Равномощность отрезков

[ewert]

Marina

В промежутке $[2;8]$ выбирается любая бесконечная последовательность $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$, начинающаяся с восьмёрки. Например: $\{8,\,2{1\over2},\,2{1\over3},\,2{1\over4},\,\ldots\}$. Все точки промежутка, кроме этой последовательности, переводим в самих себе. А на последовательности поступаем так: восьмерку переводим в $a_2$, следующую за восьмёркой $a_2$ -- в $a_3$, затем $a_3$ -- в $a_4$ и т.д.. В результате каждой точке из $[2;8]$ сопоставлена какая-то точка из $[2;8)$ и наоборот, а вот восьмёрка потерялась.

Между прочим, ровно так же доказывается и общая теорема, упомянутая Maslovым: о том, что мощность бесконечного множества не изменится при добавлении к нему конечного набора элементов.

[ИСН]

ewert, низачот, много букв.

(Оффтоп)

Ну ёлки, ну поставьте себя на место слушателя - это какими уровнями абстракции надо уметь размахивать?

Marina, по пунктам:
1. По кочану. Старшина так сказал.
2. Точка 2 перейдёт в точку 2.
Задавайте вопросы.

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #303862 писал(а):

Ну ёлки, ну поставьте себя на место слушателя - это какими уровнями абстракции надо уметь размахивать?

Поставил. Иначе никак. Что такое пять? А что за ним? А за ним?...

ИСН в сообщении #303862 писал(а):

2. Точка 2 перейдёт в точку 2.

А точка семь? А точка $\pi$? Из рисунка этого не видно.

[ИСН]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #303864 писал(а):

Что такое пять? А что за ним? А за ним?

А за ним три, два с половиной, так далее, сколько надо, пока у клиента в голове не произойдёт щелчок: эге, да тут бесконечность! До этого каждый должен додуматься сам, повторить историю математической мысли в своей отдельно взятой голове. Иначе никак, по-моему. Иначе это не знание будет, а хрень.

[gris]

Биекция для рукодельниц.

[Marina]

Maslov
Всё, что было написано Вами выше этой строчки, понятно. Поясните для меня это:

Цитата:

...Мощность бесконечного множества не меняется при добавлении/изъятии конечного количества элементов, поэтому $|A \setminus \{8\}|$ = $|A|$.
Ну а отсюда $|A| = |B|$.

[ИСН]

Здесь обычно рассказывают про бесконечную гостиницу, где все номера заняты, а надо вписать ещё одного чувака.

[Marina]

Значит и для него должно найтись место т.к. гостиница бесконечная.

[ИСН]

В общем, да; обычно этому придаётся некоторая строгость путём явного указания биекции (этого селим в первый номер, гражданина оттуда переводим во второй, а оттуда - в третий, и так далее).

[maxmatem]

ну почитайте же книгу Виленкин "Рассказы о множествах", и многое прояснится...

[Maslov]

Marina в сообщении #304005 писал(а):

Maslov
Всё, что было написано Вами выше этой строчки, понятно. Поясните для меня это:
Цитата:
...Мощность бесконечного множества не меняется при добавлении/изъятии конечного количества элементов, поэтому $|A \setminus \{8\}|$ = $|A|$.
Ну а отсюда $|A| = |B|$.

Marina,
означает это следующее: если у нас есть бесконечное множество, то его мощность не изменится, если мы уберем из него конечное количество элементов.
Например, уберем из множество натуральных чисел первые 10 элементов, получив в результате :
$\mathrm{N'} = \{10, 11, 12, ...\}$.
Это множество будет счетным (как и исходное множество $\mathrm{N}$), т.к. мы можем построить между множествами $\mathrm{N'}$ и $\mathrm{N}$ биекцию (взаимно однозначное соответствие):
$10 \leftrightarrow 1, 11 \leftrightarrow 2, 12 \leftrightarrow 3, ...$
Т.о., убрав конечное количество элементов из счетного множества, мы не изменили его мощность.

Аналогичную процедуру можно проделать с множеством действительных чисел $\mathrm R$ (имеющим, как Вы уже знаете, мощность континуум) или любым его бесконечным подмножеством. В частности, отрезок $[2, 8] \subset \mathrm R$ имеет мощность континуум, поэтому удалив из него одну точку $\{8\}$, мы получим множество $[2, 8)$, также имеющее мощность континуум. Таким образом, мы "доказали" равномощность отрезка $[2,8]$ и полуинтервала $[2, 8)$.

Но на самом деле, это жульничество: фактом о неизменности мощности бесконечного множества после изъятия конечного количества точек мы воспользовались без доказательства. Поэтому на вопрос "почему это так" Вы ответить не сможете.

А ИСН как раз и объясняет Вам идею доказательства этого факта на примере Вашей задачи (построения биекции (взаимно однозначного соответствия) между отрезком $[2, 8]$ и полуинтервалом $[2, 8)$). Постарайтесь разобраться, хоть это и непросто: все эти бесконечности поначалу представляют довольно значительные трудности, но без них, увы, не обойтись.

[Marina]

MaslovСпасибо! Ваше объяснение мне очень понятно. Скажите, пожалуйста, это теорема или аксиома:

Цитата:

о неизменности мощности бесконечного множества после изъятия или добавления конечного количества точек

?

[Maslov]

Это частный случай теоремы. Доказательсво общего случая сложнее, чем это необходимо в Вашей задаче построения биекции между отрезком и полуинтервалом. Но если Вы разберетесь в решении этой конкретной задачи, то понять общее доказательство (когда для этого придет время) Вам будет существенно проще.

[Marina]

Теперь у меня возник вопрос:

Цитата:

"если точка 8 отрезка перешла в точку 5 полуинтервала, то куда же перейдет точка ... отрезка?!"

точка 5 отрезка?

[Maslov]

Молодец! Мыслите в правильном направлении.