Непрерывность и монотонность

[Sasha2]

Можно ли утверждать, что если на некотором множестве (безотносительно его природы, но и без каких-то там топологических изысков, достаточно ограничиться такими множествами, как 1) вся числовая ось, замкнутый промежуток, открытй промежуток)
функция непрерывна и монотонна на всем множестве рациональных чисел из данного множества, то тогда она будет вообще непрерывна (в обычном смысле на всем множестве вещественных чисел данного множества).

[ИСН]

Пришёл Шрек, порвал Вашу функцию в точке $\sqrt 2$, сделал там ступеньку вверх. Непрерывность в рациональных точках не нарушена; монотонность не нарушена вообще нигде. Ваши действия?

[ewert]

ИСН в сообщении #303495 писал(а):

монотонность не нарушена вообще нигде.

Ну вообще это перебор. А так правда.

[Sasha2]

Я просто ошибся несколько в условии. Монотонность предполагается ВЕЗДЕ и на рациональных и на иррациональных числах.
Сможет ли Шрек исхитриться и напакостить и в этом случае?

[ИСН]

Забыл сказать, функция была монотонно возрастающая вверх. Везде. И ступенька тоже вверх.

[gris]

А не имелась ли в виду равномерная непрерывность?

[ИСН]

Что такое равномерная непрерывность в точке?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #303502 писал(а):

Монотонность предполагается ВЕЗДЕ и на рациональных и на иррациональных числах.
Сможет ли Шрек исхитриться и напакостить и в этом случае?

Нет. Тут, естественно, ему развернуться негде.

[Sasha2]

Ну все спасибо. Значит это имеет смысл доказывать.

Это вообщем-то вопрос к тому, что фактически Фихтенгольц в своем первом томе во Введении можно считать уже доказал непрерывность показательной функции, когда это понятие еще не введено.

[gris]

Не в точке, а на множестве рациональных чисел, принадлежащих данному множеству.

Не понимаю. До корня из двух икс, в корне и после икс плюс один. Монотонна. Непрерывна в рациональных. Что не так?
Ни фига себе. Написал добавление одновременно с paha. Идеи витают.

[paha]

Вероятно, ИСН имел ввиду функцию $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x,&x<\sqrt{2}\\ x+1,&x\ge\sqrt{2}\end{array}\right. $$

Конечно, ее ограничение на ${\mathbb Q}$ непрерывно и она строго монотонна

-- Вс мар 28, 2010 12:36:12 --

gris в сообщении #303511 писал(а):

Ни фига себе. Написал добавление одновременно с paha. Идеи витают.

Просто ИСН поленился правду до конца написать - подумал, что его и так все поймут)

-- Вс мар 28, 2010 12:46:01 --

gris в сообщении #303511 писал(а):

Не в точке, а на множестве рациональных чисел, принадлежащих данному множеству.

конечно, указанная ИСН функция не является равномерно непрерывной на $\mathbb{Q}$... в заклинании надо брать $\delta=\min\{|x-\sqrt{2}|,\varepsilon\}$

Топикастер! Стоит пробовать доказать следующее:

Пусть $A\subset{\mathbb R}$. Если функция $f:A\to{\mathbb R}$ монотонна и равномерно нпрерывна на ${\mathbb Q}\cap A\cap [a;b]$ для всех $a,b\in{\mathbb R}$, то она непрерывна на $A$.

-- Вс мар 28, 2010 12:49:32 --

Думаю, Фихтенгольц имел ввиду это свойство... Ведь экспонента равномерно непрерывна на любом отрезке

[ewert]

Sasha2 в сообщении #303510 писал(а):

можно считать уже доказал непрерывность показательной функции, когда это понятие еще не введено.

А это понятие (показательной функции) ровно по непрерывности на иррациональные показатели и доопределяется, иначе никак. И, конечно, разумнее это делать уже после определения понятия предела.

[paha]

Sasha2 в сообщении #303510 писал(а):

Это вообщем-то вопрос к тому, что фактически Фихтенгольц в своем первом томе

Посмотрел Фихтенгольца. Конечно, он там неявно использует равномерную непрерывность на ограниченных множествах. Монотонность можно опустить.

Пусть $A\subset{\mathbb R}$. Если функция $f:A\cap{\mathbb Q}\to{\mathbb R}$ равномерно непрерывна на ${\mathbb Q}\cap A\cap [a;b]$ для всех $a,b\in{\mathbb R}$, то существует единственная непрерывная функция $A\to{\mathbb R}$, продолжающая $f$.

-- Вт мар 30, 2010 07:48:28 --

у Фихтенгольца же показано, что
Для показательной функции $f:{\mathbb Q}\to{\mathbb R}$ ($f(q)=a^q$) существует единственное монотонное продолжение на $\mathbb{R}$.

В нашем примере можно доопределить функцию в точке $\sqrt{2}$ любым числом между $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}+1$, а у Фихтенгольца такой свободы нет в силу доказанного им $|q-q'|<\varepsilon/(a^{q_0}(a-1))$ -> $|f(q)-f(q')|<\varepsilon$
Он особо отмечает, что $q_0$ "большое, но фиксированное", т.е. для доказательства единственности используется равномерная непрерывность.