Задача про линзу

[LynxGAV]

Цитата:

Кстати, уж коль мы так в геометрическую оптику ударились. Пусть у нас есть идеальная линза (вертикально стоящая). На горизонтальном листе бумаги нарисована окружность. Ось линзы проходит через центр окружности. Надо описать создаваемое линзой изображение.

Oпять-таки я за такую задачу не возьмусь, потому что это либо пятый класс, либо из серии опытов на кухне . И с кухней и с первым очень плохо. В 5 было четверок и пятерок 1:1. Признавайтесь, как делать, просвещайте народ. Ждем-с. Просим. Я прошу. Я потом Вам дам одну, которая не понятно в каком 80 году была на всемирной школьной олимпиаде по физике, и которой меня подколол препод.

Мы не ищем легких путей. Давайте.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

Oпять-таки я за такую задачу не возьмусь, потому что это либо пятый класс,

Отчего ж технику не потренировать-то. Может и пригодиться.

LynxGAV писал(а):

либо из серии опытов на кухне

Рекомендую "Эффект Брумма" А. Житинского.

О, возможности современной кухни! И микропроцессоры рядами стоят - куда там их буржуинскому Крею, и прочие электроприборы...

[LynxGAV]

Простите я что-то не поняла. Технику чего? Подсчитывания погрешности при опыте на кухне с дрянными процессорами ? Или колебаний дрожания руки при построении? Или аналитического анализа "Ах, черт, что же там такое будет.."

Нас уволят за оффтоп.

[LynxGAV]

А-а-а. Это, наверное, что вроде второго логарифма. Ну тогда я Вам решение личным отправлю. Чтоб на людях чушь не писать.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

Нас уволят за оффтоп.

Задача по физике - ничуть не хуже любой другой. Оно, конечно, выглядит простовато, ну так что ж. И подвохов никаких нет.

[Sanyok]

Я считаю, что Незванный гость прав - существующие формулы в учебниках - это всего лишь приближение. Просто мне уже давно интересно, как такие приближения получаются, и насколько они далеки от реальности. Не волнуйтесь, возможно скоро я вам еще пару задачек подкину из серии "опытов на кухне" Кстати, ничего плохого в таких опытах я не вижу.

Один мой знакомый умудряется "на кухне" очень-очень тоненькие стеклянные трубочки вытягивать. Такие, что их можно в качестве лески для рыбной ловли использовать (аки стекловолокно, только полое внутри)

[LynxGAV]

Sanyok, a где Вы линзы берете? У меня нет, чтобы на все это дело воочию посмотреть.

[незваный гость]

Картинка для сферической линзы радиуса 1 и коэффициента преломления 1.5 (вторая сторона - плоская).



Похожа на эксперимент?

Sanyok, на самом деле никаких чудес нет. Возьмем самый простой случай - линзу, подобную описанной выше - с одной стороны сфера, с другой плоскость. Солнышко можно считать бесконечно удаленным, то есть приходят лучи, паралельные оси X. Мы выберем положение центра сферы в $-R$, тогда точка на сфере параметрически задается $(-R + R \cos \varphi, R \sin \varphi)$. В этой точке свет преломляется, и его угол (относительно радиуса) становиться $\psi\colon \sin\psi = n \sin \varphi$. То есть $\psi = \arcsin(n \sin \varphi)$, и тогда уравнение луча $\frac{y-R \sin \varphi}{x-(-R + R \cos \varphi)} = - \tg(\arcsin(n \sin \varphi) - \varphi)$. Или $ y = R \sin \varphi - (x-(-R + R \cos \varphi)) \tg(\arcsin(n \sin \varphi) - \varphi)$. Отсюда же считается точка пересечения с ось X: $ x_0 = (-R + R \cos \varphi) + R \sin \varphi \ctg(\arcsin(n \sin \varphi) - \varphi)$. Дальше путей два: либо утомительные тригонометрические преобразования, либо разложение в ряд Тейлора в лоб. И в том, и в другом случае $x_0 \simeq \frac{R}{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2}{\varphi^2+{\rm O}[\varphi^4]} \right)$. Главный член и называют в народе фокусным расстоянием.

Можно построить и огибающую (параметрически), только вот зачем? Кому охота эту формулу трехэтажную разгребать?

[LynxGAV]

незванный гость писал(а):

Можно построить и огибающую (параметрически), только вот зачем? Кому охота эту формулу трехэтажную разгребать?

Незванный гость, хочу сказать, Вы нестандартно думаете. У Вас, наверно, жизненного опыта..
Я бы эту задачу таким способом никогда не решала.
А где Вы такую красоту сделали?

[незваный гость]

Поленился было вбивать, ну да ладно. Верите ли, не верите, но вот то трехатажное $\frac{y-R \sin \varphi}{x-(-R + R \cos \varphi)} = - \tg(\arcsin(n \sin \varphi) - \varphi)$ преобразуется в
$\frac{y-R \sin \varphi}{x-(-R + R \cos \varphi)} = - \frac{(n^2-1) \sin\varphi}{\cos \varphi + n\,\cos\psi}$.

[LynxGAV]

Чего-то мне так грустно стало, аж до.. Вы мне все-таки ответьте пожалуйста, эта формула в предельном переходе

$$f = -n\frac {R_1R_2}{(n-1)[n(R_1-R_2)-d(n-1)]}$$

что никоим образом не согласуется с Вашим разложением в ряд $x_0 \simeq \frac{R}{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2}{\varphi^2+{\rm O}[\varphi^4]} \right)$? Я Вам наслово поверю, честно И преимущество у нее единственное - она расчитана для каких угодно линз. И получается не сложно. Преобразование тангенсоарксинусонепонятночего мне лично тяжелее, чем простые дроби складывать, штабелями в рядок. В более сложном случае вообще не понятно что может получиться.

незванный гость писал(а):

Отчего ж технику не потренировать-то. Может и пригодиться.

И почему мы рассуждаем по-разному. Математики тренируют уже готовую физику, физики тренируют табличную математику. Лучше вообще бездельничать.

Sanyok писал(а):

Я считаю, что Незванный гость прав - существующие формулы в учебниках - это всего лишь приближение.

Оно все приближение, начиная с того, что оптику можно считать геометрической в определенных пределах.

LynxGAV писал(а):

А где Вы такую красоту сделали?

Где можно построить такой красивый радужный график? Это же не секрет? Наверное многие знают..

Murka.

[Sanyok]

Незванному гостю: Ваша картинка ОЧЕНЬ похожа на эксперимент. Я все хочу это дело сфоткать, но где-то надо цифровой фотик найти. Вы нашли очень простое решение - респект! Мои поздравления! Я в свое время на это извел прорву бумаги, и у меня получилось упростить формулу, что бы она умещалась в 2 строки, но короче - никак.

LynxGAV:

Лупы (не очковые линзы с большим фокусным расстоянием) мой отец покупал в фотомагазине в лохматые года (я так думаю, лет 10-15 назад). Сейчас даже не знаю, где их можно взять. Но я думаю, подобный эффект можно увидеть даже с очковой линзой +8 (фок. расстояние 12.5 см) или еще побольше (+10, например).

[незваный гость]

Эх, покусаюсь сегодня - чтобы яду зря не пропадать...

LynxGAV писал(а):

Вы мне все-таки ответьте пожалуйста, эта формула в предельном переходе $f = -n\frac {R_1R_2}{(n-1)[n(R_1-R_2)-d(n-1)]}$ что никоим образом не согласуется с Вашим разложением в ряд $x_0 \simeq \frac{R}{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2}{\varphi^2+{\rm O}[\varphi^4]} \right)$?

Если взять $f = \lim\limits_{R_2 \to \infty}(-n\frac {R_1R_2}{(n-1)[n(R_1-R_2)-d(n-1)]}) = $ $\frac{R_1}{n-1}$, то есть аккурат мой главный член. $R_2 \to \infty$ просто соответствует плоской поверхности. А аналога $\varphi$ у Вас и вовсе нет - Вы его отбросили раньше.

LynxGAV писал(а):

И преимущество у нее единственное - она расчитана для каких угодно линз. И получается не сложно. Преобразование тангенсоарксинусонепонятночего мне лично тяжелее, чем простые дроби складывать, штабелями в рядок. В более сложном случае вообще не понятно что может получиться.

Согласен. Только вот откель она взялась? Рискну ответить - из подобного рассуждения (может, сразу упрощая для малых $\varphi$). Я же пытался ответить на два других вопроса - 1) как выглядит абберационная картина; и 2) как выводятся такие формулы (Духом Святым только Библия вдохновлена). А для этого приближения при малых углах мне было мало.

LynxGAV писал(а):

И почему мы рассуждаем по-разному. Математики тренируют уже готовую физику, физики тренируют табличную математику

Решаем всё! Что поделать, если в основном студенты пасутся, и, кроме теоремы Ферма все остальное народ не обсуждает. Между прочим, обратите внимание - если задача нестандартная, то на нее откликаются вяло.

Кстате, о готовой физике. Ничего сверхестественно-физического в этой задаче, естественно быть не может. Как и математического. Но ведь я и не предлагал двигать науку вперед. Так, поразвлекаться, пополировать шпаги, дабы не ржавели. Не думаю, что эту задачу Вы встречали. А много ли дискурсий здесь двигают науку? Ну и что, люди учатся - по крайней мере те, кто не выпрашивают полное решение тривиальной задачи. Не будем перстом тыкать конкретно. Кто-то узнает новый метод, кому-то было не вспомнить нужную теорему, так что ж?

LynxGAV писал(а):

А где Вы такую красоту сделали? ... Где можно построить такой красивый радужный график?

Не секрет. Если лень программировать - Mathematica (http://wolfram.com). Она, в общем, себе на уме, но если привыкнуть - жить помогает. Дороговата, но, может, на грант какой положить... Некоторые университеты имеют лицензионное соглашение с Wolfram Research - так что проверьте у себя.

[Sanyok]

Пялился я пялился на Ваш красивый график, Незванный гость и мне кажется, что огибающая сильно напоминает кусок окружности радиуса примерно R/(n-1).

[LynxGAV]

По существу.

незванный гость писал(а):

:evil:Эх, покусаюсь сегодня - чтобы яду зря не пропадать...

Пожалуйста. Я сегодня в прекрасном расположении духа. Можно и за хвост поймать. А завтра сегодня закончится?

незванный гость писал(а):

Если взять $f = \lim\limits_{R_2 \to \infty}(-n\frac {R_1R_2}{(n-1)[n(R_1-R_2)-d(n-1)]}) = $ $\frac{R_1}{n-1}$, то есть аккурат мой главный член. $R_2 \to \infty$ просто соответствует плоской поверхности.

"Не кощунствуйте!" А это что было?

LynxGAV писал(а):

Фокусное расстояние

$$f = -n\frac {R_1R_2}{(n-1)[n(R_1-R_2)-d(n-1)]}$$

. Я так понимаю, теперь надо выполнить предельный переход. Но я за это ни за что не возьмусь.

Обидили. Коли не ясно, я буду рожицы ставить после каждого слова. Чтобы юмор был виден. Даже представить не могла, что такой предел кто-то не возьмет.$\varphi$ для нахождения фокусного расстояния не нужно.

незванный гость писал(а):

Только вот откель она взялась?

Тут пара-тройка точек. А можно я Вас попрошу, показать $\tg(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2 n} (2^{2 n} - 1) B_{2 n}}{(2n!)} x^{2n-1}$, где $B_{n}$ - число Бернули. Наверняка не всем очевидно. И явно посложней будет.

незванный гость писал(а):

Не думаю, что эту задачу Вы встречали.

Неправда. Задачи на любые линзы решаются в курсе общей физики. И мы исходили всегда из чего-то более общего, а не из чего-то более частного. Хотя тут откуда смотреть. Ваше решение - оригинально. Накладывает отпечаток мат. образование. Да и знаете, в 1 семестре 1 курса студенты учат "производную". На семинарах по механике этого же семестра у них (не у всех) еще в голове не укладывается, как это x с точкой равно v. Тяжким трудом у и х на v и t заменяется. На оптике, которая не за горами во временном отношении, с рядами Тейлора по прежнему туго.

незванный гость писал(а):

Если лень программировать - Mathematica (http://wolfram.com). Она, в общем, себе на уме, но если привыкнуть - жить помогает. Дороговата, но, может, на грант какой положить... Некоторые университеты имеют лицензионное соглашение с Wolfram Research - так что проверьте у себя.

Видать уже без меня разобрались. Две недели назад проинсталила, а открыть не удосужилась. Неудивительно, я и до этого ей считанное число раз пользовалась.
А не могли бы вы для произвольных $R_1$,$R_2$ сделать? Для закрепления метода . Мне так картинки понравились...
Не спорь с преподавателем Преподаватель - всегда прав.