по правилу 3 сигм более $3\cdot10^{100}$ разрядов.

Ответ утвердительный - есть.

[IE]

age в сообщении #305701 писал(а):

если взять по правилу 3 сигм более разрядов.

А оно тут как применимо?! У вас распределение (если оно есть) мягко говоря "ненормальное".

[age]

IE
Самое что ни на есть нормальное! (только вот, может посчитал неправильно, тупо умножил на три)

[IE]

Распределение чего, цифр? Пардон, нормальное распределение, оно на всей прямой вообще-то.

[age]

IE
Нормальное распределение, это когда встречаемость комбинаций описывается формулой Бернулли:
$P_n(m)=C_n^mp^mq^{n-m}$
Т.е. имеем произвольное распределение цифр (последовательностей), но встречаемость каждой из них равновероятна на каждом интервале ($p$ - есть, $q$ - нету), т.е. количество раз вытащить ее на интервале зависит лишь от величины интервала.

[eLectric]

EvgenyGR,
Ну, я, собственно, со всем согласен.
А вчера я тут фигни понаписал. Уж очень захотелось определить, что такое случайность, так сказать, не обращаясь к физике.

Случайность это в философии или в быту. Это некое качество, если по философски. Качество, это свойство (прилагательное) выраженное именем существительным.
В физике или математике не рассматривают качества. Там говорят более определенно - случайное событие или случайная величина. Или их синонимы - вероятностное событие или вероятностная величина.

EvgenyGR писал(а):

Иными словами случайность это то, что в математике называют произвольный. Просто в физике этот произвол уже состоялся, а в математике (в которой нет времени) он просто предполагается.

Ну эту фразу я не совсем понял.
Можно ли предположить, что будущее в физике аналогично случайному в математике?
Т.е., когда мы описываем математическую модель бросания монетки и выпадение орла или решки является случайным, то подразумеваем, что это выпадение является будущим событием. Если монетка уже упала, то никакого случайного события уже нет в принципе.

А ещё лучше. Я бы разделил, как совершенно разные понятия неопределенность исхода опыта и неопределенность нашего знания об исходе опыта.
Физическая случайность, это именно неопределенность будущего исхода опыта.
А неопределенность знаний, это именно неопределенность и ничего более.

ewert писал(а):

Математика просто в принципе не может исследовать случайность как некую абсолютную сущность

Вот, вот. Случайности, как самостоятельной сущности просто не существует. Бывает случайное событие - такое будущее событие, некоторые параметры которого сейчас ещё не определенны.
Я к тому, что говоря более конкретно, не о случайности вообще, а о некоем событии, многое проясняет то, о каком событии идет речь. То ли это открытие конверта или вычисление N-ого знака после запятой или бросание кубика.
Понятно, что N-ый знак не является событием. Зато, физическим событием является его вычисление. Для того, кто не знает сотого знака числа пи, исход опыта по его вычислению является неопределенным, но ничего случайного здесь нет.

[EvgenyGR]

Черный Евгений в сообщении #305587 писал(а):

Математика бессильна перед случайным в том смысле, что она не понимает какую из альтернатив выбрать (выше об этом упоминалось в пространном сообщении об отображениях). Природа легко это делает, но механизм нам недоступен. Наши разногласия связаны в основном с тем, что мы взращены на непрерывном мире и его следствии - абсолютном детерминизме. Поэтому ситуация, когда одна и таже причина может рождать разные следствия, приводит нас к почти панике. Однако будем помнить о том, что наша задача состоит в том, чтобы понять природу, а не творца.

Математика это не более чем множество формализованных моделей, с которыми может манипулировать наше сознание. Не формализованные модели есть интуитивное. В интуиции мы понимаем как оно должно быть, но не можем это обосновать (сделать понятным для других), как только это у нас получается интуитивное переходит в формальное (не привязанное к нашему сознанию, а доступное другому сознанию). Всякое истинное интуитивное может быть формализовано - стать понятным другим, стать частью их интуитивного (это гипотеза). Все, что не может быть осознано интуитивно вообще не воспринимается (еще одна гипотеза), т.е. если в природе есть «нечто», но у нас нет соответствующего интуитивного, мы никогда не узнаем об этом «нечто» (гипотеза ограниченности способности к познанию). Верно и обратное, все что интуитивно предполагается должно быть в природе (так как наше сознание это часть природы).

Теперь выводы. Если у нас есть интуиция случайности, то она должна быть в природе, и она допускает формализацию, а значит должна быть соответствующая математическая модель (формальная модель). Я вижу единственную модель отвечающую интуитивному случайному. Допустим мы строим некий математический объект, строим его шагами. Ничего другого кроме произвольного выбора чего-либо на следующем шаге я не вижу. Так, например, строится действительное число, доказывается теорема Кантора.

[EvgenyGR]

eLectric в сообщении #305766 писал(а):

Ну эту фразу я не совсем понял.
Можно ли предположить, что будущее в физике аналогично случайному в математике?
Т.е., когда мы описываем математическую модель бросания монетки и выпадение орла или решки является случайным, то подразумеваем, что это выпадение является будущим событием. Если монетка уже упала, то никакого случайного события уже нет в принципе.

А ещё лучше. Я бы разделил, как совершенно разные понятия неопределенность исхода опыта и неопределенность нашего знания об исходе опыта.
Физическая случайность, это именно неопределенность будущего исхода опыта.
А неопределенность знаний, это именно неопределенность и ничего более.

Неопределенность знаний это субъективная неопределенность (неопределенность относительно нас). «Физическая случайность» это объективная существующая неопределенность. В этом смысле все программные генераторы случайных чисел это именно субъективная (относительная) неопределенность, неопределенность для те кто не знает код программы. Для тех, кому код известен неопределенности нет.


Вот такой пример. Допусти, одна команда ищет, хоть какой-то корень некого, сложного уравнения, которое написала другая команда, цель которой не дать первой команде найти хоть один корень. Пусть корней должно быть много. И пусть вторая команда всегда имеет доступ к коду программы используемой первой командой. Если первая команда будет использовать программный генератор случайных чисел, она будет обречена на поражение. Шанс, у первой команды, появиться только в случае если она использует физический генератор случайности. Или по-другому, она будет использовать не относительную, а в каком-то смысле абсолютную неопределенность.

Если чуть задуматься, то смысл «абсолютной неопределенности» в данном примере это невозможность повторить процесс генерации случайных чисел, с помощью имеющихся средств. В данном случае с помощью программных средств. Но может ли быть абсолютная неопределенность относительно самой природы? Если да, то это и есть то что Вы называете «физической случайностью или неопределенностью будущего опыта».