Пока только критика.
Фраза типа "не помню и не могу найти формулу" совсем неуместна: Вы решаете задачу по дифф. геометрии (ну, может по программированию, но всё равно по дифф. геометрии). Так что вооружиться справочниками по ДГ или хотя бы Википедиями --- Ваша прямая обязанность. А формула для нормали несомненно имеется в любом справочнике-учебнике.
В качестве параметра кривой Вы выбрали буковку
. Весьма неудачный выбор! Просто этой буковкой обычно (почти всюду) обозначается
натуральная параметризация:
--- длина дуги кривой. Многие привыкли к этому, в частности, к тому, что
. Это довольно сильная традиция, и я настоятельно предлагаю ей следовать. Заботимся о читателях, используем любую другую буковку. У нас не часто будет возможность использовать натуральную параметризацию. В частности, мы наверняка попробуем начать с эллипса
, натуральная параметризация которого
была бы БРРР... Ужос!
А для всяких теоретических умствований, ежели таковые появятся,
-параметризация может оказаться весьма полезной!
Для порождаемых через время
кривых предлагаю обозначения
. В частности,
.
Ваше обозначение производных тоже предлагаю малость поправить: например,
пишется как
, т.е. $x''_{tt}(s,t)$, или проще
.
А по делу --- завтра. И интернет ломается, и спать захотелось.
То бишь осталось выписать явный вид
,
.