Правилом Лопиталя негоже увлекаться вдумчивому ученику

[Профессор Снэйп]

Да тут проблема в том, что "методологическую" ошибку пытаются обозвать логической. Хотя я и методологической не вижу. А уж логической и подавно нет.

С тем же успехом можно запретить в начальных классах вычисление $2 + (4 - 2) = 2 + 2 = 4$ на том основании, что для вычисления $4 - 2$ нужно уже знать, чему равно $2 + 2$

[gris]

На самом деле даже здешние вопрошанты обычно всегда оговаривают- можно ли применять ПЛ. Так и пишут - Лопиталя мы ещё не проходили. И в этом случае в учебной задаче нельзя применять ПЛ, хотя бы и хотелось.
Но когда ПЛ уже пройдено, то уж извините. Полное право имею. А в Вашем примере мне бы в голову не пришло дифференцировать тангенс в кубе. Достаточно эквивалентностей (соответствующих степеней)

[ewert]

gris в сообщении #300372 писал(а):

А в Вашем примере мне бы в голову не пришло дифференцировать тангенс в кубе. Достаточно эквивалентностей (соответствующих степеней)

Там не в тангенсе пафос, а в числителе.

[gris]

В числителе третья степень для синуса, вот и всё. А если по лопиталю, то придётся два раза применять, да сложнейшие преобразования делать.

[Padawan]

VoloCh в сообщении #300289 писал(а):

Padawan в сообщении #300274 писал(а):

Мало ли что на что опиралось. Есть правило Лопиталя, есть таблица производных - дифференцируй-не хочу.

Конечно, с точки зрения практики вы правы, если "правило" правильное, если "таблица" верная, то ответ будет правильный. Но это логический круг. Разрешаете вы себе это или нет - это и есть математическая культура. Или я не прав?

Моя математическая культура разрешает мне использовать без всяких ограничений те факты, которые уже доказаны. При решении примеров на тему "Правило Лопиталя" уже предполагаются известными и доказанными как само правило Лопитая, так и таблица производных. Как сказал, уважаемый gris

gris в сообщении #300372 писал(а):

Но когда ПЛ уже пройдено, то уж извините. Полное право имею.

Так что никаго логического круга не возникает - в лекциях же доказательство $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$ на правило Лопиталя не опиралось.

[VoloCh]

Padawan, я с вами согласен, но только я (вижу, что плохо объяснил) сам видел, что доказательство в лекциях ... "опиралось".

[gris]

Вот именно, что Вы плохо объяснили, либо сами не разобрались. Что это за лекция? Если она из конца курса, когда уже ПЛ прочитано, то никакой ошибки нет. Речь идёт о том, чтобы напомнить значение предела. Либо найти его, если он до этого ещё ни разу не находился. Либо продемонстрировать, что ПЛ работает.

Если же лекция до того, как прочитано ПЛ, то это да... Это Логическая Ошибка, но в такое трудно поверить.

[ewert]

VoloCh в сообщении #300392 писал(а):

Padawan, я с вами согласен, но только я (вижу, что плохо объяснил) сам видел, что доказательство в лекциях ... "опиралось".

Имели право, если производная экспоненты доказывалась без этого предела.

[AD]

Чего-то я не понял, о чём спор вообще. Кто мешает посчитать производную от $e^x$ через этот предел, а потом посчитать этот предел еще раз через правило Лопиталя? Почему это считается ошибкой? Это бессмысленно с математической точки зрения, но никак не ошибка, и тем более может иметь некий педагогический смысл.

[ewert]

AD в сообщении #300464 писал(а):

Чего-то я не понял, о чём спор вообще. Кто мешает посчитать производную от $e^x$ через этот предел, а потом посчитать этот предел еще раз через правило Лопиталя?

Ну, VoloCh в своём последнем посте вроде как уверяет: есть, дескать, некий курс лекций, в котором производная экспоненты выводится через тот предел, который не доказывается предварительно, а выводится уже потом через производную экспоненты. Но такое никакому лектору в голову просто не могло бы прийти.

[arqady]

ewert в сообщении #300308 писал(а):

arqady в сообщении #300299 писал(а):

terminator-II в сообщении #300162 писал(а):

по-моему самый короткий способ введения экспоненты и логарифма это такой:

$$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},$$

A если $x<0$?

, -- то этот интеграл не существует

B таком случае и $\ln x$ неопределён при $0<x<1.$

[Xaositect]

arqady в сообщении #300511 писал(а):

B таком случае и $\ln x$ неопределён при $0<x<1.$

Почему же? $\int\limits_a^b df = - \int\limits_b^a df$

[ewert]

arqady в сообщении #300511 писал(а):

arqady в сообщении #300299 писал(а):

A если $x<0$?

B таком случае и $\ln x$ неопределён при $0<x<1.$

Так Вы определитесь -- икс больше или всё-таки меньше нуля.

[arqady]

Xaositect в сообщении #300515 писал(а):

arqady в сообщении #300511 писал(а):

B таком случае и $\ln x$ неопределён при $0<x<1.$

Почему же? $\int\limits_a^b df = - \int\limits_b^a df$

В таком случае, по определению terminator-II получаем, что $ln x$ определен при отрицательных $x$.

[ewert]

arqady в сообщении #300524 писал(а):

В таком случае, по определению terminator-II получаем, что $ln x$ определен при отрицательных $x$.

Увы, не получаем: terminator-II не разрешает.