2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение20.03.2010, 19:03 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
vek88 в сообщении #299858 писал(а):

Обращаю внимание на дурацкий вид наших генераторов, как я уже выше писал. Теперь можно объяснить - почему дурацкий. Всю свою жизнь я имел дело с линейными представлениями групп, например, матрицами (пример - матрицы Паули) или операторами в гильбертовых пространствах или пространствах Фока (кванты и квантовая теория поля).

А здеся? Один генератор - это вектор. И надо помнить, что его действие на аргумент - это сложение. А другой генератор - матрица, а применяется к аргументу посредством умножения. Но что выросло, то выросло.

Вот-вот :)
Матричное представление генераторов подходит только для линейных групп: в случае линейных групп векторные поля тоже оказываются линейными, и могут быть представлены как
$$X_1(\mathbf x)=X_1\mathbf x.$$
То есть, если брать определение генератора, как оно дано Вами в 3, то должно быть
$$X_1=X_1\cdot(x,y,z,t)=(t,0,0,0),\; X_2=X_2\cdot(x,y,z,t)=(0,t,0,0),\; X_3=X_3\cdot(x,y,z,t)=(0,0,t,0),$$
где $X_1,X_2,X_3$ - Ваши $4\times 4$ - матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение20.03.2010, 19:21 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #299893 писал(а):
Вот-вот :)
Матричное представление генераторов подходит только для линейных групп: в случае линейных групп векторные поля тоже оказываются линейными, и могут быть представлены как
$$X_1(\mathbf x)=X_1\mathbf x.$$
То есть, если брать определение генератора, как оно дано Вами в 3, то должно быть
$$X_1=X_1\cdot(x,y,z,t)=(t,0,0,0),\; X_2=X_2\cdot(x,y,z,t)=(0,t,0,0),\; X_3=X_3\cdot(x,y,z,t)=(0,0,t,0),$$
где $X_1,X_2,X_3$ - Ваши $4\times 4$ - матрицы.
Спасибо - проверю. Но вряд ли сегодня - честно говоря, устал.

Плюс - призываю не очень то волноваться. Ведь мы пишем эти дурацкие генераторы не для красоты, а для конкретных дел, по которым нам и воздастся. Ведь полученные коммутаторы группы Ли мы сверим с известными - и сразу все вскроется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение21.03.2010, 11:39 


15/10/09
1344

(Оффтоп)

Сегодня наше радио начало свои передачи словами Вы еще спите, а vek88 уже работает.

Генераторы группы пространственных вращений. Рассмотрим поворот 3-пространства на угол $\varphi$ вокруг оси $z$. Соответствующая матрица нашей группы Галилея имеет вид $$ \Gamma = \left(\begin {array}{cccc}
\cos \varphi & -\sin \varphi & 0 & 0 \\
 \sin \varphi & \cos \varphi & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{array} \right).$$ Следуя нашему определению для нахождения соответствующего генератора $J_3$ дифференцируем эту матрицу по $\varphi$ в нуле. Аналогично поступаем для малых поворотов вокруг осей $x, y$. Искомые генераторы имеют вид. $$
J_1=\left(\begin {array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0  
\end{array} \right),
J_2=\left(\begin {array}{cccc}
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0  
\end{array} \right),
J_3=\left(\begin {array}{cccc}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0  
\end{array} \right).
$$ А теперь мы созрели для рассмотрения азов алгебры Ли группы Галилея – это будет наш следующий раздел. А поскольку у нас возникли маленькие нестыковочки, мы схитрим: сначал рассмотрим подгруппу группы Галилея, образованную умножениями 4-ки координат на матрицу $\Gamma$. Эту группу мы обозначим $G_6$ (индекс по числу параметров). В результате мы исполнимся осознанием сути алгебры Ли.

Потом рассмотрим трансляционную подгруппу $T_4$ 4-сдвигов.

А уж потом, е-мое, будем корячиться над совместным рассмотрением $G_6$ и $T_4$.

(Оффтоп)

Жить захочешь - и не так раскорячишься, короче, взялся за Ли, не говори не смогли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение21.03.2010, 18:49 


15/10/09
1344
4. Алгебры Ли группы $G_6$

Мы провели традиционную для анализа линеаризацию группы Галилея в окрестности единицы группы, т.е. построили некоторое касательное линейное пространство. Это касательное пространство является объединением касательных прямых в единице группы. Его размерность равна количеству параметров в группе.

Рассмотрим более подробно подгруппу $G_6$. С каждым генератором $J_\alpha, X_\alpha$ этой группы мы можем связать соответствующую ему однопараметрическую подгруппу группы $G_6$. Например, любой (а не только малый) поворот вокруг оси $z$ задается матрицей $$\Gamma(\varphi) = e^{\varphi J_3}.$$ Напомню, что экспонента от матрицы может быть представлена обычным рядом для экспоненты (см. Теорию матриц Ф.Р. Гантмахера). Более того, каждый элемент группы $G_6$ может быть представлен с помощью некоторой линейной комбинации ее генераторов.

Однако рассуждая в терминах касательного пространства мы утеряли информацию о некоммутативности группы, поскольку сложение векторов коммутативно. Для восстановления информации о некоммутативности, для двух произвольных элементов $g, h \in G$ построим элемент $$k= g h g^{-1} h^{-1},$$ назваемый их коммутатором. Если $$g=e^{\lambda X}, h=e^{\lambda Y},$$ то, пренебрегая малыми членами выше второго порядка, $$k = k(\lambda) = 1 + \lambda^2 (XY-YX) + \ldots$$ Выражение $$[X, Y] = XY - YX$$ называется коммутатором двух матриц $X$ и $Y$. Этот коммутатор является касательным вектором к кривой $k(\lambda)$. Легко видеть, что коммутаторы удовлетворяют известным соотношениям антикоммутативности, линейности и тождеству Якоби. Линейное пространство с бинарной операцией $[X, Y]$, удовлетворяющей этим свойствам, называется алгеброй Ли.

Упражнение. Поскольку понятие коммутатора является краеугольным камнем для групп и алгебр Ли, настоятельно рекомендую коллегам самостоятельно проверить формулу для $k(\lambda)$. Здесь есть подводные камни. Лично я этот факт хорошо запомнил на лекциях по допглавам квантовой механики в институте. Но пытаясь доказать это вчера самостоятельно, пришлось поуродоваться, поскольку детали совсем забыл.

Указание. Доказывая конкретные "аналитические" факты о группах всегда следует учитывать групповые свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение21.03.2010, 20:35 
Заслуженный участник


13/12/05
3747

(Оффтоп)

Имеем
$$e^{\lambda X}e^{\lambda Y}=\left (1+\lambda X+\frac{\lambda^2 X^2}{2}+o(\lambda})\right)\cdot\left (1+\lambda Y+\frac{\lambda^2 Y^2}{2}+o(\lambda})\right)=1+\lambda (X+Y)+\lambda^2 \left (XY+\frac{X^2+Y^2}{2}\right)+o(\lambda^2)$$
Отсюда (или аналогично)
$$e^{-\lambda X}e^{-\lambda Y}=\left (1-\lambda X+\frac{\lambda^2 X^2}{2}+o(\lambda})\right)\cdot\left (1-\lambda Y+\frac{\lambda^2 Y^2}{2}+o(\lambda})\right)=1-\lambda (X+Y)+\lambda^2 \left (XY+\frac{X^2+Y^2}{2}\right)+o(\lambda^2)$$
Наконец
$$k(\lambda)=e^{\lambda X}e^{\lambda Y}e^{-\lambda X}e^{-\lambda Y}=1+\lambda (X+Y-X-Y)+\lambda^2\left(-(X+Y)^2+2XY+X^2+Y^2\right )+o(\lambda^2)=1+\lambda^2 (XY-YX)+o(\lambda^2)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение21.03.2010, 21:22 


15/10/09
1344

(Оффтоп)

Я оказался существенно более ленивым - вот мой вывод.

$(1+ aX)(1+aY)(1-aX)(1-aY) \approx$

$\approx 1 + a(X+Y-X-Y) +a^2(XY-X^2-XY-YX-Y^2+XY) \approx$

$\approx 1+a^2(X^2-Y^2+[XY]) \approx$

$\approx 1+a^2[XY],$ учитывая групповые свойства

$ (1-a^2X^2) = (1+aX)(1-aX) \approx 1$ (аналогично для $Y^2$).

Именно так мы выводили на лекциях, но трюк про групповые свойства я, естественно, забыл и должен был изобретать заново.

Это сродни перенормировкам в квантовой электродинамике, когда мы сокращаем бесконечности. А здесь мы ошиблись, "забыв" выписать члены порядка $a^2$ при разложении экспоненты, а потом как бы "вспомнили" про это, т.е. снова ошиблись. В результате "сократили" две ошибки.

Резюмируя, Ваш метод точный и очевидный, но громоздкий.

Мой метод - вовсе не очевидный (и всегда в таких случаях грызет червь сомнения).

Кстати, программисты всегда предпочитают надежные и легко проверяемые варианты написания программ, даже невзирая на рост размера программы. А хитрости, никому кроме него не понятные, хороший программист предпочитает избегать. И правильно делает.

И еще - в таких серьезных вещах всегда лучше два (или больше) независимых метода вычислений, чем какой-то один. Это снижает риск ошибок. И мне было приятно увидеть, что мой, весьма сомнительный, метод все-таки дает тот же ответ, что и точный расчет, представленный Вами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение21.03.2010, 22:35 


15/10/09
1344

(Оффтоп)

Забыл сказать следующее. Поскольку $Y$ не входит в выражение $$ (1-a^2X^2) = (1+aX)(1-aX),$$ мы "вспоминаем происхождение" членов $1+aX$ и $1-aX$, первого - от $e^{aX}$, второго - от $e^{-aX}$. Следовательно, на самом деле, произведение этих членов произошло от $$e^{aX}e^{-aX}=1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение21.03.2010, 23:17 
Заслуженный участник


13/12/05
3747

(Оффтоп)

В случае общей (не линейной) группы Ли преобразований, генераторы группы $X(\mathbf{x})$ уже не являются линейными полями, а значит, не могут быть представлены матрицами.

Тем не менее, для векторных полей также вводится понятие экспоненты. А именно, экспонентой $e^{\lambda X}$ векторного поля $X(\mathbf{x})$ называется семейство преобразований $\Gamma(\lambda)=\Gamma(\lambda,\mathbf{x})\colon S\to S$ пространства $S$, в котором действует рассматриваемая групппа, зависящее от действительного параметра $\lambda$ и определяемое как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\dfrac {d}{d\lambda}\Gamma(\lambda,\mathbf{x})=X\BIG|_{\Gamma(\lambda,\mathbf{x})} ,\quad \Gamma(0,\mathbf{x})=\mathbf{x}
$$
Из этого определения получаем такие свойства экспоненты
1. $e^{0X}=1$ -- тождественное преобразование
2. $\frac{d}{d\lambda} e^{\lambda X}{\mathbf x}=X\BIG|_{e^{\lambda X}{\mathbf x}}$ -- это просто уравнение для $\Gamma$
3. $e^{(\lambda+\mu)X}=e^{\lambda X}e^{\mu X}$ -- это следует из свойства единственности решения задачи Коши
4. $e^{\lambda\cdot cX}=e^{\lambda c\cdot X}$
Семейство преобразований $e^{\lambda X}$ называется также потоком, порожденным векторным полем $X$. Поток является однопараметрической подгруппой, касающейся генератора $X$.

Проверим согласованность определений экспоненты для общих и линейных групп.
Пусть $X(\mathbf x)=X\mathbf x$ -- линейное векторное поле, где $X$ - матрица. Тогда поток $\Gamma(\lambda, \mathbf x)$, порожденный этим полем является решением уравнения
$$ \dfrac{d}{d\lambda} \Gamma(\lambda,\mathbf x) = X\Gamma(\lambda,\mathbf x) ,\quad \Gamma(0,\mathbf x)=\mathbf x$$
Но этому уравнению, удовлетворяет $\Gamma(\lambda,\mathbf x)=e^{\lambda X}\mathbf x$, в силу единственности решения -- это и есть искомый поток.


(Оффтоп)

Как я уже говорил, векторные поля удобно представлять как дифференциальные операторы вида $X=p\dfrac{\partial}{\partial x}+q\dfrac{\partial}{\partial y}+r\dfrac{\partial}{\partial z}+s\dfrac{\partial}{\partial t}$, где $p, q, r, s$ -- координаты векторного поля $X$. Это, конечно, не случайно. Если $F(\mathbf{x})$ - какая-либо функция, то из формулы Тейлора и дифференциального уравнения потока получаем, что
$$F(e^{\lambda X}\mathbf{x})=F(\mathbf x)+\lambda XF(\mathbf{x})+\dfrac{\lambda^2}{2!}X^2F(\mathbf x)+\ldots+\dfrac{\lambda^k}{k!}X^kF(\mathbf x)+\ldots$$
где $XF=p\dfrac{\partial}{\partial x}F+q\dfrac{\partial}{\partial y}F+r\dfrac{\partial}{\partial z}F+s\dfrac{\partial}{\partial t}F$ -- действие оператора $X$ на функцию $F$, а $X^2F=X(XF)$.

В частности, если в качестве $F$ взять сами координатные функции $F=(x,y,z,t)$, то мы получим
$$e^{\lambda X}\mathbf{x}=\mathbf x+\lambda X\mathbf{x}+\dfrac{\lambda^2}{2!}X^2\mathbf x+\ldots+\dfrac{\lambda^k}{k!}X^k\mathbf x+\ldots \eqno (\ast)$$
Здесь подразумевается, что дифференциальные операторы $X, X^2,\ldots , X^k,\ldots $ действуют на каждую координату отдельно.


(Оффтоп)

Посмотрим теперь, как вычислить коммутатор генераторов группы, заданных в виде векторного поля.
Если $g=e^{\lambda X}, h=e^{\lambda Y}$, то их коммутатор
$$ghg^{-1}h^{-1}\mathbf x=\mathbf x+\lambda^2 (XY-YX) \mathbf x+\ldots$$ -- это проверяется в силу $(\ast)$ точно также как и для матричных коммутаторов. Отсюда следует (и это проверяется непосредственно), что оператор $[X,Y]=XY-YX$ является дифференциальным оператором первого порядка, а значит, описывает некоторое векторное поле -- коммутатор векторных полей $X$ и $Y$.

Опять, проверим согласованность определений коммутатора для общих и линейных групп.
Пусть $X(\mathbf x)=X\mathbf x=X^\alpha_\beta x^\beta\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$ и $Y(\mathbf x)=Y\mathbf x=Y^\gamma_\delta x^\delta\frac{\partial}{\partial x^\gamma}$ -- два линейных векторных поля. Тогда их коммутатор $$[X,Y]=XY-YX=X^\alpha_\beta x^\beta Y^\gamma_\alpha\frac{\partial}{\partial x^\gamma}-Y^\gamma_\delta x^\delta X^\alpha_\gamma\frac{\partial}{\partial x^\alpha}=X^\alpha_\beta x^\beta Y^\gamma_\alpha\frac{\partial}{\partial x^\gamma}-Y^\alpha_\beta x^\beta X^\gamma_\alpha\frac{\partial}{\partial x^\gamma}=(X^\alpha_\beta  Y^\gamma_\alpha-Y^\alpha_\beta  X^\gamma_\alpha)x^\beta\frac{\partial}{\partial x^\gamma}}$$
Таким образом, поле $[X,Y]$ тоже оказалось линейным и $[X,Y](\mathbf x)=[X,Y]\mathbf x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение22.03.2010, 08:11 


15/10/09
1344

(Оффтоп)

Таких подробностей я не знал - мое представление об этом всегда было достаточно грубым и смутным. Но, поскольку мы вляпались в вывод коммутаторов группы Галилея, я заподозрил, что моих познаний не достаточно. Раньше мне это не было нужно, поскольку имел дело только с линейными представлениями групп, а коммутаторы брал из литературы готовые.

Так что Вы очень верно определили слабое место в моих познаниях - я бы сам вряд ли в этом разобрался. И уже даже приготовил домашнюю заготовку - ограничиться в общем случае коммутатором $g h g^{-1}  h^{-1}$ и спустить на тормозах вопрос об отсутствии представляющих матриц.

А теперь все упростилось. Огромное спасибо за ликбез. Вы изложили суть вопроса коротко и ясно на доступном для меня (и для аудитории) уровне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение22.03.2010, 12:14 


15/10/09
1344
Продолжим рассмотрение алгебр Ли. Пусть дана группа размерности $n$ с генераторами $X_i$. Как показано выше, если $$g=e^{\lambda X_i}, h=e^{\lambda X_j},$$ то, пренебрегая малыми членами выше второго порядка, $$k = k(\lambda)= g h g^{-1} h^{-1} = 1 + \lambda^2[X_i,X_j] + \ldots$$ С другой стороны, с учетом определения генераторов группы (см. раздел 3), элемент $k$ можно представить в виде $$k = k(\lambda)= 1 + a_1(\lambda) X_1 + \ldots +  a_n(\lambda) X_n + \ldots  $$ где $a_i(\lambda)$ - параметры группы.

Сравнивая два представления элемента $k$ заключаем, что все параметры $a_i$ должны быть порядка $\lambda^2$, а коммутатор любых двух генераторов группы является линейной комбинацией генераторов этой группы, т.е. $$[X_i,X_j] = C^k_{i j} X_k,$$ где $C^k_{i j}$ - структурные константы алгебры Ли. Напомним, что по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение22.03.2010, 17:23 


15/10/09
1344
Предположим, что дана группа $G$ и ее представление $G’$ (см. раздел 2, Теорема Кэли). Как связаны алгебры Ли этих двух групп? Ясно, что из изоморфизма групп следует изоморфизм алгебр Ли. Отсюда следует, что для нахождения тех или иных представлений группы $G$ автоморфизмами какого-либо класса состояний достаточно найти представление ее алгебры Ли в этом классе состояний.

Последнее, в свою очередь означает, что достаточно в нужном нам классе состояний найти такие операторы, коммутаторы которых идентичны коммутаторам исходной группы $G$.

Теперь пора найти коммутаторы группы $G_6$. Легко проверяется (уважаемые коллеги, проверяйте меня), что $$[X_\alpha, X_\beta]=0,$$ т.е. генераторы переходов в движущуюся систему координат коммутируют. Коммутативность операторов означает, что соответствующие преобразования могут выполняться в любом порядке – конечный результат не зависит от порядка выполнения этих преобразований.

Данный факт объясняется тем, что в Галилеевой физике при переходе в движущуюся систему скорости складываются. Следовательно, если мы сначала перешли из системы 1 в систему 2, движущуюся со скоростью $V_\alpha$ относительно системы 1, а затем в систему 3, движущуюся со скоростью $V’_\alpha$относительно системы 2, то это эквивалентно тому, что мы сразу из системы 1 перешли в систему 3, движущуюся со скоростью $ V_\alpha + V’_\alpha$относительно системы 1. Т.е. конечный результат зависит от суммы скоростей, но не от порядка перехода. Разумеется, здесь мы имеем в виду преобразования, соответствующие генераторам $X_\alpha$ - генераторы $J_\alpha$ в этих преобразованиях не участвуют.

Коммутаторы группы пространственных вращений имеют вид $$[J_1, J_2] = -J_3,$$ $$[J_2, J_3] = -J_1,$$ $$[J_3, J_1] = -J_2.$$ смысл в следующем - коммутатор малых поворотов вокруг двух различных осей дает поворот вокруг третьей оси. Коммутаторы вращений и переходов в движущуюся вдоль оси $x$ систему координат имеют вид $$[J_1, X_1] = 0,$$ $$[J_2, X_1] = X_3,$$ $$[J_3, X_1] = X_2.$$ Смысл в том, что при поворотах $X_\alpha$ преобразуется как вектор. Уважаемые коллеги! Прошу в качестве помощи (и упражнения):

1. Дописать остальные коммутаторы группы $G_6$.

2. Переписать коммутаторы с участием $J_\alpha$ в компактном (ковариантном) виде, например, с использованием антисимметричного символа $$\varepsilon_{\alpha \beta \gamma}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение22.03.2010, 19:01 


15/10/09
1344
Уважаемые коллеги!

Настал момент уточнить наши планы. Помнится мне предлагали не парится над выводом коммутаторов и взять готовые коммутаторы алгебры Ли группы Галилея. Но тогда я уперся рогом по методическим соображения.

А теперь мы хлебнули достаточно лиха с Софусом Ли. И неплохо разобрались с основами алгебр Ли. К тому же уважаемый Padawan в сообщении #300649 прекрасно разобрался с "нелинейными" трудностями.

Короче, теперь мы корифеи и можем позволить себе не ковыряться в деталях - не царское это дело.

А коли так, теперь мы вправе взять готовые коммутаторы и начать углубление уже непосредственно в физику.

Итак, следующий раздел будет посвящен уже физике, конкретно, выбору подходящего множества состояний, на котором будет действовать представление алгебры Ли группы Галилея.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение22.03.2010, 19:36 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
УрррА!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение22.03.2010, 21:41 


15/10/09
1344
5. Пространство состояний

Итак, мы поняли смысл генераторов алгебры Ли группы Галилея и даже самостоятельно вывели некоторые коммутаторы. Остальные коммутаторы, когда это будет нужно, возьмем готовые, например, из Википедии или из других источников. А сейчас определимся с выбором подходящего для представления классической механики пространства состояний $S.$

Начнем с простейшего случая – одной материальной точки. Как задать состояние одной материальной точки? Например, можно с помощью вектора пространственных координат $x_\alpha$ и вектора скорости $\dot x_\alpha$. Мы, однако, предпочтем использовать гамильтоновы переменные (см. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике), т.е. вектор пространственных координат $x_\alpha$ и импульс материальной точки $p_\alpha$. Разумеется, на данном этапе мы "не знаем" что такое импульс - пока это просто синтаксическое понятие, т.е. название "какой-то" переменной. Смысл раскроется позже.

Теперь уточним вид операторов, действующих на $S.$ С помощью этих операторов мы будем строить представление нашей алгебры Ли группы Пуанкаре. В качестве операторов мы примем функции от времени и состояния. Более точно, речь идет о дифференциальных операторах специального вида, определяемых этими функциями. Операторы реализуются посредством скобок Пуассона (детали см. в параграфе 15 упомянутой книги Ф.Р. Гантмахера, полезным будет и комментарий Padawan в сообщении #300649).

Скобки Пуассона в случае одной материальной точки определяются следующим образом. Пусть даны две функции $\varphi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ и $\psi(t, x_\alpha, p_\alpha)$. $$[\varphi, \psi] =\frac{\partial \varphi}{\partial x_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial p_\alpha} -\frac{\partial \varphi}{\partial p_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial x_\alpha}.$$ Выражение $[\varphi, \psi]$ мы интерпретируем, как результат действия оператора $\varphi$ на функцию $\psi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение22.03.2010, 23:28 


15/10/09
1344
Заметим, что для двух операторов $X, Y$ их скобки Пуассона задают коммутатор этих операторов. И все - давайте найдем искомые операторы. Сразу заметим, что в силу 3-ковариантности оператор пространственных сдвигов просто равен импульсу, т.е. $P_\alpha = p_\alpha$. Оператор пространственных сдвигов будем задавать функцией (=оператором) Гамильтона $P_4 = H$. В силу 3-ковариантности $$H = H(p^2),$$ т.е. гамильтониан не зависит от о пространственных координат, а зависит только от квадрата импульса. Поскольку $$[X_\alpha, H] = p_\alpha,$$ получаем уравнение $$\frac{\partial X_\alpha}{\partial x_\alpha}\frac{\partial H}{\partial p_\alpha}=p_\alpha. \eqno(\ast)$$ Поскольку $[X_\alpha, p_\beta]=0,$ находим, что $$\frac{\partial X_\alpha}{\partial x_\beta}=0.$$ Отсюда заключаем, что наиболее общий вид $$X_\alpha = m(p^2) p_\alpha.$$ Осталось решить уравнение $(\ast)$. Но у нас проблема - это уравнение не имеет решений. Как всегда напоминаю - доверяйте, но проверяйте.

До завтра отдыхаем. Какие есть идеи? Без оператора Казимира нам не обойтись?

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 19  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group