2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 11:30 


21/06/06
1721
Можно ли утверждать, что если на некотором множестве (безотносительно его природы, но и без каких-то там топологических изысков, достаточно ограничиться такими множествами, как 1) вся числовая ось, замкнутый промежуток, открытй промежуток)
функция непрерывна и монотонна на всем множестве рациональных чисел из данного множества, то тогда она будет вообще непрерывна (в обычном смысле на всем множестве вещественных чисел данного множества).

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Пришёл Шрек, порвал Вашу функцию в точке $\sqrt 2$, сделал там ступеньку вверх. Непрерывность в рациональных точках не нарушена; монотонность не нарушена вообще нигде. Ваши действия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 11:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ИСН в сообщении #303495 писал(а):
монотонность не нарушена вообще нигде.

Ну вообще это перебор. А так правда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 11:57 


21/06/06
1721
Я просто ошибся несколько в условии. Монотонность предполагается ВЕЗДЕ и на рациональных и на иррациональных числах.
Сможет ли Шрек исхитриться и напакостить и в этом случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Забыл сказать, функция была монотонно возрастающая вверх. Везде. И ступенька тоже вверх.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
А не имелась ли в виду равномерная непрерывность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Что такое равномерная непрерывность в точке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 12:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sasha2 в сообщении #303502 писал(а):
Монотонность предполагается ВЕЗДЕ и на рациональных и на иррациональных числах.
Сможет ли Шрек исхитриться и напакостить и в этом случае?

Нет. Тут, естественно, ему развернуться негде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 12:07 


21/06/06
1721
Ну все спасибо. Значит это имеет смысл доказывать.

Это вообщем-то вопрос к тому, что фактически Фихтенгольц в своем первом томе во Введении можно считать уже доказал непрерывность показательной функции, когда это понятие еще не введено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Не в точке, а на множестве рациональных чисел, принадлежащих данному множеству.

Не понимаю. До корня из двух икс, в корне и после икс плюс один. Монотонна. Непрерывна в рациональных. Что не так?
Ни фига себе. Написал добавление одновременно с paha. Идеи витают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Вероятно, ИСН имел ввиду функцию $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x,&x<\sqrt{2}\\
x+1,&x\ge\sqrt{2}\end{array}\right.
$$

Конечно, ее ограничение на ${\mathbb Q}$ непрерывно и она строго монотонна

-- Вс мар 28, 2010 12:36:12 --

gris в сообщении #303511 писал(а):
Ни фига себе. Написал добавление одновременно с paha. Идеи витают.



Просто ИСН поленился правду до конца написать - подумал, что его и так все поймут)

-- Вс мар 28, 2010 12:46:01 --

gris в сообщении #303511 писал(а):
Не в точке, а на множестве рациональных чисел, принадлежащих данному множеству.


конечно, указанная ИСН функция не является равномерно непрерывной на $\mathbb{Q}$... в заклинании надо брать $\delta=\min\{|x-\sqrt{2}|,\varepsilon\}$

Топикастер! Стоит пробовать доказать следующее:

Пусть $A\subset{\mathbb R}$. Если функция $f:A\to{\mathbb R}$ монотонна и равномерно нпрерывна на ${\mathbb Q}\cap A\cap [a;b]$ для всех $a,b\in{\mathbb R}$, то она непрерывна на $A$.

-- Вс мар 28, 2010 12:49:32 --

Думаю, Фихтенгольц имел ввиду это свойство... Ведь экспонента равномерно непрерывна на любом отрезке

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение28.03.2010, 12:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sasha2 в сообщении #303510 писал(а):
можно считать уже доказал непрерывность показательной функции, когда это понятие еще не введено.

А это понятие (показательной функции) ровно по непрерывности на иррациональные показатели и доопределяется, иначе никак. И, конечно, разумнее это делать уже после определения понятия предела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность и монотонность
Сообщение30.03.2010, 07:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Sasha2 в сообщении #303510 писал(а):
Это вообщем-то вопрос к тому, что фактически Фихтенгольц в своем первом томе


Посмотрел Фихтенгольца. Конечно, он там неявно использует равномерную непрерывность на ограниченных множествах. Монотонность можно опустить.

Пусть $A\subset{\mathbb R}$. Если функция $f:A\cap{\mathbb Q}\to{\mathbb R}$ равномерно непрерывна на ${\mathbb Q}\cap A\cap [a;b]$ для всех $a,b\in{\mathbb R}$, то существует единственная непрерывная функция $A\to{\mathbb R}$, продолжающая $f$.

-- Вт мар 30, 2010 07:48:28 --

у Фихтенгольца же показано, что
Для показательной функции $f:{\mathbb Q}\to{\mathbb R}$ ($f(q)=a^q$) существует единственное монотонное продолжение на $\mathbb{R}$.

В нашем примере можно доопределить функцию в точке $\sqrt{2}$ любым числом между $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}+1$, а у Фихтенгольца такой свободы нет в силу доказанного им $|q-q'|<\varepsilon/(a^{q_0}(a-1))$ -> $|f(q)-f(q')|<\varepsilon$
Он особо отмечает, что $q_0$ "большое, но фиксированное", т.е. для доказательства единственности используется равномерная непрерывность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group