Это вообщем-то вопрос к тому, что фактически Фихтенгольц в своем первом томе
Посмотрел Фихтенгольца. Конечно, он там неявно использует
равномерную непрерывность на ограниченных множествах. Монотонность можно опустить.
Пусть
![$A\subset{\mathbb R}$ $A\subset{\mathbb R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/4/2a469ac74270b8aae89983c00656262082.png)
. Если функция
![$f:A\cap{\mathbb Q}\to{\mathbb R}$ $f:A\cap{\mathbb Q}\to{\mathbb R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/6/e36e513b2d5250448d480467e39bfc5b82.png)
равномерно непрерывна на
![${\mathbb Q}\cap A\cap [a;b]$ ${\mathbb Q}\cap A\cap [a;b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/f/49fd7090f73b89f657ec8265fc945c5482.png)
для всех
![$a,b\in{\mathbb R}$ $a,b\in{\mathbb R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/a/46afd88c29af75c5b1f12aa414aae29582.png)
, то существует единственная непрерывная функция
![$A\to{\mathbb R}$ $A\to{\mathbb R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/d/33d64d5dbb04b9fe33bb302bf04357c582.png)
, продолжающая
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
.
-- Вт мар 30, 2010 07:48:28 --у Фихтенгольца же показано, что
Для показательной функции
![$f:{\mathbb Q}\to{\mathbb R}$ $f:{\mathbb Q}\to{\mathbb R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/5/bb5bdfb167bac87eb7864347d946750482.png)
(
![$f(q)=a^q$ $f(q)=a^q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/1/d31b3f60465d492682c256142601e66582.png)
) существует единственное монотонное продолжение на
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
.
В нашем примере можно доопределить функцию в точке
![$\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/4/71486f265f83bc1e3d2b6f67704bcc2382.png)
любым числом между
![$\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/4/71486f265f83bc1e3d2b6f67704bcc2382.png)
и
![$\sqrt{2}+1$ $\sqrt{2}+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/0/e10b37fecfca28630428b1f9efb198a482.png)
, а у Фихтенгольца такой свободы нет в силу доказанного им
![$|q-q'|<\varepsilon/(a^{q_0}(a-1))$ $|q-q'|<\varepsilon/(a^{q_0}(a-1))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/9/6e9a65230a9824b2679a0ce21be590b382.png)
->
![$|f(q)-f(q')|<\varepsilon$ $|f(q)-f(q')|<\varepsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/d/bfdabfca0a48d933a6bd4d78cf11175482.png)
Он особо отмечает, что
![$q_0$ $q_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/4/aa4c167721969d56386eea999221a21982.png)
"большое, но фиксированное", т.е. для доказательства единственности используется
равномерная непрерывность.