Похоже, что я слишком быстро разогнался – все-таки, как оказалось, я кое-что помню. Причем, именно из физики. Теперь постараюсь понятным языком донести свои интуитивные рассуждения до аудитории, имея в виду вопросы уважаемого
myhand.
Пространство состояний или фазовое пространство. Вот определение из Википедии.
Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.
Сущность понятия фазового пространства заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция этой системы — перемещением этой точки. Кроме того, в механике движение этой точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.
В случае механических систем это пространство четной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы).
Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.Так что наше состояние одной материальной точки – пара

,

- вполне соответствует общепринятому понятию состояния материальной точки.
Идем дальше. Поскольку есть состояние, могут представлять интерес и те или иные
функции состояния.
Обратим внимание, что сами

,

- это тоже функции от состояния, например,

- это вектор-функция от

.
Итак, у нас есть объекты –
функции состояния. Теперь необходимо определить
операторы. Разумеется, изначально нас интересуют операторы, действующие на состояния. Но результат действия операторов на состояние в общем случае может представлять собой некоторую функцию от состояния, на которую мы можем захотеть снова подействовать некоторым оператором и т.д. Следовательно, мы должны опредлить наши операторы на множестве функций состояния.
А теперь, внимание, главный трюк -
каждая функция состояния однозначно определяет оператор. Например, пусть мы хотим
подействовать оператором 
на функцию

. Конечно это вольность выражения - правильно было бы сказать
подействовать оператором, определяемым функцией

. Как же мы применяем оператор (определяемый функцией

? Очень просто - не ломая голову над философскими проблемами бытия, мы просто говорим, что результат применения оператора

к функции

равен
![$$[\varphi, \psi] =\frac{\partial \varphi}{\partial x_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial p_\alpha} -\frac{\partial \varphi}{\partial p_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial x_\alpha}.$$ $$[\varphi, \psi] =\frac{\partial \varphi}{\partial x_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial p_\alpha} -\frac{\partial \varphi}{\partial p_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial x_\alpha}.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/d/57d109e45240482691fe5cb82a38893d82.png)
Итак, выражение
![$[\varphi, \psi]$ $[\varphi, \psi]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/7/3d719bc1e13ce9057c3d5c2a36353ff782.png)
мы интерпретируем, как результат действия оператора

на функцию

. И еще раз призываю смотреть на это чисто технически и прагматически в духе "нажми на кнопку - получишь рузультат".
Упражнение. Примените оператор импульса материальной точки к ее вектору координат. Каков физический смысл этой операции?
Указание. Сопоставьте эту операцию со смещением координат на вектор

.
Замечание о выборе фазового пространства. Пока мы ставили задачу рассмотрения системы взаимодействующих материальных точек. Соответственно, выбрали общепринятое в этом случае фазовое пространство.
Если же, например, мы захотим рассмотреть квантовую механику одной безспиновой частицы, то выберем в качестве фазового пространства гильбертово пространство волновых функций от

.
И т.д.
Почему не взять, например, вторые производные? Не знаю - попробуйте. Может быть, это даст что-нибудь интересное? Хотя я сомневаюсь в этом.
Да и в конце концов - надо понимать, что
мы здесь не изобретаем новую классическую механику. Мы всего лишь заняты ее выводом из Галилеевской инвариантности.